线性代数与解析几何资料1.docx
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线性代数与解析几何资料1
一、数域
0、数的扩充其中，
第01讲数域、几何向量空间
N⊂1Z⊂2Q⊂3R⊂4C.
⊂1——减法的封闭性；
⊂2——除法的封闭性；
⊂3——度量的需要；
⊂4——多项式方程求根
例1求证2不是有理数.
证反设2∈Q，则
其中m,n是互素的正整数.那么，
n
2=m，
n必为偶数.设n=2k，则
2=n⇒2m2=n2，
2
m2
m2=2k2，
m也是偶数.与m,n互素矛盾！
从而假设错误，得证
2不是有理数.□
注1边长为1的正方形的对角线的长度不是有理数.
注2对任一正素数p，类似可证p∉Q.
1、Q,R,C的域结构
Q,R,C均对加法、乘法封闭，且具有以下基本运算律：
（1）a+b=b+a；（加法交换律）
（2）（a+b）+c=a+（b+c）；（加法结合律）
（3）（4）
a+0=a；（加法右单位元）
a+（-a）=0；（加法右逆元）
（5）ab=ba；（乘法交换律）（6）（ab）c=a（bc）；（乘法结合律）
（7）
a1=a；（乘法右单位元）
（8）当a≠0时，aa-1=1；（乘法右逆元）
（9）
a（b+c）=ab+ac，（a+b）c=ac+bc.（分配律）
小结加法4条、乘法4条、联系1条.具有满足规律
（1）～（9）的两种封闭运算的集合称为域.减法、除法分别是加法、乘法的派生运算：
a-b=a+（-b），
a/b=ab-1（b≠0）.
Q,R,C都是域，而N,Z不是域.
a0
a1
a0
a0a0=a0
a0a1=a0
a1
a1a0=a0
a1a1=a1
例2在偶集F={a0,a1}上定义两种运算如下：
⊕
a0
a1
a0
a0⊕a0=a0
a0⊕a1=a1
a1
a1⊕a0=a1
a1⊕a1=a0
显然，F对加法“⊕”、乘法“”都封闭，且满足运算律
（1）～（9）（a0,a1分别是加法单位元、乘法单位元）.（F;⊕,）是一个域.
注可设a0=2Z为偶数集，a1=2Z+1为奇数集，而
偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+偶=奇，奇+奇=偶；偶⨯偶=偶，偶⨯奇=偶，奇⨯偶=偶，奇⨯奇=奇.
2、数域的定义
定义1设
则P是一个域，称之为数域.
注按定义要点验证数域.
P⊂C，
0,1∈P，
P对四则运算封闭，
例3Q,R,C都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域.
注C是最大的数域，即任何数域P⊂C.
定理1Q是最小的数域，即Q⊂任何数域P.
证分三步完成.
（1）P对加法封闭，所以
1,1+1=2,2+1=3,,（n-1）+1=n,∈P⇒Z+⊂P；
（2）P对减法封闭，所以
0-n=-n∈P⇒Z⊂P；
（3）任一有理数都可表为两个整数相除之商，而P对除法封闭，所以Q⊂P.□
例4求证Q
（2）={a+b
证分三步完成.
（1）显然Q
（2）⊂C.
2|a,b∈Q}是一个数域.
（2）0=0+02,1=1+02∈Q
（2）.
（3）
∀a,b,c,d∈Q，有
d
（a+b
2）±（c+d
2）=（a±c）+（b±d）2∈Q
（2），
（a+b
2）（c+d
2）=（ac+2bd）+（ad+bc）2∈Q（
2）.
当c+d
2≠0时，可断言c-d
2≠0.（否则，c-d
2=0⇒c=d
2.要么d=0且
c=0，与c+d
2≠0矛盾；要么d≠0且2=c∈Q，与2∉Q矛盾.）有
a+b
2=（a+b
2）（c-d
2）=（ac-2bd）+（bc-ad）2∈Q
（2）.
c+d
2（c+d
2）（c-d2）
c2-2d2
综上得证Q
（2）是一个数域.□
注1Q
（2）是含有2的最小数域，即若2∈数域P，则Q
（2）⊂P.
注2a+b
2=0（a,b∈Q）⇔a=b=0.
引理1有无穷多个正素数.
说明2,3,5,7,11,13,17,19,均为正素数.
证反设只有有限个正素数p1,p2,,pn，则正整数u=p1p2pn+1必有新的正素数因子pn+1.从而假设错误，得证命题成立.□
定理2有无穷多个数域.
证分三步完成.
（1）对任一正素数p，与例1类似可证p∉Q，与例4类似可证
是一个数域.
Q（p）={a+bp|a,b∈Q}
（2）对两个不同的正素数p,q，可断言
q∉Q（
p）.（否则，有a,b∈Q，使得
a+bp=
q⇒a2+b2p-q+2abp=0.
要么ab≠0且
p=-
a2+b2p-q
2ab
∈Q，与p∉Q矛盾；要么b=0且q=a∈Q，与q
∉Q矛盾；要么a=0且pq=bp∈Q，与pq∉Q①矛盾.）显然
q∈Q（
q），从而
Q（p）≠Q（
q）.
（3）因为有无穷多个正素数，而不同正素数如上对应着不同的数域，所以有无穷多个数域.□
补证①：
反设pq∈Q，则
n
pq=m，
其中m,n是互素的正整数.那么，
pq=n⇒pqm2=n2，
2
m2
n必为pq的倍数.设n=pqk，则
m2=pqk2，
m也是pq的倍数.与m,n互素矛盾！
从而假设错误，得证
3、多项式方程的根
引理2设P是一个数域，α∈P，
nn-1
pq∉Q.□
f（x）=anx
则
+an-1x
++a1x+a0（an,an-1,,a1,a0∈P,an≠0），
α是f（x）=0的根⇔x-α是f（x）的一次因式.□
定理3（代数基本定理）任何n次复系数多项式方程必有n个复数根（重根按重数计数）.
证略.
定理4任何实系数多项式方程的虚数根必共轭成对出现.
证设f（x）=axn+axn-1++ax+a（a
≠0）为实系数多项式.
nn-110n
（1）若α1是f（x）=0的一个虚数根，则
f（α）=0⇒aαn+a
αn-1++aα+a=0
1n1
n-11110
⇒aαn+a
αn-1++aα+a=0
n1n-11110
nn-1
⇒anα1
+an-1α1
++a1α1+a0=0
⇒f（α1）=0.
可知α1是f（x）=0的另一个虚数根.
（2）设f（x）=（x-α1）（x-α1）f1（x），其中
2
（x-α1）（x-α1）=x
-（α1+α1）x+α1α1
为f（x）的二次实系数因式，f1（x）为f（x）的n-2次实系数因式.
再考察f1（x）=0的共轭成对虚数根.如此，若有虚数根，则做如上降二次处理.
n
s≤2
步后，得到
f（x）=（x-α1）（x-α1）（x-αs）（x-αs）fs（x）.
n-2s次实系数多项式方程fs（x）=0的根β1,,
βn-2s全是实数.
（3）
f（x）=0的全体根为
α1,α1,,αs,αs;β1,,
βn-2s，
2s个虚数根确实共轭成对.□
例5求证奇数次实系数多项式方程必有实根.
证设f（x）=axn+axn-1++ax+a（a
≠0）为实系数多项式，n为奇数.
nn-110n
法1f（x）=0有n-2s>0个实根.□
法2函数y=
f（x）在（-∞,+∞）上连续.当an>0时，
lim
x→-∞
f（x）=-∞，lim
x→+∞
f（x）=+∞.
可知必有α∈（-∞,+∞），使得f（α）=0.当an<0时，类似可证.□
定理5（Vieta公式）设n次多项式方程
nn-1
f（x）=x
有n个根α1,α2,,αn，则
+an-1x
++a1x+a0=0
⎧α1+α2++αn=-an-1,
⎪
⎪,
k
∑
⎨
⎪αj1αj2
αjk
=（-1）an-k,
1≤j⎪12k
⎪
⎪,
n
⎩α1α2αn=（-1）
a0.
证由f（x）=0有n个根α1,α2,,αn，可知
n-kn
f（x）=（x-α1）（x-α2）（x-αn）
=xn-（α
1+α2
++αn
）xn-1+
+（∑
αjαjαj）x
++（-1）α1α2αn.
12k
1≤jnn-1
12k
与f（x）=x
+an-1x
++a1x+a0比较对应项系数即可得证欲证公式成立.□
附录复数简述
在实数集R中，二次方程x2-1=0有两个根±1.但
x2+1=0
却没有实根.为此扩大数的范围，使之也有两个根±i，其中i=-1称为虚数单位.形如
z=a+bi,
a,b∈R
的数称为复数，其中a=Rez,b=Imz分别称为z的实部与虚部.全体复数形成的集合记作C，规定
在C中，z1=z2⇔在R中，Rez1=Rez2,Imz1=Imz2.
z=a-bi称为z=a+bi的共轭复数，有
z∈R⇔Imz=0⇔z=z.与用实数轴描述实数集R相类似，复数集C可形象地描绘为复平面.
y
biz=a+bi
=r（cosθ+isinθ）
r=a2+b2=|z|
θ
r——z的模
θ——z的幅角
复数的四则运算如下：
Oax
z=a-bi
（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i,i2=-1,
（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i,
zz=（a+bi）（a-bi）=a2+b2=|z|2,
r1（cosθ1+isinθ1）⋅r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）],[r（cosθ+isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）,
a+bi=（a+bi）（c-di）=ac+bd-ad-bci.
c+di
还有
（c+di）（c-di）
c2+d2
c2+d2
z1±z2=z1±z2，
z1z2=z1z2，
z1/z2=z1/z2.
练习1、设P1,P2均为数域，求证P1P2也是数域.
2、求证Q（
-1）={a+b
-1|a,b∈Q}是一个数域.
3、设P是一个数域，且R⊂P⊂C，求证必有P=R或P=C.
提示：
当P真包含R时，取虚数z0=a0+b0i∈P，先证i∈P，再证P=C.二、几何向量空间
1、向量的基本概念
（1）向量（矢量）（几何、物理）向量就是既有大小，又有方向的量.如位移、速度、加速度、力、力矩等，都是物理向量.
→→
常用有向线段AB,CD,或希腊字母α,
（2）向量的长度（模）
向量的大小.α的长度（模）记作|α|.（3）向量的负向量
β,表示.
与α长度相等、方向相反的向量，称为α的负向量，记作-α.（4）零向量
→
长度为零的向量，如AA，称为零向量，记作0.
零向量的方向不确定，或说方向任意.（5）单位向量长度为1的向量，称为单位向量.
与非零向量α同向的单位向量，称为α的单位化，记作α0.（6）向量的共线（平行）
若一组向量α1,α2,,αs均与同一直线L平行，则称它们共线（即平行）.共线的一组向量的特点是能画在同一条直线上.
向量α,
β共线，记作α//β.C
（7）向量的共面
若一组向量α1,α2,,αs均与同一平面π平行，则称它们共面.共面的一组向量的特点是能画在同一张平面上.
例6如右图所示，在四面体OABC中，有
→→
（1）向量OA,OB不共线；B
→→→
（2）向量OA,OB,
AB共面（于平面OAB）；
→→→
（3）向量OA,OB,OC不共面.OA
2、向量的线性运算
→→
定义2对向量α,
β，从任一点O，作OA=α,OB=β，做平行四边形OACB，则
→→→
称向量OC=γ为OA=α与OB=β的和，记作γ
=α+β.
求和的运算称为加法.如上的加法法则称为平行四边形法则（参看下左图）.也可以用
三角形法则求γ
=α+β（参看下右图）.
BCC
⎛→→⎫
γ=α+β
βγ=α+β
çOB=AC⇒⎪
β
⎝⎭
OαA
OαA
→
例7某人第一天从点O出发到达点A1，发生位移α1=OA1；第二天从点A1出发到达
→
点A2，发生位移α2=A1A2.两天的总位移为
→→→
α1+α2=OA1+A1A2=OA2.
定义3实数k与向量α的数量乘积kα（即α的k倍）是一个向量，满足
|kα|=|k||α|；
当k>0时kα与α同向，当k<0时kα与α反向.
当α≠0时，α的单位化为α0=α.
|α|
加法与数量乘法统称为向量的线性运算.
取定点O，全体几何向量形成的集合可以表示为
→
V={OM|M∈宇宙}.
V对加法、数量乘法都封闭，且具有以下基本运算律：
（1）
α+β=β+α；（加法交换律）
（2）（α+β）+γ
=α+（β+γ）；（加法结合律）
（3）（4）
α+0=α；（加法右单位元）
α+（-α）=0；（加法右逆元）
（5）1α=α；（1倍）
（6）
k（lα）=（kl）α；（数乘结合律）
（7）（k+l）α=kα+lα；（第一分配律）
（8）
k（α+β）=kα+kβ.（第二分配律）
A
小结加法4条、数量乘法2条、联系2条.
定义4V关于几何向量的加法与数量乘法，称为几何向量空间.
减法是加法的派生运算：
α-β=α+（-β）.
例8取定点O，设∆ABC的重心为G，求证G
1
→→→→
OG=3（OA+OB+OC）.
BDC
证设边BC的中点为D，则G为AD的2:
1分点，有
1
→→→
AD=2（AB+AC），
→→
2
AG=3AD，
1111
→→→→→→→→→→→
OG=OA+AG=OA+3（AB+AC）=3OA+3（OA+AB）+3（OA+AC）
1
→→→
=3（OA+OB+OC）.□
3、几何向量空间的基
定理6
（1）设向量α≠0与β共线，则必有确定的x∈R，使得
β=xα；
（2）设向量α,β不共线，而α,β,γ共面，则必有确定的x,y∈R，使得
γ=xα+yβ；
（3）设向量α,β,γ不共面，则对于任一向量δ，必有确定的x,y,z∈R，使得
δ=xα+yβ+zγ.
α
证
（1）显然成立，其中x可记作β.
→→→
（2）如下左图，取定点O，作OA=α,OB=β,OC=γ，则点C在平面OAB上.
过点C平行于OB作直线交OA于点D，则
→→→
γ=OC=OD+DC=xα+yβ.
→→
其中，点D、实数x=OD与y=DC均唯一确定.
αβ
→→→
（3）如下右图，取定点O，作OA=α,OB=β,OC=γ，则点C在平面OAB之外.
→
再做OD=δ，并过点D平行于OC作直线交平面OAB于点E，则
→→→
δ=OD=OE+ED=（xα+yβ）+zγ.
→→
δ
其中，点E、实数z=ED均唯一确定，而OE=xα+yβ中的x,y按
（2）唯一确定.□
C
B
yβγ
β
D
C
zγ
δB
γβE
xα+yβ
DxαOαA
OαA
定义5称有序的不共面向量α,β,γ为几何向量空间V的一个基（底）.
称3元有序实数组（x,y,z）为向量δ=xα+yβ+zγ在基{α,β,γ}下的坐标.
x,y,z分别称为横坐标、纵坐标、竖坐标，统称为坐标分量.
注基{α,β,γ}就是V的极小生成元组.
4、坐标系
→
定义6在宇宙U中取定点O，在几何向量空间V={OM|M∈U}中取定基{α,β,
γ}，则称[O;α,β,γ]为U的一个（仿射）坐标系.
O称为坐标系的原点.过原点O的与基向量α,β,γ同向的有向直线Ox,Oy,Oz分别
称为x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴.平面xOy,
常记作Oxyz.
yOz,
zOx统称为坐标面.该坐标系也
→
对点M∈U，也称向径OM在基{α,β,γ}下的坐标（x,y,z）为点M的坐标，并记点
M为M（x,y,z）.
注1在宇宙U、几何向量空间V、3元有序实数组形成的集合R3={（x,y,z）|x,y,
z∈R}有一一对应关系：
几何向量OM=xα+yβ+zγ∈V
点M（x,y,z）∈U↔三元有序实数组（x,y,z）∈R3
注2在建立坐标系Oxyz，宇宙U被分割为以下几个部分：
1个原点O（0,0,0）、
6个半轴（x,y,z轴各正、负半轴）、
12个象限（3个坐标面上各有4个象限）、
8个卦限（3个坐标面外的其他部分）.
例9在坐标系[O;α,β,γ]（或Oxyz）中，设∆ABC的重心为G，且
A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2），C（x3,y3,z3），G（x0,y0,z0）.
1
→→→→
由OG=3（OA+OB+OC），可知
x0=3（x1+x2+x3），y0=3（y1+y2+y3），z0=3（z1+z2+z3）.
111
练习对几何向量α1,
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