初中数学分式计算题及答案.docx
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初中数学分式计算题及答案
.
初中数学·分式
一、分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子
二、与分式有关的条件
①分式有意义：
分母不为0（B0）
②分式无意义：
分母为0（B0）
A
B
叫做分式，A为分子，B为分母。
③分式值为0：
分子为0且分母不为0（
A
B
0
0
）
④分式值为正或大于0：
分子分母同号（
A
B
0
0
或
A
B
0
0
）
⑤分式值为负或小于0：
分子分母异号（
A
B
0
0
或
A
B
0
0
）
⑥分式值为1：
分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：
分子分母值互为相反数（A+B=0）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
A
B
A
B
C
C
，
A
B
A
B
C
C
，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：
分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：
A
B
A
B
A
B
A
B
注意：
在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1．定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：
把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母
相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：
1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3）如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1．定义：
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：
分式的基本性质！
）
2．最简公分母：
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
六、分式的四则运算与分式的乘方
.
①分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：
a
b
c
d
a
b
c
d
分式除以分式：
把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：
a
b
c
d
a
b
da
cb
d
c
②分式的乘方：
把分子、分母分别乘方。
式子表示为：
a
b
n
n
n
a
b
③分式的加减法则：
同分母分式加减法：
分母不变，把分子相加减。
式子表示为：
a
c
b
c
ab
c
异分母分式加减法：
先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为：
a
b
c
d
ad
bd
bc
整式与分式加减法：
可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题
质量。
注意：
在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错
误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂
①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一
样适用。
即：
mana
m
a
n
n
ma
mn
a
nnb
aba
n
maa
nmn
a（a0）
a
b
n
n
a
n
b
1
n0
aa0）a1（a0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
n
a
其中m，n均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：
①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤：
①审—仔细审题，找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程（组）。
④解—解出方程（组）。
注意检验
⑤答—答题。
分式计算题精选
一．选择题（共2小题）
1．（2012?
台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共
汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程
中正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2011?
齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）
A．0和3B．1C．1和﹣2D．3
二．填空题（共15小题）
3．计算的结果是_________．
4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________
2222
5．已知等式：
2+=2×，3+=3×，4+=4×，⋯，10+=10×，（a，b均为正整数），则a+b=_________
6．计算（x+y）?
=_________．
7．化简，其结果是_________．
8．化简：
=_________．
9．化简：
=_________．
10．化简：
=_________．
11．若分式方程：
有增根，则k=_________．
12．方程的解是_________．
13．已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为_________．
14．若方程有增根x=5，则m=_________．
15．若关于x的分式方程无解，则a=_________．
16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为_________．
17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比
周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根
据题意列得方程为_________．
三．解答题（共13小题）
18．计算：
19．化简：
．
20．A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为
（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
21．化简：
=_________．22．化简：
．
23．计算：
．24．计算．
25．解方程：
．26．解方程：
27．解方程：
=0．
28．①解方程：
2﹣=1；
②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．
29．解方程：
（1）
（2）．
30．解方程：
（1）﹣=1；
（2）﹣=0．
2014寒假初中数学分式计算题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2012?
台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共
汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程
中正确的是（）
A．B．C．D．
考点：
由实际问题抽象出分式方程．
专题：
压轴题．
分析：
根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花
时间比去时节省了，得出分式方程即可．
解答：
解：
设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：
×，
根据题意得出：
=×，
故选：
A．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节
省了，得出方程是解题关键．
2．（2011?
齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）
A．0和3B．1C．1和﹣2D．3
考点：
分式方程的增根；解一元一次方程．
专题：
计算题．
分析：
根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．
解答：
解：
∵分式方程=有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，
当m=0时，分式方程变形为﹣1=0，此时分式无解，与x=﹣2矛盾，
故m=0舍去，
即m的值是3，
故选D．
点评：
本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是
解此题的关键．
二．填空题（共15小题）
3．计算的结果是．
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
根据运算顺序，先对括号里进行通分，给a的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只
2
把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a﹣1分解因式，约分即可得到化简
结果．
解答：
解：
=÷（﹣）
=?
=
故答案为：
点评：
此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题．注意运算的结果必
须是最简分式．
4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz
代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单．
解答：
解：
若，
则++==5，
yz+2xz+3xy=5xyz；①
++==7，
3yz+2xz+xy=7xyz；②
①+②得，4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz，
4（yz+xz+xy）=12xyz，
∴yz+xz+xy=3xyz
∵xy+yz+zx=kxyz，
∴k=3．
故答案为：
3．
点评：
此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．
22
5．（2003?
武汉）已知等式：
2+=2×，3+=3×，4+=4
22
×，⋯，10+=10×，（a，b均为正整数），则a+b=
109．
考点：
分式的混合运算．
专题：
规律型．
分析：
易得分子与前面的整数相同，分母=分子
2
﹣1．
解答：
22
解：
10+=10﹣1=99，∴a+b=109．
×中，根据规律可得a=10，b=10
点评：
此题的关键是找到所求字母相应的规律．
6．（1998?
河北）计算（x+y）?
=x+y．
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
把第一个分式的分母先进行因式分解，再算乘法化简，再算加法即可．
解答：
解：
原式=．
点评：
此题要注意运算顺序：
先算乘法，再算加法；也要注意y﹣x=﹣（x﹣y）的变形．
7．（2011?
包头）化简，其结果是．
考点：
分式的混合运算．
分析：
运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项
得出最简值．
解答：
解：
原式=?
?
（a+2）+
=+
=
=
=．
故答案为：
点评：
本题主要考查分式的混合运算，其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合并同类项等知识点．
8．（2010?
昆明）化简：
=．
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
先把括号里的式子通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分．
解答：
解：
原式=×=．
点评：
本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序．
9．（2009?
成都）化简：
=．
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
把第二个分式的分子分母先因式分解，再把除法统一成乘法化简，最后算减法．
解答：
解：
=1﹣=1﹣==．
点评：
此题运算顺序：
先除后减，用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点．
10．（2008?
包头）化简：
=．
考分式的混合运算．
点：
专计算题．
题：
分能因式分解的分子或分母要先因式分解，先算小括号里的，再算除法．
析：
解
解：
原式=[﹣答：
]÷=÷=×
故答案为．
点此题主要考查分式的化简、约分．对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除
评：
最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特活应变，注意方法．
11．（2012?
攀枝花）若分式方程：
有增根，则k=1．
考点：
分式方程的增根．
专题：
计算题．
分析：
把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，
求出k的值即可．
解答：
解：
∵，
去分母得：
2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，
整理得：
（2﹣k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，2﹣x=0，
解得：
x=2，
把x=2代入（2﹣k）x=2得：
k=1．
故答案为：
1．
点评：
本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分
式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好
的题目．
12．（2012?
太原二模）方程的解是x=2．
考点：
解分式方程．
分析：
首先分时两边同时乘以x﹣3去分母，再去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，可以算出x的值，
然后要进行检验．
解答：
解：
，
去分母得：
1+2（x﹣3）=﹣（x﹣1），
去括号得：
1+2x﹣6=﹣x+1，
移项得：
2x+x=1﹣1+6，
合并同类项得：
3x=6，
把x的系数化为1得：
x=2，
检验：
把x=2代入最简公分母x﹣3≠0，
则x=2是分式方程的解，
故答案为：
x=2．
点评：
此题主要考查了分式方程的解法，关键是掌握
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
13．（2012?
合川区模拟）已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为﹣2，
0或4．
考点：
分式方程的解．
分析：
首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，
然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．
解答：
解：
方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），
得：
2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，
解得：
x==﹣2﹣，
∵方程只有整数解，
∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，
当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，
检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；
当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣5=﹣7，
检验，将x=﹣7代入（x﹣1）（x+2）=40≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；
当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，
检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；
当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，
检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；
∴整数a的值为：
﹣2，0或4．
故答案为：
﹣2，0或4．
点评：
此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
14．若方程有增根x=5，则m=﹣5．
考点：
分式方程的增根．
专题：
计算题．
分析：
由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以将方程两边都乘（x﹣5）化
为整式方程，再把增根5代入求解即可．
解答：
解：
方程两边都乘x﹣5，得x=2（x﹣5）﹣m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣5=0，
解得x=5，
把x=5代入，得5=0﹣m，
解得m=﹣5．
故答案为：
﹣5．
点评：
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．若关于x的分式方程无解，则a=0．
考点：
分式方程的解．
专题：
计算题．
分析：
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1=0，求出x的值代入整式方程即可求出a的
值．
解答：
解：
去分母得：
2x﹣2a+2x﹣2=2，
由分式方程无解，得到2（x﹣1）=0，即x=1，
代入整式方程得：
2﹣2a+2﹣2=2，
解得：
a=0．
故答案为：
0．
点评：
此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为y=﹣x+3．
考点：
解分式方程；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：
计算题．
分析：
首先解分式方程求出m的值，然后把（m，0）代入一次函数y=kx+3的解析式中，从而确定k的值，也就
确定了函数的解析式．
解答：
解：
∵，
∴x﹣1=2，
∴x=3，
当x=3时，x﹣1≠0，
∴m=3，
把（3，0）代入解析式y=kx+3中
∴3k+3=0，
∴k=﹣1，
∴y=﹣x+3．
点评：
此题考查了分式方程的解法，也考查了待定系数法确定一次函数的解析式，对于解分式方程时要注意验根．
17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比
周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根
据题意列得方程为．
考点：
由实际问题抽象出分式方程．
专题：
应用题；压轴题．
分析：
关键描述语为：
“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：
周三买的奶粉的单价﹣周日买的奶粉的单价=0.5．
解答：
解：
周三买的奶粉的单价为：
，周日买的奶粉的单价为：
．所列方程为：
．
点评：
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题中用到的等量关系是：
总金额=数量×单价．
三．解答题（共13小题）
18．（2010?
新疆）计算：
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分
式的乘除．
解答：
解原式=
=
=x+2．
点评：
分式的混合运算中，通分和约分是解题的关键．
19．（2009?
常德）化简：
．
考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
先把小括号的通分，再把除法统一为乘法，化简即可．
解答：
解：
原式=
=
=
=．
点评：
本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序，通分、约分是解题的关键．
20．（2006?
大连）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试
验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
考点：
分式的混合运算．
专题：
应用题．
分析：
此题要先读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算．
解答：
2
解：
（1）A玉米试验田面积是（a﹣1）米
2
，单位面积产量是千克/米
2
；
B玉米试验田面积是（a﹣1）
2
米
2
，单位面积产量是千克/米
2
；
22
∵a﹣1﹣（a﹣1）
=2（a﹣1）
22
∵a﹣1＞0，∴0＜（a﹣1）＜a﹣1
∴＜
∴B玉米的单位面积产量高；
（2）÷
=×
=
=．
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
点评：
此题是一道简单的应用题，学生在利用面积公式列出分式才可化简．
21．（2005?
南充）化简：
=．
考点：
分式的混合运算．
分析：
首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
解答：
解：
原
升级会员 