线性代数与解析几何资料1.docx

1、线性代数与解析几何资料1一、数域0、数的扩充 其中，第 01 讲 数域、几何向量空间N 1 Z 2 Q 3 R 4 C .1 减法的封闭性；2 除法的封闭性；3 度量的需要；4 多项式方程求根例1 求证 2 不是有理数.证 反设 2 Q ，则其中 m, n 是互素的正整数. 那么，n2 = m ，n 必为偶数. 设 n = 2k ，则2 = n 2m2 = n2 ，2 m2m2 = 2k 2 ，m 也是偶数. 与 m, n 互素矛盾！从而假设错误，得证2 不是有理数. 注1 边长为1的正方形的对角线的长度不是有理数.注2 对任一正素数 p ，类似可证 p Q .1、 Q, R, C 的域结构Q

2、, R, C 均对加法、乘法封闭，且具有以下基本运算律：(1) a + b = b + a ； (加法交换律) (2) (a + b) + c = a + (b + c) ； (加法结合律)(3) (4)a + 0 = a ； (加法右单位元)a + (-a) = 0 ； (加法右逆元)(5) ab = ba ； (乘法交换律) (6) (ab)c = a(bc) ； (乘法结合律)(7)a1 = a ； (乘法右单位元)(8) 当 a 0 时， aa-1 = 1 ； (乘法右逆元)(9)a(b + c) = ab + ac ， (a + b)c = ac + bc . (分配律)小结 加法

3、4 条、乘法 4 条、联系 1 条. 具有满足规律(1)(9)的两种封闭运算的集合称为域. 减法、除法分别是加法、乘法的派生运算：a - b = a + (-b) ，a / b = ab-1 (b 0) .Q, R, C 都是域，而 N, Z 不是域. a0a1a0a0 a0 = a0a0 a1 = a0a1a1 a0 = a0a1 a1 = a1例2 在偶集 F = a0 , a1上定义两种运算如下：a0a1a0a0 a0 = a0a0 a1 = a1a1a1 a0 = a1a1 a1 = a0显然， F 对加法“ ”、乘法“ ”都封闭，且满足运算律(1)(9)( a0 , a1 分别是加法

4、单位 元、乘法单位元). (F; , ) 是一个域.注 可设 a0 = 2Z 为偶数集， a1 = 2Z + 1 为奇数集，而偶 + 偶 = 偶，偶 + 奇 = 奇，奇 + 偶 = 奇，奇 + 奇 = 偶； 偶 偶 = 偶，偶 奇 = 偶，奇 偶 = 偶，奇 奇 = 奇.2、数域的定义定义 1 设则 P 是一个域，称之为数域.注 按定义要点验证数域.P C ，0, 1 P ，P 对四则运算封闭，例3 Q, R, C 都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域.注 C 是最大的数域，即任何数域 P C .定理 1 Q 是最小的数域，即 Q 任何数域 P .证 分三步完成.(1) P 对加法封闭，

5、所以1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, , (n -1) + 1 = n, P Z+ P ； (2) P 对减法封闭，所以0 - n = -n P Z P ；(3) 任一有理数都可表为两个整数相除之商，而 P 对除法封闭，所以 Q P . 例4 求证 Q( 2 ) = a + b证 分三步完成.(1) 显然 Q( 2 ) C .2 | a, b Q 是一个数域.(2) 0 = 0 + 0 2, 1 = 1 + 0 2 Q( 2 ) .(3)a, b, c, d Q ，有d(a + b2 ) (c + d2) = (a c) + (b d ) 2 Q( 2) ，(a + b2 )(

6、c + d2 ) = (ac + 2bd ) + (ad + bc) 2 Q(2 ) .当 c + d2 0 时，可断言 c - d2 0 .(否则， c - d2 = 0 c = d2 . 要么 d = 0 且c = 0 ，与 c + d2 0 矛盾；要么 d 0 且 2 = c Q ，与 2 Q 矛盾.) 有a + b2 = (a + b2 )(c - d2 ) = (ac - 2bd ) + (bc - ad ) 2 Q( 2 ) .c + d2 (c + d2 )(c - d 2 )c2 - 2d 2综上得证 Q( 2 ) 是一个数域. 注1 Q( 2 ) 是含有 2 的最小数域，即若

7、 2 数域 P ，则 Q( 2 ) P .注2 a + b2 = 0(a, b Q) a = b = 0 .引理 1 有无穷多个正素数.说明 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 均为正素数.证 反设只有有限个正素数 p1 , p2 , , pn ，则正整数 u = p1 p2 pn + 1必有新的正素 数因子 pn+1 . 从而假设错误，得证命题成立. 定理 2 有无穷多个数域.证 分三步完成.(1) 对任一正素数 p ，与例 1 类似可证 p Q ，与例 4 类似可证是一个数域.Q( p ) = a + b p | a, b Q(2) 对两个不同的正素数 p, q ，可断

8、言q Q(p ) .(否则，有 a, b Q ，使得a + b p =q a2 + b2 p - q + 2ab p = 0 .要么 ab 0 且p = -a2 +b2 p -q2 ab Q ，与 p Q 矛盾；要么 b = 0 且 q = a Q ，与 q Q 矛盾；要么 a = 0 且 pq = bp Q ，与 pq Q 矛盾.) 显然q Q(q ) ，从而Q( p ) Q(q ) .(3) 因为有无穷多个正素数，而不同正素数如上对应着不同的数域，所以有无穷多个数 域. 补证：反设 pq Q ，则npq = m ，其中 m, n 是互素的正整数. 那么，pq = n pqm2 = n2 ，

9、2 m2n 必为 pq 的倍数. 设 n = pqk ，则m2 = pqk 2 ，m 也是 pq 的倍数. 与 m, n 互素矛盾！从而假设错误，得证3、多项式方程的根引理 2 设 P 是一个数域， P ，n n-1pq Q . f ( x) = an x则+ an -1 x+ + a1 x + a0 (an , an-1 , , a1 , a0 P, an 0) ， 是 f ( x) = 0 的根 x - 是 f ( x) 的一次因式. 定理 3(代数基本定理) 任何 n 次复系数多项式方程必有 n 个复数根(重根按重数计 数).证略.定理 4 任何实系数多项式方程的虚数根必共轭成对出现.证

10、 设 f ( x) = a xn + a xn-1 + + a x + a (a 0) 为实系数多项式.n n-1 1 0 n(1) 若1 是 f ( x) = 0 的一个虚数根，则f ( ) = 0 a n + a n-1 + + a + a = 01 n 1n-1 1 1 1 0 a n + a n-1 + + a + a = 0n 1 n-1 1 1 1 0n n-1 an 1+ an-11+ + a11 + a0 = 0 f (1 ) = 0.可知1 是 f ( x) = 0 的另一个虚数根.(2) 设 f ( x) = ( x - 1 )( x - 1 ) f1 ( x) ，其中2(

11、 x - 1 )( x - 1 ) = x- (1 + 1 ) x + 11为 f ( x) 的二次实系数因式， f1 ( x) 为 f ( x) 的 n - 2 次实系数因式.再考察 f1 ( x) = 0 的共轭成对虚数根. 如此，若有虚数根，则做如上降二次处理.ns 2步后，得到f ( x) = ( x - 1 )( x - 1 ) ( x - s )( x - s ) fs ( x) .n - 2s 次实系数多项式方程 fs ( x) = 0 的根 1 , ,n -2 s 全是实数.(3)f ( x) = 0 的全体根为1 , 1 , , s , s ; 1 , ,n - 2 s ，2

12、s 个虚数根确实共轭成对. 例5 求证奇数次实系数多项式方程必有实根.证 设 f ( x) = a xn + a xn-1 + + a x + a (a 0) 为实系数多项式， n 为奇数.n n-1 1 0 n法1 f ( x) = 0 有 n - 2s 0 个实根. 法2 函数 y =f ( x) 在 (-, + ) 上连续. 当 an 0 时，limx-f ( x) = - ， limx+f ( x) = + .可知必有 (-, + ) ，使得 f ( ) = 0 . 当 an 0 时，类似可证. 定理 5(Vieta 公式) 设 n 次多项式方程n n-1f ( x) = x有 n 个

13、根1 , 2 , , n ，则+ an-1 x+ + a1 x + a0 = 01 + 2 + + n = -an -1 , ,k j1 j2 jk= (-1) an -k ,1 j j j n 1 2 k ,n1 2 n = (-1)a0 .证 由 f ( x) = 0 有 n 个根1 , 2 , , n ，可知n- k nf ( x) = ( x - 1 )( x - 2 ) ( x - n )= xn - (1 + 2+ + n) xn-1 + + ( j j j ) x+ + (-1) 12 n .1 2 k1 j j 0 时 k 与 同向，当 k 0 时 k 与 反向.当 0 时，

14、的单位化为 0 = .| | 加法与数量乘法统称为向量的线性运算.取定点 O ，全体几何向量形成的集合可以表示为V = OM | M 宇宙 .V 对加法、数量乘法都封闭，且具有以下基本运算律：(1) + = + ； (加法交换律)(2) ( + ) + = + ( + ) ； (加法结合律)(3) (4) + 0 = ； (加法右单位元) + (- ) = 0 ； (加法右逆元)(5) 1 = ； (1倍)(6)k (l ) = (kl ) ； (数乘结合律)(7) (k + l ) = k + l ； (第一分配律)(8)k ( + ) = k + k . (第二分配律)A小结 加法 4 条

15、、数量乘法 2 条、联系 2 条.定义 4 V 关于几何向量的加法与数量乘法，称为几何向量空间.减法是加法的派生运算： - = + (- ) .例8 取定点 O ，设 ABC 的重心为 G ，求证 G1 OG = 3 (OA+ OB+ OC ) .B D C证 设边 BC 的中点为 D ，则 G 为 AD 的 2 :1分点，有1 AD = 2 ( AB+ AC ) ， 2AG = 3 AD ，1 1 1 1 OG = OA+ AG = OA+ 3 ( AB+ AC ) = 3 OA+ 3 (OA+ AB) + 3 (OA+ AC )1 = 3 (OA+ OB+ OC ) . 3、几何向量空间的

16、基定理 6 (1) 设向量 0 与 共线，则必有确定的 x R ，使得 = x ；(2) 设向量 , 不共线，而 , , 共面，则必有确定的 x, y R ，使得 = x + y ；(3) 设向量 , , 不共面，则对于任一向量 ，必有确定的 x, y, z R ，使得 = x + y + z .证 (1) 显然成立，其中 x 可记作 . (2) 如下左图，取定点 O ，作 OA = , OB = , OC = ，则点 C 在平面 OAB 上.过点 C 平行于 OB 作直线交 OA 于点 D ，则 = OC = OD+ DC = x + y . 其中，点 D 、实数 x = OD 与 y =

17、DC 均唯一确定. (3) 如下右图，取定点 O ，作 OA = , OB = , OC = ，则点 C 在平面 OAB 之外.再做 OD = ，并过点 D 平行于 OC 作直线交平面 OAB 于点 E ，则 = OD = OE + ED = ( x + y ) + z . 其中，点 E 、实数 z = ED 均唯一确定，而 OE = x + y 中的 x, y 按(2)唯一确定. CBy DCz B Ex + yD x O AO A定义 5 称有序的不共面向量 , , 为几何向量空间V 的一个基(底).称 3 元有序实数组 ( x, y, z) 为向量 = x + y + z 在基 , ,

18、下的坐标.x, y, z 分别称为横坐标、纵坐标、竖坐标，统称为坐标分量.注 基 , , 就是V 的极小生成元组.4、坐标系定义 6 在宇宙U 中取定点 O ，在几何向量空间V = OM | M U 中取定基 , , ，则称O; , , 为U 的一个(仿射)坐标系.O 称为坐标系的原点. 过原点 O 的与基向量 , , 同向的有向直线 Ox, Oy, Oz 分别称为 x 轴、 y 轴、 z 轴，统称为坐标轴. 平面 xOy,常记作 Oxyz .yOz,zOx 统称为坐标面. 该坐标系也对点 M U ，也称向径 OM 在基 , , 下的坐标 ( x, y, z) 为点 M 的坐标，并记点M 为

19、M ( x, y, z) .注1 在宇宙U 、几何向量空间V 、 3 元有序实数组形成的集合 R3 = ( x, y, z) | x, y,z R有一一对应关系： 几何向量OM = x + y + z V 点M ( x, y, z) U 三元有序实数组( x, y, z) R3注2 在建立坐标系 Oxyz ，宇宙U 被分割为以下几个部分：1个原点 O(0, 0, 0) 、6 个半轴( x, y, z 轴各正、负半轴)、12 个象限( 3 个坐标面上各有 4 个象限)、8 个卦限( 3 个坐标面外的其他部分).例9 在坐标系O; , , (或 Oxyz )中，设 ABC 的重心为 G ，且A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， C ( x3 , y3 , z3 ) ， G( x0 , y0 , z0 ) .1 由 OG = 3 (OA+ OB+ OC ) ，可知x0 = 3 ( x1 + x2 + x3 ) ， y0 = 3 ( y1 + y2 + y3 ) ， z0 = 3 ( z1 + z2 + z3 ) .1 1 1练习 对几何向量1 ,