初二几何经典难题集锦含答案.docx
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初二几何经典难题集锦含答案
初二几何经典训练题
1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.
⑴求证：
四边形ABFE是等腰梯形;
⑵求AE的长.
2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：
△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF和OF的长。
3、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当≤t≤t0（t0为
（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：
在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。
4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF之长。
5、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C。
（1）求证：
△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在
（1）、
（2）的条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）。
6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，
我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。
7、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等并证明你的结论．
8、如图已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_____________。
对
（1）
（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明。
1、解答：
（1）证明略;⑵AE=BF=
.
（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据△BCF∽△ACB，得到BF2=CFAF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长。
2、解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=
1
2
OA，BF=
1
2
OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；
（2）过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴
FG
BC
＝
DF
DB
＝
DG
DC
由
（1）可知F为OB的中点，
所以DF=3FB，得
DF
DB
＝
3
4
∴
FG
4
＝
3
4
＝
DG
8
∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，CF＝
FG2+GC2
＝
9+4
＝
13
cm．
（说明：
其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）
解答：
（1）略
（2）∴OF=
cm．
（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF；
（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC；由
（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，进而求得CF的长．
3、解答：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示
∴AB∥DE
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-EC=3cm（2分）
点P从出发到点C共需
13+3
2
=8（秒），
点Q从出发到点C共需
8
1
=8秒（3分），
又∵t≥0，
∴0≤t≤8（4分）；
（2）当t=（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
∴当≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示
∴PM∥DE
∴
PC
DC
=
PM
DE
即
162t
13
=
PM
12
∴PM=
12
13
（16-2t）（7分）
又∵BQ=t
∴y=
1
2
BQPM
=
1
2
t
12
13
（16-2t）
=-
12
13
t2+
96
13
t（3分），
（3）∵由
（2）知y=-
12
13
t2+
96
13
t=-
12
13
（t-4）2+
192
13
，
即顶点坐标是（4，
192
13
），抛物线的开口向下，
即抛物线被对称轴分成两部分：
在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小；
即当0≤t≤时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：
①上述不等式中，“＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：
当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
③若学生答：
△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）
4、解答：
∵AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED，
∴∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=BD，
又∵D为线段FB的中点，
∴AC
∥
.
FD，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴△AGC∽△BGF，
∴
CG
GF
＝
AC
FB
=
1
2
，
∴
CFGF
GF
＝
1
2
，
又∵CF=15cm，解得GF=10（cm），
∴GF=10（cm）．
5、解答：
（1）∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED
∴△ABF∽△EAD。
（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°
设
，则
由勾股定理得
解得
。
（3）∵△ABF∽△EAD
∴
得
。
6、解答：
解：
作出示意图
连接AB，同时连结OC并延长交AB于E，…………………………………………（1＇）
因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴…………………………………………（2＇）
∴OE⊥ABAE＝BE………………………………………………（3＇）
∴Rt△OCD∽Rt△OAE……………………………………………………（4＇）
∴
＝
…………………………………………………………………（5＇）
而OC＝
＝
＝26……………………………………（6＇）
即
＝
∴AE＝
＝15……………………（7＇）
∴AB＝2AE＝30（mm）…………………………………………………（8＇）
答：
AB两点间的距离为30mm.
7、解答：
（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴
BP
DE
=
AB
AD
∴BP=
AB
AD
DE=
6
18
×6=2；
（2）图中的△EGP与△ACQ全等
证明：
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ。
8、解答：
（1）证明：
∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴
．∴
，
又∵BF=EA，
∴
，
∴
，
∴AC=FH+EG；
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：
EG+FH=AC，
证明
（2）：
过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形，
∴EG=PC，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP，
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA，
∴HF=AP，
∴AC=PC+AP=EG+HF，
即EG+FH=AC；
（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：
EG﹣FH=AC，
如图，过点A作AP∥BC交EG于P，
∵EG∥AC，
∴四边形APGC为平行四边形，
∴AC=PG，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE，
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA，
∴HF=EP，
∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF，
即EG﹣FH=AC。
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