圆切线证明的方法.docx
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圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论1:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
切线的性质定理的推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为。
O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB点C在圆上，/CA圧30o.求证：
DC是OO的切线.
思路：
要想证明DC是O0的切线，只要我们连接0C证明/OCa90o即可.
证明：
连接OCBC.
•••AB为OO的直径，•••/ACB=90o.
1
CAB=30o,.°.BC=—AB=OB
2
'/BD=0耳「.BC=—OD.・./OCa90o.
2
•••DC是OO的切线.
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
【例2】如图2,已知AB为OO的直径，过点B作OO的切线BC,连接OC弦AD//OC求证：
CD是OO的切线.
图2
思路：
本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是OO的切线，只要证明/ODC
a90o即可.
证明：
连接0D
•••OC//AD•••/1=Z3,Z2=Z4.
T0A=OD.・./1=/2.—Z3=/4.
又•OB=ODOC=OC
•••△OBC2AODC—ZOBC=ZODC
•BC是OO的切线，.ZOBC=90o.—ZOD=90o.
.DC是OO的切线.
【例3】如图2,已知AB为OO的直径，C为OO上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：
AC平分ZDAB
图3
思路：
利用圆的切线的性质一一与圆的切线垂直于过切点的半径.
证明：
连接OC
•CD是OO的切线，.OCLCD
•AD丄CD—OC/AD.1=Z2.
•OC=OA1=Z3.—Z2=/3.
.AC平分/DAB
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线.
【例4】如图1，BC是OO上的点，线段AB经过圆心O,连接ACBC，
过点C作CDLAB于D,/AC[=2/B.AC是OO的切线吗为什么
解：
AC是OO的切线.
理由：
连接OC
•
图1
OC=OB
•••/OCBZB.
•/CO[是△BOC的外角，
•••/COD/OC+ZB=2ZB.
•••/ACD2ZB,
•••ZACDZCOD
vCD£AB于D,
•ZDCOZCOD900
•ZDCOZACD90°
即OSAC
vC为OO上的点，
•AC是OO的切线.
【例5】如图2,已知00是厶ABC的外接圆，AB是OO的直径，D是AB的延长线上的一点，AE丄DC交DC的延长线于点E,且AC平分ZEAB求证：
DE是OO的切线.
图2
证明：
连接OC则OA=OC
•ZCAOZACO
vAC平分ZEAB
•ZEAC=ZCAOZACO，
•AE//CO又AE丄DE
•COLDE
•DE是OO的切线.
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂
线段的长等于半径
【例6】如图3，AB=ACOB=OCOO与AB边相切于点D.
证明：
连接OD作OELAC，垂足为E.
vAB=ACOB=OC
•AO为ZBAC角平分线，ZDAOZEAO
vOO与AB相切于点D,
•••/BD（=ZCEO90°.tAO=AO
•••△ADO2AAEO所以OE=OD
vOD是OO的半径，二OE>OO的半径.
/•©O与AC边相切.
【例7】如图，在△ABC中,AB=AC以AB为直径的OO交BC于D,交AC于E,
A
C
B
F
B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：
EF与OO相切.
证明：
连结OEAD.
vAB是OO的直径，
•••ADLBC.
又vAB=BC
•••/3=Z4.
••伯D=DE/仁/2.
又vOB=OEOF=OF
•••△BOF^AEOF（SAS.
•••/OBF2OEF.
vBF与OO相切，
•••OBLBF.
•••/OEF=90
•EF与OO相切.
说明：
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：
PA与OO相切.
证明一：
作直径AE,连结EC.
vAD是/BAC的平分线，DABMDAC.
vPA=PD2=Z1+ZDAC.
又•••/B=ZE,
vAE是。
O的直径，
•AC丄EC,ZE+ZEAC=90
•Z1+ZEAC=90即OALPA.
•PA与OO相切.
证明二：
延长AD交OO于E,连结OAOE.
vAD是ZBAC的平分线,
•BE=CE
•OELBC.
•ZE+ZBDE=90
vOA=OE
•ZE=Z1.
vPA=PD
•ZPADZPDA.
又vZPDAZBDE,
•Z1+ZPAD=90
即OALPA.
•PA与OO相切
说明：
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
【例9】如图，AB=ACAB是OO的直径，OO交BC于D,DMLAC于M
求证：
DM与OO相切.
证明一：
连结OD.
vAB=AC
•ZB=ZC.
vOB=OP
•Z1=ZB.
•••OD/AC.
vDMLAC
•DMLOD.
•DM与OO相切
证明二：
连结ODAD.
vAB是OO的直径，
•AD丄BC.
又vAB=AC,
•Z仁/2.
vDMLAC,
•Z2+Z4=90°
vOA=OD
•Z1=Z3.
•Z3+Z4=90°.
即ODLDM.
•DM是OO的切线
说明：
证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】如图，已知：
AB是OO的直径，点C在OO上,且ZCAB=30,BD=OB
D在AB的延长线上.
求证：
DC是OO的切线
证明：
连结OCBC.
vOA=OC
•ZA=Z1=Z300.
•ZBOCZA+Z1=600.
又vOC=O,
•••OB=BC.
vOB=BD
•••OB=BC=BD.
/•OCLCD.
•••DC是OO的切线.
说明：
此题解法颇多，但这种方法较好•
【例12】如图，AB是。
O的直径，CDLAB且oA=OD・OP.
求证：
PC是OO的切线.
证明：
连结OC
voA=OD・OPOA=OC
•••OC=OD・OP
OCOP
ODOC.
又v/仁/1,
•••△OCP^ODC.
•••/OCP/ODC.
vCDLAB
•••/OCP=90•••PC是OO的切线.
说明：
此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交
CD于F.
求证：
。
丘与厶CFG勺外接圆相切.
分析：
此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在
斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O,连结OC证明CE!
OC即可得解.
证明：
取FG中点O,连结OC.
•••BCLCD△CFG是Rt△
vO是FG的中点，
•••O是Rt△CFG勺外心.
vOC=O,
:
丄3=ZG
vAD//BC,
/•ZG=Z4.
vAD=CDDE=DE
ZADEZCDE=45
•••△ADE^ACDE（SAS
.•.Z4=Z1,Z1=Z3.
vZ2+Z3=9C°,
•••Z1+Z2=9C°.
即CELOC.
•。
丘与厶CFG勺外接圆相切
二、若直线I与。
0没有已知的公共点，又要证明I是。
O的切线，只需作
OALI，A为垂足，证明OA是OO的半径就行了，简称：
“作垂直；证半径”
【例14】如图，AB=ACD为BC中点，OD与AB切于E点.
求证：
AC与OD相切.
证明一：
连结DE作DFLAC，F是垂足.
vAB是OD的切线，
•DELAB.
vDFLAC，
•ZDEBZDFC=90
vAB=AC
•ZB=ZC.
•••DF=DE.
•••F在OD上.
•••AC是OD的切线
证明二：
连结DEAD,作DF丄AC,
•••AB与OD相切，
•••DELAB.
•••AB=ACBD=CD
•••/仁/2.
•••DELAB,DFLAC,
•••DE=DF.
•••F在OD上.
•••AC与OD相切.
DF=DB的，证明二是利用角平分线
说明：
证明一是通过证明三角形全等证明的性质证明DF=DB的，这类习题多数与角平分线有关.
【例15】已知：
如图,AC,BD与OO切于A、B,且AC//BD,若/COD=90求证：
CD是OO的切线.
证明：
连结OAOB作OELCD于E,延长DO交CA延长线于F.
•••AC,BD与OO相切,
•••ACLOABDLOB.
•••AC//BD,
•••/F=ZBDO.
又vOA=OB
•••△AOF^ABOD（AAS
•••OF=OD.
vzCOD=90
•••CF=CD/仁/2.又vOALACOE!
CD•••OE=OA.
•••E点在。
O上.
•••CD是OO的切线.
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