第十二章 全等三角形 教案.docx
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第十二章全等三角形教案
初中数学导学案
课题
12.1全等三角形
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、了解全等形及全等三角形的概念.
2、理解全等三角形的性质，掌握寻找全等三角形对应边、对应角的方法.
3、能够运用全等三角形的性质解决简单的问题.
4、在图形变换及操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉
重难点
重点：
全等三角形的有关概念和性质
难点：
掌握寻找全等三角形对应边、对应角的方法，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
自
学
探
究
看一看：
课本31页全等图形；例举身边见过的全等图形实例.观察下列几组图案，有什么特点？
演示观察：
让学生演示两个形状、大小相同的三角形平移、翻折、旋转的过程，并提问：
在此过程中什么变了，什么没变？
若将两个形状大小都相同的图形放到一起，会如何？
数
学
交
流
解
决
问
题
探索归纳：
全等形的定义：
全等三角形定义：
全等三角形的表示：
“全等”用“≌”表示，读做“全等于”
例如：
对应顶点：
重合的顶点。
如：
对应边：
重合的边。
如：
对应角：
重合的角。
如：
注：
对应顶点的字母要写在对应的位置上，由
可以直接写出对应边和对应角。
提问：
时，对应边有什么关系？
对应角呢？
归纳总结：
全等三角形性质：
1、；
2、；
3、；
4、（补充）全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等.
学习
例题：
例1:
找对应边，对应角
（1）已知：
△ABC≌△DBC，
（2）已知：
△ABC≌△DCB，
例2、已知：
△ABE≌△DCF，AB与DC是对应边，∠A与∠D是对应角.BE=8，EF=3.
（1）求：
CE
（2）求证：
AB∥DC
巩固新知练习：
课本P33复习巩固：
1、2、找对应边和对应角分别是哪些。
达
标
训
练
1、全等用符号表示，读作：
2、判断题
（1）全等三角形的对应角相等，对应边相等。
（）
（2）全等三角形的周长相等，面积也相等。
（）
（3）周长相等的三角形是全等三角形。
（）
（4）面积相等的三角形是全等三角形。
（）
3、课本P33页3、4题
4、已知：
（1）、△ABE≌△ACD，
（2）已知：
△ACF≌△DBE，
找出对应边，对应角.
小
结
提
升
1、（交流归纳）今天我们学了哪些内容:
2、谈谈本节课的收获：
教
学
反
思
初中数学导学案
课题
12.2三角形全等的判定（SSS）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1掌握两个三角形全等的判定方法SSS.
2、掌握尺规作图：
已知三边作三角形.
3、掌握用SSS的判定证明两个三角形全等和证明三角形全等的书写格式.
4、通过探索三角形全等判定条件的过程，体会探究问题的方法，培养分类讨论的数学思想.
重难点
重点：
探索两个三角形全等的判定SSS，用SSS的方法证明两个三角形全等
难点:
用尺规根据SSS的方法作三角形
自
学
探
究
知识回顾：
1．什么叫做全等三角形,怎么表示,对应元素怎么确定？
2.全等三角形的性质是什么？
当两个三角形全等时，它们的三组对应边、三组对应角分别相等.反之满足这六个条件，能保证这两个三角形全等吗？
阅读课本第35页至37页练习前的内容，思考下面的问题。
数
学
交
流
解
决
问
题
思考：
两个三角形全等，是否一定需要六个条件？
如果只满足上述六个条件的一部分，是否也能保证两个三角形全等？
（探索、讨论各种情况，并总结）
1、满足一个条件
2、满足两个条件（说明一个命题不正确只需找一个反例就可以）
3、满足三个条件
（先探索三边分别对应相等的情况）
已知：
△ABC，画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，B’C’=BC.
作法：
1）.画线段B’C’=BC；2）.分别以B’、C’为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A’；3）.连接线段A’B’，A’C’.∴△A’B’C’为所求作的三角形.
三角形全等的判定1：
（简写：
SSS）
学习例题：
例1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：
△ABD≌△ACD
证明歩步骤：
（1）准备条件；
（2）指明范围
（3）列齐条件（4）得出结论
提问：
此题还能得到哪些结论？
①三组角对应相等；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC.
例2、尺规作图：
作一个角等于已知角.
已知：
∠AOB
求作：
∠A’O’B’，使∠A’O’B’=∠AOB
作法：
见课本37
巩固新知练习：
课本37页练习1、2题
达
标
训
练
1、
如右图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”，
可以判定（）
2、如右图，已知AB＝DE，DF＝AC，BC＝EF，则△ABC
与△DEF的关系是________，理由__________．
3、如图1，AC=EF，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.求证：
∠C=∠E
4、已知：
如图2，AD＝BE，AC＝BC，CD＝CE.求证：
△AEC≌△BDC
5、已知：
如图3，AB=DC，AD=BC.求证：
（1）∠A=∠C；
（2）AB∥CD，AD∥BC.
图1图2图3
小
结
提
升
1、证明三角形全等的书写格式、两个三角形的对应顶点应写在对应位置上；
2、证明歩步骤：
（1）准备条件；
（2）指明范围（3）列齐条件（4）得出结论
3、已知三边作三角形；做一个角等于已知角
4、证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.
教学
反思
初中数学导学案
课题
12.2三角形全等的判定（SAS）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、掌握两个三角形全等的判定方法SAS.
2、掌握尺规作图：
已知两边及夹角作三角形.
3、掌握用SAS的判定证明两个三角形全等，掌握证明三角形全等的书写格式.
4、通过探索过程，体会探索研究问题的方法，培养分类讨论的数学思想.
重难点
重点：
用SAS的方法证明两个三角形全等及证明三角形全等时的书写格式.
难点：
用SAS的方法证明两个三角形全等，进而证明角相等、线段相等与平行.
自
学
探
究
知识回顾：
1．判定两个三角形全等的方法（SSS）；2．证明全等的书写格式。
3、两个三角形，只满足一个或两个相等的条件不能保证形全等，对于满足三个条件的除了SSS可以全等，那么其它情况呢？
阅读课本第37页至39页练习前的内容，思考下面的问题。
数
学
交
流
解
决
问
题
探究继续上节课讨论满足三个条件：
“两边及一角对应相等”的两个三角形是否全等？
（1）、两边及其中一边的对角对应相等，
（如图举反例否定）
（2）、两边及其夹角对应相等：
已知：
△ABC，画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，∠A’=∠A.
作法：
见课本38页
三角形全等的判定2：
（“边角边“简写：
）.
学习例题：
例1、如图，（课本38页例）
分析：
要证AB=DE，只需证△ABC≌△DEC.在△ABC和△DEC中，已知CA=CD，CB=CE，又隐含了∠1=∠2，故全等条件具备，即可证明.
此题还能得到哪些结论？
①另两组角对应相等；②AB∥DE.
例2、如图，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求证：
∠B=∠C
分析：
先看∠B、∠C分别在哪两个三角形中，再证那两个三角形全等.
证明：
方法1、（证△ABE≌△ACD，略）
方法2、（证△ABD≌△ACE）
提问：
此题还能得到哪些结论？
①②③
注：
SAS——两边及夹角对应相等.条件应按SAS的顺序书写.
思考：
由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判断两个三角形全等吗？
巩固新知练习：
课本39页练习第1题、第2题
达
标
训
练
1、如右图：
若AB=AC，则添加条件可得△ABD≌△ACD?
2、已知：
如图，AB=AC，AD=AE，
求证：
△ABD≌△ACE
3、
已知：
如图AB=CD，BE=DF，AB∥CD，问AE=CF吗？
小
结
提
升
1、归纳今天我所学内容:
2、已知条件包含两部分：
①已知中写出的，②图形中隐含的（如公共边、公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等），所以挖掘已知条件要：
已知中找，图形中看.
教
学
反
思
初中数学导学案
课题
12.2三角形全等的判定（ASA）（AAS）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、掌握用ASA和AAS的方法证明两个三角形全等，利用全等证明角相等、线段相等与平行；
2、掌握尺规作图：
已知两角及夹边作三角形；
3、熟练掌握证明三角形全等时的书写格式；
4、通过探索全等的判定过程，体会探究的方法，培养分类讨论的数学思想.
重难点
重点：
用ASA和AAS的方法证明两个三角形全等及证明全等的书写格式..
难点：
尺规作图；通过证明三角形全等，进而证明角、线段相等与平行.
自
学
探
究
知识回顾：
1、判定两个三角形全等的方法有？
两边及一对角对应相等时，两个三角形一定全等吗？
2、两个三角形，只满足一个或两个相等的条件不能保证形全等，对于满足三个条件的除了（SSS）、（SAS）可以全等，那么其它情况呢？
阅读课本第39页至41页练习前的内容，思考下面的问题。
数
学
交
流
解
决
问
题
探究继续上节课讨论满足三个条件：
“两角及一边对应相等”的两个三角形是否全等？
（1）、两角及其夹边分对应相等
已知：
△ABC，画一个
△A’B’C’，使A’B’=AB，
∠A’=∠A，∠B’=∠B.
作法：
见课本39页
三角形全等的判定3：
（“角边角”简写：
）.
（2）、两角及其中一角的对边对应相等
三角形中有两组角相等，那么第三组角也相等，利用三角形内角和定理可将ASA转化为AAS.（证明见P40页例4）
三角形全等的判定4：
（“角角边”简写：
）.
注：
判定两个三角形全等所需的三个条件中，至少有个是一边
学习例题：
例1、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：
（1）AD=AE
（2）BD=CE.
分析：
要从图中挖掘出公共角的条件.
（图中还有其它全等的三角形吗？
）
例2、如图，∠ACB=∠DBC，∠A=∠D.求证：
AC=DB.
巩固新知练习：
课本P41页练习第1、2题
达
标
训
练
1、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是______
_
A、带①去B、带②去
C、带③去D、带①②③去
2、如图，应填什么就有△AOC≌△BOD
∠A=∠B（已知）∠A=∠B（已知）
（已知）（）
∠C=∠D（已知）CA=DB（已知
∴△ADC≌△BOD（）∴△ADC≌△BOD（）
3、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。
求证AB＝AD。
4、如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。
为什么？
小
结
提
升
1、区分ASA和AAS，ASA——两角一夹边对应相等；AAS——两角及其中一角的对边对应相等,两种方法可以相互转化.
3、证明属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常通过证明这两个三角形全等来解决
教学
反思
初中数学导学案
课题
12.2三角形全等的判定（HL）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、探索并掌握直角三角形全等的特殊条件——HL.
2、能利用HL及一般三角形全等的条件，判定两个直角三角形全等.
3、提高学生分析、作图、归纳、推理的能力.
重难点
重点:
直角三角形全等的特殊条件——HL..
难点:
熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.
自
学
探
究
知识回顾:
两个三角形全等的判定方法有
阅读课本第39页至43页练习前的内容，思考下面的问题。
判定两个三角形全等，有四种方法，其中每种方法都需要三个条件.这些方法同样适用于判定两个直角三角形全等.但由于直角三角形隐含了直角的条件，那么判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个呢？
数
学
交
流
解
决
问
题
讨论探究（根据学生讨论并总结）
（1）两边对应相等
（2）两锐角对应相等（）（填“对”或者是“错”）
（3）一边一锐角对应相等（）
已知：
△RtABC，画一个Rt△A’B’C’，使B’C’=BC，A’B’=AB.
作法：
见课本42页
三角形全等的判定5：
（“斜边、直角边”简写：
）。
[强调]1.HL只对直角三角形适用.
2.判定两个直角三角形全等的方法共有5种：
首选HL，再选其它方法.
学习例题：
例1、如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：
BC=AD.
巩固新知练习：
课本P43页练习第1、2题
达
标
训
练
1、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=
，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF（填全等或不全等）
2、如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么
Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）
A．SSSB.ASA
C.SASD.HL
3、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：
DE=DF，AD平分∠BAC.
4、已知：
如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠ACB=∠A’C’B’，CD和C’D’都是高，且AC=A’C’，CD=C’D’.求证：
△ABC≌△A’B’C’
小
结
提
升
1、总结判定两个直角三角形全等的特殊方法、所有方法.证明时根据条件选用适当的方法.
2、用HL证明，一定强调Rt△，大括号中的条件顺序按斜边、直角边顺序写.
教学反思
初中数学导学案
课题
12.3角的平分线的性质
（一）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、会利用三角形全等，证明角平分线的性质.
2、初步利用角平分线的性质解决问题.
3、通过经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.
重难点
重点：
角平分线的性质.
难点:
运用角平分线的性质进行简单的推理证明.
自
学
探
究
知识回顾：
1、证明两个三角形全等方法有
2、全等三角形的性质是
阅读课本第48页至49页练习前的内容，思考下面的问题。
数
学
交
流
解
决
问
题
探究：
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
再在OC上任取一点Q，作QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，量一量QM、QN的大小有什么关系？
所得结果是否与刚才的猜想一致？
猜想：
已知：
如上图4，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.求证：
PD=PE
证明：
见课本49页
角平分线性质：
几何语言：
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
学习例题：
例1、如图，AD是△ABC的中线，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：
DE=DF.
证明：
∵AD是△ABC的中线
∴
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠1=∠2（）
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
巩固新知练习：
1.判断：
（1）如图，∵∠1=∠2
∴BD=CD（角平分线上的点到角的两边距离相（）
（2）如图，∵∠1=∠2，AD⊥BC
∴BD=CD（角平分线上的点到角的两边距离相等）（）
提问：
此题能否证明BD=CD？
2、课本51页第1题
达
标
训
练
1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
2、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.
图1图2图3
3、如图2，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
4、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
5、如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1=∠2.求证：
OB=OC
小
结
提
升
今天我们学了哪些内容:
1、角平分线的性质，注意使用条件，角平分线的性质提供了又一证明线段相等的方法.
2、注意能用性质的不要再证全等.
3、通过折纸，可以再次体会角平分线的轴对称性
教
学
反
思
初中数学导学案
课题
12.3角的平分线的性质
（二）
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、会利用三角形全等，证明角平分线的判定.
2、能利用角平分线的判定解决实际问题.
3、能综合运用角平分线的性质、判定解决问题，进一步提高学生的推理论证能力.
重难点
重点：
运用角平分线的判定解决问题..
难点:
综合运用角平分线的性质、判定解决问题.
自
学
探
究
知识回顾：
角平分线的性质是
思考：
若把角平分线性质的题设是，结论是，交换条件与结论，所得命题是
（如何叙述？
）
阅读课本第49页至50页练习前的内容，思考下面的问题。
数
学
交
流
解
决
问
题
上述命题是真命题还是假命题？
（画图并写已知和求证）.
已知：
如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE.
求证：
点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴（垂直定义）
在Rt△PDO和Rt△PEO中
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（）
∴（全等三角形的对应角相等）
∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线的判定：
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
思考：
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）？
分析：
集贸市场到公路和铁路距离相等则它必在公路和铁路
形成的角的平分线上.集贸市场离公路与铁路交叉处500米
即离O点500米，只需在角平分线上按比例尺算出的距离
画出P点.
学习例题：
例1、如图，△ABC的角平分线BM、CN交于点P.求证：
点P在∠A的平分线上.
证明：
见课本50页
小结：
1.这个例子验证了上一章的三角形的三条角平分线交于一点这一结论.2.三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
巩固新知练习：
课本P50页第1、2题
达
标
训
练
1、角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．
2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
3、如图2，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
图1图2图3
4、如图3，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
5、如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：
AD平分∠BAC.
小
结
提
升
今天我们学了哪些内容：
1.角平分线的判定与性质离不开两个垂直；
2.在证明过程中，能直接用角平分线的性质、判定得出的结论，就不要再用三角形全等证明.
教学反思
初中数学导学案
课题
第12章全等三角形的复习应用
主备教师
孙杰
课时
1课时
学
习
目
标
1、熟练应用三角形全等的四种判定方法进行推理证明，作图.
2、初步掌握证明几何命题的的一般步骤.
3、进一步提高学生的推理论证能力.
重难点
重点:
熟练应用三角形全等的四种判定方法进行推理证明，作图.
难点:
初步掌握证明几何命题的一般步骤.
自
学
探
究
一、知识梳理
（一）全等图形的定义和性质
1．概念
能够的两个图形叫做全等图形．
能够的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质
全等图形的__________、__________完全相同．
（二）全等三角形的性质与判定
1．全等三角形的性质
全等三角形的__________、__________分别相等．
2．全等三角形的判定
（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（）；
（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（）；
（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（）；
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（）；
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（）．
（三）角平分线的性质与判定
角平分线的性质：
角平分线的判定：
二、经验与提示：
1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角
是对应角．③有公
共边的，公共边一定是对应边．④有公共角的，公共角一定是对应角．⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（
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