初中数学阿氏圆最值模型归纳docx.docx

1、初中数学阿氏圆最值模型归纳docx几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P满足 PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” .2本题求“PA+ PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值， 其中与 A与 C为定点， P为动点，故当 A、P、5C 三点共线时，“ PA+PC”值最小。技巧总结】计算 PA kgPB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点 P 使得 PA kgPB的值最小，解决步骤具体如下：1.

2、 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OBOP2. 计算出这两条线段的长度比 kOBOC PC3. 在 OB上取一点 C，使得 k ，即构造 POMBOP，则 k， PC kgPBOP PB4. 则PA kgPB=PA PC AC，当 A、P、C三点共线时可得最小值究重点变式练习 答案：= 37，=2 37，=2 37 ，=2 37. ，3例题 2. 如图，点C坐标为(2,5)，点 A的坐标为 (7,0)， C的半径为 10 ,点B在 C上一动点， OB 5 AB5答案 ： 5.变式练习 2如图，在平面直角坐标系 xoy中， A(6,-1)， M(4,4)，以 M 为圆心，

3、2 2为半径画圆， O为原点， P是M 上一动点，则 PO+2PA的最小值为 .答案：10.例题 3. 如图，半圆的半径为 1，AB为直径， AC、BD为切线， AC1，BD2，P为 上一动点，PC+PDP、D 共线时，PC+PD最小理由：连接 PB、CO，AD 与 CO 交于点 M，ABBD4，BD是切线， ABD 90 ， BAD D 45 ， AB是直径， APB90 ， PAB PBA 45 ，PAPB，POAB， ACPO2，AC PO，四边形 AOPC是平行四边形， OAOP，AOP90 ， 四边形 AOPC是正方形，DMCO， PC+PD PM+PDDM，此时PC+DP最小 AD

4、 AM 2 变式练习 3如图，四边形 ABCD为边长为 4 的正方形， B的半径为 2，P 是B 上一动点，则PC的最小值为， PBECBE，PBECBE，使得 BE 1， PD+ PCPD+PE，PE+PDDE，在 Rt DCE中， DE 5， PD+ PC的最小值为 5 PB2 4，BE?BD4 4，BP2BE?BD，PBEPBD， PBE DBP，PE PD+4PC4（ PD+PC） 4（PE+PC），变式练习 PE+PCEC，在 RtEFC中， EF ， PD+4PC 的最小值为 10 故答案为 5，10 例题 4. 如图，已知正方 ABCD的边长为 6，圆B的半径为 3，点P是圆 B

5、上的一个动点，则 PD 1PC的最2大值为4（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点， 那么 PD+PG的最小值为 ， PD2）如图 2，已知菱形 ABCD的边长为 4，B60，圆 B的半径为 2，点 P是圆 B上的一个动点， 那么 PD+的最小值为 ， PD 的最大值为 的最大值为 当点 P 在 DG的延长线上时， PD PC的值最大，最大值为 DG 故答案为 ，图1 解答】解：图21）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG 4PDPGDG，PBGPBC，PD+ PC DP+PG，DP+PGDG， PG PC，PBGCBP，

6、当 D、G、P 共线时， PD+ PC的值最小，最小值为 DG 使得 BG 1，作 DFBC于 F2，PC的值最小，最小值为 DG，（ 2）如图 4 中，在 BC上取一点 G，PBGCBPC，PD+ PC DP+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时， PD+ 在 RtCDF中， DCF 60， CD 4， DFCD?sin60 2 ， CF2， 在 RtGDF中， DG 2，PBGPBC，PDPGDG，PD当点 P 在 DG的延长线上时， PDPC的值最大（如图 2 中），最大值为 DG故答案为 ， 例题 5. 如图，抛物线 y= x2+bx+c与直线 AB交于 A（ 4，4），B（0，4

7、）两点，直线 AC：y= 1 x 62交 y 轴于点 C点 E是直线 AB上的动点，过点 E作 EFx 轴交 AC于点 F， （1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式； （2）连接 GB， EO，当四边形 （3） 在 y 轴上存在一点 H， 矩形求出此时点 E，H 的坐标；1 求 AM+CM 它的最小值交抛物线于点 GGEOB是平行四边形时，求点 G 的坐标； 连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 在 的前提下， 以点 E为圆心， EH长为半径作圆，A，E，F，H 为顶点的四边形是 点M 为 E上一动点，4， 4）， B（0， 4）在抛物线 y=x2+bx+c 上， 抛物线的解

8、析式为 y=x22x+4； 2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A， B，解答】解：（ 1） 点 A（， ， ，直线 AB 的解析式为 y=2x+4， 设 E（ m， 2m+4）， G（ m， m2 2m+4 ），四边形 GEOB是平行四边形， EG=OB=4， m22m+42m4=4，m=2，G（ 2，4）； （3） 如图 1， 由（ 2）知，直线直线AC： y=以点A， E， F，AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（ a， 2a+4），11 x6， F（a， a6）22H 为顶点的四边形是矩形，设 H（ 0， p），直线AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC： y=1

9、x6，2ABAC，EF为对角线，1 1 1 1 1 （ 4+0）= （ a+a）， （ 4+p） = （2a+4 a6），2 2 2 2 2a=2，P=1，E（ 2，0） H（0， 1）； 如图 2 ，1），由 知， E（ 2，0），H（0， 1）， A（ 4， 4），EH= 5 ，AE=2 5，设 AE交E于 G，取 EG的中点 P， PE=2 连接 PC交E于 M，连接 EM， EM=EH= ，11PM= AM， AM+CM 的最小值 =PC，设点 P（ p，2p+4）， 22E（2，0）， PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE= 5 ，5（p+2）2= 5 ，24p

10、= 5 或 p= 3 （由于 E（ 2， 0），所以舍去）， P（ 5 ，2 2 2C（0，6）， PC=552，即：1 AM+CM= 5 522变式练习 5如图 1，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x轴交于点 A（ 4，0），与 y轴交于点 B，在 x轴上有一动 点 E（m，0）（0m4），过点 E作 x轴的垂线交直线 AB于点 N，交抛物线于点 P，过点 P作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； 直线 AB 解析式为 y x+3 2）如图 1 中， PM AB， PEOA，PMNAEN，PNM ANE，PNMANE，解得 m 23）如图 2 中

11、，在 y 轴上 取一点 M使得 OM ，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OE OEOE2，OMO?B34，OE2OMO?B， BOE M OE，MOEEOB，AEAEE+MAM ，此时 AE+BE最小两点间线段最短， A、M、 E共线时），最小值 AM 领悟提升 强达标检测化落实1. 如图，在 RTABC 中，B=90， AB=CB=2，以点 B 为圆心作圆与 AC相切，圆 C的半径为 2，点 P为圆 B 上的一动点，求 AP2PC 的最小值 .2C=90，CA=3，CB=4，e C的半径为 2，点P是eC上的一动点， 则 AP 1PB4. 如图， 在 Rt ABC中，的最小值为答案：

12、2 5.答案： 5 .2. 如图，边长为 4的正方形，内切圆记为 O，P是 O上一动点，则 2 PA+PB的最小值为3. 如图，等边 ABC的边长为 6，内切圆记为 O，P是O 上一动点，则 2PB+PC的最小值为5. 如图，在平面直角坐标系中， A 2,0 ， B 0,2 ， C 4,0 ， D 3,2 ，P 是 AOB 外部第一象限内的6. 如图， RtABC，ACB90，ACBC2，以 C为顶点的正方形 CDEF（C、D、 E、 F四个顶点按逆时针 方向排列）可以绕点 C 自由转动，且 CD ，连接 AF，BD求证： BDC AFC；（1）2）当正方形 CDEF有顶点在线段 AB 上时，

13、直接写出 BD+AD 的值；【解答】四边形CFCD，DCFACB90 ， ACFDCB，ACCB， FCADCB（SAS） AB2 ，CDAB， ADBD ， BD+ AD +1 如图 3 中，当点 E，F 在边 AB上时 BD CF ， AD ， BD+ AD + （ 3）如图 4 中取 AC的中点 M连接 DM， BM CD，CM1，CA2，CD2CM?CA，DCM ACD，DCM ACD，DMAD BD+ ADBD+DM，当B，D，M共线时， BD+ AD的值最小， 最小值 7. （1）如图 1，在ABC中，ABAC，BD是 AC边上的中线，请用尺规作图做出 AB边上的中线 CE，并证明

14、 BD CE：PD 的最小值；3）如图 3，在矩形ABCD中， AB18，BC25，点 M 是矩形内部一动点，MA 15，当 MC+ MD 最解答】解：（1）如图 1中，作线段 AB的垂直平分线 MN交AB于点 E，连接 EC线段 EC即为所求；小时，画出点 M 的位置，并求出MCABAC，AEEC，ADCD， AEAD，ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS）， BDCE（2）如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE ，PAEDAP，PAEDAP， PEPD，PC+ PD PC+PE，PC+PEEC，PC+ PD 的最小值为在 RtCDE中， CDE90， CD6， DEEC的长， EC，PC+ PD的最小值为 （3）如图 3 中，如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE9 MA2225，AE?AD925225，MA2AE?AE， MAE，MC+MEEC，MC+ME的最小值为 EC的长， DAM， MAE DAM，MDMC+ME，MD，在 RtCDE中， CDE90， CD18，DE16， MD 的最小值为 2