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2007-2018全国卷概率统计解答题（文科）
07年20题
设有关于x的一元二次方程
x2
2axb2
0．
（Ⅰ）若a是从01，，2，3四个数中任取的一个数，
b是从01，，2三个数中任取的一个数，
求上述方程有实根的概
率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]
任取的一个数，
b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
08年19题
19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某
校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10。
把这6名学生的得分看成一个总体。
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。
求该样
本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
0.5的概率。
2009年19题
19．（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中
250名工人参加过短期培训（称为
A类工人），另外750名工人参加过长期培训
（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按
A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查
100名工人，调查他
们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）
．
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从
B类工人中的抽查结果分别如下表
1和表2．
表1：
生产能力分组
100,110
110,120
120,130
130,140
140,150
人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组
110,120
120,130
130,140
140,150
人数
6
y
36
18
（i）先确定x,y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，
A类工人中个体间的差异
程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？
（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
1
2010年19
（19）（本小分12分）
某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用随机抽方法从地区了500位老人，果如下：
男女
您是否需要志愿者
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的，能否提出更好的法来估地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年
人的比例？
明理由。
附：
P（K≧≧k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.625
10.828
n（ad-bc）
2
2
K=（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
（19）解：
（1）的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此地区老年人中需要帮助的老年人的比例
的估
70
14%.
⋯⋯4分
500
160）2
（2）k2
500（40
270
30
9.967
200
300
70
430
由于9.967
6.635所以有99%的把握地区的老年人是否需要帮助与性有关
.⋯⋯8分
（3）由于
（2）的知，地区的老年人是否需要帮助与性有关，并且从本数据能看出地区男
性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明差异,因此在,先确定地区老年人中男,女的比例，再
把老年人分成男,女两并采用分抽方法比采用反随即抽方法更好.⋯⋯12分
2011年19
19.（本小12分）
2
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的
产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并
测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分[90,94）[94,98）[98,102）[102,106）[106,110）
组
频数82042228
B配方的频数分布表
指标值分
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
组
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
2,
t
94
y
2,
94
t102
4,
t
102
估计用B配方生产的一件产品的利润大于
0的概率，并求用
B配方生产的上述
100件产品平均一件的利
润.
19.（Ⅰ）
30
32
10
0.42
;
PA100
0.3,
PB
100
96
（Ⅱ）用B配方生产的一件产品的利润大于
0的概率P
0.96;
4
（2）
542
42
4
100
2.68
（元）.
平均利润:
100
2012年18题
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝
5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，
然后以每枝10元的价格出售。
如果当天卖不完，剩
下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进
17枝玫瑰花，求当天的利润
y（单位：
元）关于当天需求量
n（单位：
枝，n∈N）的函
数解析式。
（Ⅱ）花店记录了
100天玫瑰花的日需求量（单位：
枝）
，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（1）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：
元）的平均数；
（2）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。
2013年I卷18题
18（本小题满分共12分）
为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为
A药，B药）的疗效，随机地选取
20位患者服用A药，20位患者
服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h），试验的观测结果如
下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.5
2.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4
3
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4
1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
2013年II卷19题
（19）（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏
损300元。
根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。
经销商为下一
个销售季度购进了130t该农产品。
以X（单位：
t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需
求量，T（单位：
元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
4
2014年I卷18
（18）（本小分12分）
从某企生的某种品中抽取
100
件，量些品的一量指，
由量表得如下数分布表：
量指分
[75，85）
[85
，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125）
数
6
26
38
22
8
（I）在答卡上作出些数据的率分布直方：
（II）估种品量指的平均数及方差（同一中的数据用区的中点作代表）；
（III）根据以上抽数据，能否企生的种品符合“量指不低于95的品至少
要占全部品的80%”的定？
【解析】：
（I）
⋯⋯⋯⋯4分
（II）量指的本平均数
x
80
0.06
90
0.26
100
0.38
110
0.22
120
0.08
100.
量指的本方差
s2
20
2
0.06
2
0.38
10
2
2
104⋯10分
100.260
0.22
200.08
（Ⅲ）量指不低于95
的品所占比例的估
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于估小于
0.8,故不能
企生的种品“量指不低于
95
的品至少要占全部品
80%”的定.⋯⋯⋯⋯⋯.12
分
2014年II
卷19
5
（19）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分
越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
（19）解：
（I）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第
25，26位的是75,75，故样本中位
数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是
75。
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，
排在第25，26位的是
66,68，故样本中位数为6668
67，
所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是
67.
2
（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于
90
的比率分别为
市的市民对甲、乙部门的评分高于
90的概率的估计值分别为
0.1
，0.16.
5
0.1，8
0.16，故该
50
50
（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大
致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价
较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大。
（注：
考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。
）
2015年I卷19题
19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）
对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yii1,2,L,8
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
rurur
xyw
n
n
n
n
（xi
x）2
（wiw）2
（xix）（yiy）
（wiw）（yiy）
i1
i1
i1
i
1
46.656.36.8289.81.61469108.8
6
表中w=
x
ur1
n
1,
，
w=
wi
1
8
i1
（I）根据散点判断，
ya
bx与yc
dx，哪一个适宜作年售量
y关于年宣x的回方程
型（出判断即可，不必明理由）；
（II
）根据（I）的判断果及表中数据，建立
y关于x的回方程；
（III
）已知种品的年利
z与x，y的关系z0.2yx，根据（II
）的果回答下列：
（i）当年宣x90，年售量及年利的多少？
（ii）当年宣x何，年利的最大？
附：
于一数据
（u1,v1）,
（u2,v2），⋯⋯，（un,vn）,其回v
u的斜率和截距的最小二乘估
分：
n
（uiu）（viv）
μi1
n
，
μ
μ
=
u）2
=v
u
（ui
i
1
【答案】（Ⅰ）y
c
$
100.668
x（Ⅲ）
dx适合作年售y关于年宣用x的回方程型（Ⅱ）y
46.24
【解析】
分析：
（Ⅰ）由散点及所函数像即可出适合作合的函数；
（Ⅱ）令w
x，先求出建立y关
于w的性回方程，即可
y关于x的回方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y关于x的回方程先求出年售量
y的
，再根据年利率
z与x、y的关系z=0.2y-x即可年利z的；（ⅱ）根据（Ⅱ）的果知，年
利z的，列出关于x的方程，利用二次函数求最的方法即可求出年利取最大的年宣用
.
考点：
非
性合；性回方程求法；利用回方程行；用意
7
2015年II卷18题
18.（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,
根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的
频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值
及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
8
考点：
1.频率分布直方图；2.概率估计.
2016年I卷19题
（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在
购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个
500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内
更换的易损零件数，得下面柱状图：
频数
24
20
16
10
6
0
16
17
18
19
20
21
更换的易损零件数
记x表示1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，
y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单
位：
元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19，求y与x的函数解析式；
9
（II
）若要求“需更换的易损零件数不大于
n”的频率不小于0.5
，求n的最小值；
（III
）假设这100台机器在购机的同时每台都购买
19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算
这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，
以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买
19个还
是20个易损零件？
3800,
x
19,
N）（II）19；（III
）19.
【答案】（I）y
5700,x
（x
500x
19,
；
【解析】
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
?
70
?
20
?
10）
4000
100
（3800
4300
4800
.
若每台机器在购机同时都购买
20个易损零件，则这100台机器中有
90台在购买易损零件上的费用为
4000，
10
台的费用为
4500
，因此这
100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1（400090450010）4050.
100
比较两个平均数可知，购买
1台机器的同时应购买
19个易损零件.
2016年II卷18题
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为
a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的
200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
5
频数
60
50
30
30
20
10
（Ⅰ）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”
.求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年
度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160％”.
求P（B）的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
【答案】（Ⅰ）由
6050求P（A）的估计值；（Ⅱ）由
3030求P（B）的估计值；（III
）根据平均值得计算
公式求解.
200
200
10
试题解析：
（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为
60
50
0.55，
200
故P（A）的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于
1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于
1且小于4
的频率为3030
0.3，
200
故P（B）的估计值为0.3.
（Ⅲ）由题所求分布列为：
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30a
0.251.25a0.151.5a
0.151.75a
0.302a
0.101.1925a
，
因此，续保人本年度平均
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