历届noip提高组复赛试题.docx
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历届noip提高组复赛试题
NOI’95“同创杯”全国青少年信息学（计算机）奥林匹克竞赛
分区联赛复赛试题（高中组）
（上机编程，完成时间：
210分钟）
<1>编码问题：
设有一个数组A:
ARRAY[0..N-1]OFINTEGER；
数组中存放的元素为0～N-1之间的整数，且A[i]≠A[j]（当i≠j时）。
例如：
N=6时，有：
A=（4，3，0，5，1，2）
此时，数组A的编码定义如下：
A[0]的编码为0；
A[i]的编码为：
在A[0]，A[1]，…，A[i-1]中比A[i]的值小的个数（i=1，2，…，N-1）
∴上面数组A的编码为：
B=（0，0，0，3，1，2）
程序要求解决以下问题：
1给出数组A后，求出其编码。
2给出数组A的编码后，求出A中的原数据。
<2>灯的排列问题：
设在一排上有N个格子（N≤20），若在格子中放置有不同颜色的灯，每种灯的个数记为N1，N2，……Nk（k表示不同颜色灯的个数）。
放灯时要遵守下列规则：
1同一种颜色的灯不能分开；
2不同颜色的灯之间至少要有一个空位置。
例如：
N=8（格子数）
R=2（红灯数）
B=3（蓝灯数）
放置的方法有：
R-B顺序
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
B-R顺序
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
B
B
B
R
R
放置的总数为12种。
数据输入的方式为：
N
P1（颜色，为一个字母）N1（灯的数量）
P2N2
……
Q（结束标记，Q本身不是灯的颜色）
程序要求：
求出一种顺序的排列方案及排列总数。
<3>设有一个四层的积木块，1～4层积木块的数量依次为：
5，6，7，8
如下图所示放置：
8
15
8
5
16
9
14
2
3
4
1
4
3
2
6
其中，给出第三层与第四层所标示的数字，并已知第三层的数据是由第四层的数据计算出来的。
计算的方法是：
第三层的某个数据A是由第四层相邻的两个数据B，C经过某种计算后产生的：
A
B
C
计算所用到的计算符为：
+，-，
，且无优先级之分（自左向右计算），运算符最多为2个。
如：
3+4
5=355
4+3=23
可以看出，上图中的第三层的数据是由第四层的数据用以下计算公式计算出来的：
A=B
C+B
也就是：
8=2
3+2，15=3
4+3，……14=2
6+2
程序要求：
给出第四层与第三层的数据后，将第一、二层的每块积木标上相应的数据，并输出整个完整的积木图及计算公式。
1输入数据不存在出错的情况，同时也不会超过整数的范围。
2计算时可允许出现以下情况：
A=B（即可理解为运算符的个数为零）
A=B
B+B（即全部由B产生）
第二届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛复赛试题
（高中组竞赛用时：
3小时）
1．比赛安排（20分）
设有有2n（n<=6）个球队进行单循环比赛，计划在2n–1天内完成，每个队每天进行一场比赛。
设计一个比赛的安排，使在2n–1天内每个队都与不同的对手比赛。
例如n=2时的比赛安排：
队1234
比赛1==23==4一天
1==32==4二天
1==42==3三天
2．数制转换（20分）
设有一个字符串A$的结构为：
A$=’mp’
其中m为数字串（长度<=20），而n,p均为1或2位的数字串（其中所表达的内容在2-10之间）。
程序要求：
从键盘上读入A$后（不用正确性检查），将A$中的数字串m（n进制），以p进制的形式输出。
例如：
A$=’48<10>8’
其意义为：
将10进制数48，转换成8进制数输出。
输出结果为：
48<10>=60<8>
4．挖地雷（30分）
在一个地图上有N个地窖（N<=20），每个地窖中埋有一定数量的地雷。
同时，给出地窖之间的连接路径。
V1V2V3V4V5
例如：
[题目要求]
当地窖及其连接的数据给出之后，某人可以从任一处开始挖地雷，然后可以沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。
设计一个挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。
输入格式：
N：
（表示地窖的个数）
Ｗ1，W2，W3，……WN（表示每个地窖中埋藏的地雷数量）
地窖之间连接路径（其中Ａij=1表示地窖i,j之间是否有通路：
通Aij=1,不通Aij==0）
A12…………….A1N
A23…………..A2N
……..
AN-1N
输出格式：
K1--K2--……….KV（挖地雷的顺序）
MAX（挖地雷的数量）
例如：
⑩--------⑧④-----⑦-------⑥
其输入格式为：
输出：
51–3-4-5
10，8，4，7，6max=27
1110
000
11
1
4．砝码称重（30分）
设有1g、2g、3g、5g、10g、20g的砝码各若干枚（其总重<=1000），
要求：
输入方式：
a1a2a3a4a5a6
（表示1g砝码有a1个，2g砝码有a2个，…，20g砝码有a6个）
输出方式：
Total=N
（N表示用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况）
如输入：
1_1_0_0_0_0（注：
下划线表示空格）
输出：
TOTAL=3表示可以称出1g，2g，3g三种不同的重量。
第三届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛复赛试题
（高中组竞赛用时：
3小时）
1．在N*N的棋盘上（1≤N≤10），填入1，2，…，N*N共N*N个数，使得任意两个相邻的数之和为素数。
（30%）
其相邻数的和为素数的有：
1+2，1+4，4+3，2+3
例如：
当N=2时，有：
1
2
4
3
当N=4时，一种可以填写的方案如下：
1
2
11
12
16
15
8
5
13
4
9
14
6
7
10
3
在这里我们约定：
左上角的格子里必须填数字1。
程序要求：
输入：
N；
输出：
如有多种解，则输出第一行、第一列之和为最小的排列方案；若无解，则输出“NO！
”。
2．代数表达式的定义如下：
例如，下面的式子是合法的代数表达式：
a；
a+b*（a+c）;
a*a/（b+c）
下面的式子是不合法的代数表达式：
ab;
a+a*/（b+c）;
程序要求：
输入：
输入一个字符串，以“；”结束，“；”本身不是代数表达式中字符，仅作为结束）；
输出：
若表达式正确，则输出“OK”；若表达式不正确，则输出“ERROR”，及错误类型。
错误类型约定：
1．式了中出现不允许的字符；
2．括号不配对；
3．其它错误。
例如：
输入：
a+（b）;输出：
OK
例如：
输入：
a+（b+c*a;输出：
ERROR2
3．骑士游历：
设有一个n*m的棋盘（2≤n≤50，2≤m≤50），如下图，在棋盘上左下角有一个中国象棋马。
（n,m）
（1,1）
马走的规则为：
（1）马走日字；
（2）马只能向右走
即如下图如示：
任务1：
当n,m输入之后，找出一条从左下角到右上角的路径。
例如，输入：
n=4，m=4
输出：
路径的格式：
（1,1）→（2,3）→（4,4）。
若不存在路径，则输出‘NO’
任务2：
当n，m给出之后，同时给出马起点的位置和终点的位置，试找出从起点到终点的所有路径的数目。
例如：
（n=10,m=10），（1，5）（起点），（3，5）（终点）
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
12345678910
输出：
2（即由（1，5）到（3，5）共有2条路径）
输入格式：
n,m,x1,y1,x2,y2（分别表示n,m,起点坐标，终点坐标）
输出格式：
路径数目（若不存在从起点到终点的路径，输出0）
第四届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛复赛试题
（高中组竞赛用时：
3小时）
1．火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。
从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：
上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。
现给出的条件是：
共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。
试问x站开出时车上的人数是多少？
输入：
a，n，m和x
输出：
从x站开出时车上的人数。
{20%}
2．设有n个正整数（n≤20），将它们联接成一排，组成一个最大的多位整数。
又如：
n=4时，4个整数7，13，4，246联接成的最大整数为：
7424613
程序输入：
n
n个数
程序输出：
联接成的多位数{40%}
3．着名科学家卢斯为了检查学生对进位制的理解，他给出了如下的一张加法表，表中的字母代表数字。
例如：
{40%}
+
L
K
V
E
L
L
K
V
E
K
K
V
E
KL
V
V
E
KL
KK
E
E
KL
KK
KV
其含义为：
L+L=L，L+K=K，L+V=V，L+E=E
K+L=K，K+K=V，K+V=E，K+E=KL……
E+E=KV
根据这些规则可推导出：
L=0，K=1，V=2，E=3
同时可以确定该表表示的是4进制加法
程序输入：
n（n≤9）表示行数。
以下n行，每行包括n个字符串，每个字串间用空格隔开。
（字串仅有一个为‘+’号，其它都由大写字母组成）
程序输出：
①各个字母表示什么数，格式如：
L=0，K=1，……
②加法运算是几进制的。
③若不可能组成加法表，则应输出“ERROR！
”
第五届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛复赛试题
（提高组竞赛用时：
3小时）
第一题拦截导弹（28分）
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：
虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
样例：
INPUTOUTPUT
389207155300299170158656（最多能拦截的导弹数）
2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）
第二题回文数（25分）
若一个数（首位不为零）从左向右读与从右向左读都一样，我们就将其称之为回文数。
例如：
给定一个10进制数56，将56加65（即把56从右向左读），得到121是一个回文数。
又如：
对于10进制数87：
STEP1：
87+78=165STEP2：
165+561=726
STEP3：
726+627=1353STEP4：
1353+3531=4884
在这里的一步是指进行了一次N进制的加法，上例最少用了4步得到回文数4884。
写一个程序，给定一个N（2<=N<=10或N=16）进制数M，求最少经过几步可以得到回文数。
如果在30步以内（包含30步）不可能得到回文数，则输出“Impossible！
”
样例：
INPUTOUTPUT
N=9M=87STEP=6
第三题旅行家的预算（27分）
一个旅行家想驾驶汽车以最少的费用从一个城市到另一个城市（假设出发时油箱是空的）。
给定两个城市之间的距离D1、汽车油箱的容量C（以升为单位）、每升汽油能行驶的距离D2、出发点每升汽油价格P和沿途油站数N（N可以为零），油站i离出发点的距离Di、每升汽油价格Pi（i=1，2，……N）。
计算结果四舍五入至小数点后两位。
如果无法到达目的地，则输出“NoSolution”。
样例：
INPUT
D1=275.6C=11.9D2=27.4P=2.8N=2
油站号I
离出发点的距离Di
每升汽油价格Pi
1
102.0
2.9
2
220.0
2.2
OUTPUT
26.95（该数据表示最小费用）
第四题邮票面值设计（40分）
给定一个信封，最多只允许粘贴N张邮票，计算在给定K（N+K≤40）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值MAX，使在1～MAX之间的每一个邮资值都能得到。
例如，N=3，K=2，如果面值分别为1分、4分，则在1分～6分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有8分、9分和12分）；如果面值分别为1分、3分，则在1分～7分之间的每一个邮资值都能得到。
可以验证当N=3，K=2时，7分就是可以得到的连续的邮资最大值，所以MAX=7，面值分别为1分、3分。
样例：
INPUTOUTPUT
N=3K=213
MAX=7
2000年
题一进制转换（18分）
问题描述
我们可以用这样的方式来表示一个十进制数：
将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的（值减１）为指数，以１０为底数的幂之和的形式。
例如：
１２３可表示为１＊１０２＋２＊１０１＋３＊１００这样的形式。
与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的（值－１）为指数，以２为底数的幂之和的形式。
一般说来，任何一个正整数Ｒ或一个负整数－Ｒ都可以被选来作为一个数制系统的基数。
如果是以Ｒ或－Ｒ为基数，则需要用到的数码为０，１，．．．．Ｒ－１。
例如，当Ｒ＝７时，所需用到的数码是０，１，２，３，４，５和６，这与其是Ｒ或－Ｒ无关。
如果作为基数的数绝对值超过１０，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于９的数码。
例如对１６进制数来说，用Ａ表示１０，用Ｂ表示１１，用Ｃ表示１２，用Ｄ表示１３，用Ｅ表示１４，用Ｆ表示１５。
在负进制数中是用－Ｒ作为基数，例如－１５（十进制）相当于１１０００１（－２进制），并且它可以被表示为２的幂级数的和数：
１１０００１＝１＊（－２）５＋１＊（－２）４＋０＊（－２）３＋０＊（－２）２＋
０＊（－２）１＋１＊（－２）０
问题求解
设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数,并将此十进制数转换为此负进制下的数：
－Ｒ∈｛－２，－３，－４，．．．，－２０｝
输入
输入的每行有两个输入数据。
第一个是十进制数Ｎ（－32768＜＝Ｎ＜＝32767）；第二个是负进制数的基数－Ｒ。
输出
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过１０，则参照１６进制的方式处理。
样例
输入
３００００ －２
－２００００ －２
２８８００ －１６
－２５０００ －１６
输出
３００００＝１１０１１０１０１０１１１００００（ｂａｓｅ －２）
－２００００＝１１１１０１１０００１０００００ （ｂａｓｅ －２）
２８０００＝１９１８０ （ｂａｓｅ －１６）
－２５０００＝７ＦＢ８ （ｂａｓｅ －１６）
提高组题二乘积最大（22分）
问题描述
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国着名数学家华罗庚先生诞辰90周年。
在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。
活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：
312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1）3*12=36
2）31*2=62
这时，符合题目要求的结果是：
31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入
程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。
输出
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
样例
输入
42
1231
输出
62
提高组题三．单词接龙（27分）
问题描述
单词接龙是一个与我们经常玩的成语接龙相类似的游戏，现在我们已知一组单词，且给定一个开头的字母，要求出以这个字母开头的最长的“龙”（每个单词都最多在“龙”中出现两次），在两个单词相连时，其重合部分合为一部分，例如beast和astonish，如果接成一条龙则变为beastonish，另外相邻的两部分不能存在包含关系，例如at和atide间不能相连。
输入
输入的第一行为一个单独的整数n（n<=20）表示单词数，以下n行每行有一个单词，输入的最后一行为一个单个字符，表示“龙”开头的字母。
你可以假定以此字母开头的“龙”一定存在.
输出
只需输出以此字母开头的最长的“龙”的长度
样例：
输入
5
at
touch
cheat
choose
tact
a
输出
23（连成的“龙”为atoucheatactactouchoose）
提高组题四．方格取数（33分）
问题描述
设有N*N的方格图（N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。
如下图所示（见样例）：
某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。
在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入
输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。
一行单独的0表示输入结束。
输出
只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
样例：
输入
8
2313
266
357
4414
5221
564
6315
7214
100
输出
67
2001年
题一?
一元三次方程求解（20分）
问题描述
有形如：
ax3+bx2+cx+d=0?
这样的一个一元三次方程。
给出该方程中各项的系数（a，b，c，d?
均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至100之间），且根与根之差的绝对值>=1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后2位。
提示：
记方程f（x）=0，若存在2个数x1和x2，且x1样例
输入：
1?
?
-5?
?
-4?
?
20
输出：
-2.00 2.00 5.00
题二数的划分（20分）
问题描述
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同（不考虑顺序）。
例如：
n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
1，1，5;1，5，1;5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入：
n，k（6输出：
一个整数，即不同的分法。
样例
输入：
73
输出：
4{四种分法为：
1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}
题三统计单词个数（30分）
问题描述
给出一个长度不超过200的由小写英文字母组成的字母串（约定;该字串以每行20个字母的方式输入，且保证每行一定为20个）。
要求将此字母串分成k份（1当选用一个单词之后，其第一个字母不能再用。
例如字符串this中可包含this和is，选用this之后就不能包含th）。
单词在给出的一个不超过6个单词的字典中。
要求输出最大的个数。
输入格式
去部输入数据放在文本文件input3.dat中，其格式如下：
第一行为一个正整数（0每组的第一行有二个正整数（p，k）
p表示字串的行数;
k表示分为k个部分。
接下来的p行，每行均有20个字符。
再接下来有一个正整数s，表示字典中单词个数。
（1<=s<=6）
接下来的s行，每行均有一个单词。
输出格式
结果输出至屏幕，每行一个整数，分别对应每组测试数据的相应结果。
样例
输入：
1
13
thisisabookyouareaoh
4
is
a
ok
sab
输出：
//说明：
（不必输出）
7//this/isabookyoua/reaoh
题四Car的旅行路线（30分）
问题描述
又到暑假了，住在城市A的Car想和朋友一起去城市B旅游。
她知道每个城市都有四个飞机场，分别位于一个矩形的四个顶点上，同一个城市中两个机场之间有一条笔直的高速铁路，第I个城市中高速铁路了的单位里程价格为Ti，任意两个不同城市的机场之间均有航线，所有航线单
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