方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案.docx
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方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案
、选择题
1.以3和4为根的
元二次方程是
A.X2
7x
12
0
B.X2
7x
12
0
C.X2
7x
12
0
D.X2
7x
12
0
【答案】
A
【解析】
【分析】
分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可.
【详
羊解
】
A、
在
X2-7x+12=0中，
B、
在
x2+7x+12=0中，
C、
在
2
X+7x-12=0中，
D、
在
X2-7x-12=0中
故选：
A.
X1+X2=7,X1X2=12，此选项正确；
X1+X2=-7,X1X2=12,此选项不正确；
X1+X2=7,X1X2=-12,此选项不正确；
X1+X2=-7,X1X2=-12,此选项不正确;
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程
nbe
aX2+bX+c=0（aM）的根与系数的关系：
若方程两个为X1,X2,贝UX1+X2=—,X1?
X2=—.
aa
2.某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为
A.501X
70
B.501X
70
2
2
C.701X
50
D.701X
50
【答案】B
【解析】
【分析】
2
，则根据题意可列方程为（）
2
根据2019年的产量=2017年的产量X（1+年平均增长率）
【详解】
解：
根据题意可得，2018年的产量为50（1+X）,
2019年的产量为50（1+X）（1+X）=50（1+X）2,即所列的方程为：
50（1+X）2=70.
故选：
B.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意,
2,即可列出方程.
根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程.
【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.
【详解】
移项得x2-2x=3,
配方得x2-2x+1=4,
即（X-1）2=4,
•••m=1,n=4.
故选C.
【点睛】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如W+px+q=0型：
第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.
（2）
然后配方.
形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成Z+px+q=0,
10%，设平均
4.某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价每次增长的百分数为X,那么x应满足的方程是（）
40%10%
A.x=
2
B.100（1+40%）（1+10%）=（1+x）2
C.（1+40%）（1+10%）=（1+x）2
D.（100+40%）（100+10%）=100（1+x）2
【答案】C
【解析】
【分析】
第二次在第
设平均每次增长的百分数为X,根据某商品原价为100元，第一次涨价40%,
一次的基础上又涨价10%，得到商品现在的价格，根据某商品原价为100元，经过两次
涨价，平均每次增长的百分数为X”，得到商品现在关于X的价格，整理后即可得到答案.
X.
100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%,.・.商品
100（1+40%）（1+10%）.
100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为X,.••商品现在的价格
【详解】
设平均每次增长的百分数为
•••某商品原价为
现在的价格为：
•••某商品原价为
为：
100（1+X）2,A100（1+40%）（1+10%）=100（1+X）2,整理得：
（1+40%）（1+10%）=（1+X）2.
故选C.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.
6.八年级1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了
双人照片36张，则同去春游的人数是（
【分析】
设同去春游的人数是X人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
【点睛】
本题考查了
【详解】
解：
设同去春游的人数是
X人，
依题意，得:
-x（x1）
2
36,
解得：
X1
9,X28
（舍去）.
故选：
A.
元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
7.若关于X的一元二次方程X24Xk0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k>0,然后解不等式即可.
【详解】•••关于X的一元二次方程X24xk0有两个不相等的实数根,
=（-4）24k>0
解得：
kv4.故答案为：
C.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次
方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△>0方程有两个不相等的实数根；
（2）30方程有两个相等的实数根；（3）△v0方程没有实数根.
&一列自然数0,1,2,3,•••,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到
一列新数.则下列结论正确的是（）
A.原数与对应新数的差不可能等于零
B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解.
【详解】
设新数与原数的差为
150
2-丄时，y有最大值.则B错误，D正确.
而
【解析】
•••关于x的方程x2+2kx+k-1=0中
△=（2k）2-4X（k-1）=4k2-4k+4=（2k-1）2+3>0
•••k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B.
11.关于x的一元二次方程X2ax20的根的情况（）
A.有两个实数根
C.没有实数根
【答案】B
B.有两个不相等的实数根D.由a的取值确定
【解析】
【分析】
计算出方程的判别式为△=a2+8,可知其大于0，可判断出方程根的情况.
【详解】
方程x2ax
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键.
12.今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方
米，若每年降价均为
x%，则下列方程正确的是（）
A.20000（1
x%）2
16000
B.20000（1
x%）2
16000
C.20000（1
2x%）
216000
D.200001
x2%
16000
答案】B
解析】
【分析】已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.
【详解】
解：
根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000（1-x%）元，第二次在
20000（1-x%）元基础上又降低X%，变为20000（1-x%）（1-x%）元，即20000（1-x%）2,进而可列出方程：
20000（1x%）216000
故选B
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a（1x%）nb的应用，理解公式是解决本题的关键.
13.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（）
A.a>1B.a=1C.av1D.a<1且a工0
【答案】D
【解析】
【分析】
由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是aM0然后再根据原方程根的情况，利用
根的判别式建立关于a的不等式，求出a的取值范围.
【详解】
解：
由于原方程是二次方程，所以aM0
•••原方程有两个不相等的实数根，
•••△=b2-4ac=4-4a>0,解得a<1;
综上，可得a^0,且a<1；
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式
△的关系:
（1）△>0?
方程有两个不相等的实数根;
⑵^=0?
方程有两个相等的实数根；
（3）△<0?
方程没有实数根.
14.关于方程X2-4J2x+9=0的根的情况，
A.有两个相等实根
C.没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
找出方程a,b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断.
【详解】
下列说法正确的是（
B.有两个不相等实数根
D.有一个实数根
这里a=1,b=-4J2,c=9,
•••△=b2-4ac=32-36=-4<0,
•••方程无实数根.
故选：
C.
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式
（1）△>0?
方程有两个不相等的实数根；
（2）^=0?
方程有两个相等的实数根；
（3）△<0?
方程没有实数根.
△的关系:
15.设X1,X2是方程
X2
X20160的两实数根，则
X132017X22016的值是（）
A.2015
【答案】C
【解析】
B.
2016
C.2017
D.2018
【分析】
采用降次”思想,
X13转化为2017X12016，再利用根与系数的关系可得答案.
【详解】
•••X1,X2是方程X
2
…X1+X2=1,X1X1
•••x12=Xi2016
X20160的两实数根
20160
32
X1=X12016X1=X120162016x1=2017x12016
3
•-X132017x22016
=2017xi20162017X22016
=2017X为
=2017故选C.
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式
X2=b，以及采用降次思想进行
a
转化是解题的关键.
【解析】
【分析】
由题意知，2017年蔬菜产量为：
100（1+8.1%）,2018年蔬菜产量为：
100（1+8.1%）
（1+X）,然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.
【详解】
解：
•••某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%,
•••2017年蔬菜产量为：
100（1+8.1%）,
•••2018年比2017年产量的增长率为X,2018年底产量达到144吨，
•••2018年蔬菜产量为：
100（1+8.1%）（1+x）=144,
故选D.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键
17.如图，过点C1,2分别作X轴、y轴的平行线，交直线yx5于a、B两点,
k
若反比例函数y—（X0）的图象与VABC有公共点，贝Uk的取值范围是（）
x
A.2
B.2k6
C.2k4
D.4k6
【答案】
【解析】
【分析】
由点C的坐标结合直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时
的k值，将直线AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段得出结论.
【详解】
△为可求出k的取
AB上，综上即可
解：
令y=-x+5中x=1,贝yy=4,
•-B（1,4）;
令y=-x+5中y=2,贝Ux=3,
•-A（3,2）,
当反比例函数
k
-（x>0）的图象过点C时，有2=
x
解得：
k=2,
将y=-x+5代入
k中，整理得：
x2-5x+k=0,
x
•△=（-5）2-4k>p
•••k层
4
25
当k=25时，解得:
4
5
x=—
2
•••1<5<3,
2
•••若反比例函数
k（x>0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2x4
故选：
A.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点
A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时
k的值.
18.某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是
20米，宽为12米的矩形空地，计划在112米2,两块绿地之间及周边留有宽
A.2米
32
C.2米或兰米
3
D.3米
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形面积的相关知识进行作答
【详解】设宽度为X,将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即
20121123122x220x，解出x=2,所以，选A.
【点睛】
本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关
p，q的值分别是（
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可.
【详解】
•••关于X的一元二次方程X2+px+q=0的两根分别为X13,X24,
/.3+4=-p,3X4=q•••p=-7,q=12,故选：
B.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算.
【解析】
【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量x（1+增长率），如果该厂五、六月份
平均每月的增长率为X,那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程.
【详解】
五月份的产量=100（1+X）,六月份的产量=100（1X）2,根据题意可得：
2
100+100（1+X）+100（1X）2=282.
故选：
B．
2
a（1X）2b，a
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
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