概率论感觉测试答案doc.docx
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概率论感觉测试答案doc
概率论感觉测试（答案）
1.假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在
A.周五
B.周六
C.周日
Answer:
B.一般的讲在［0,1］之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/（n+l）,也就是可以认为这n个随机变量分别大约在l/（n+l）,2/（n+l）,…，n（n+l）o这道题那么算一下大概就是在周六的上午。
2.如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为
A.有一把赢了很多
B.一直在慢慢的赢
C.两种情况都有可能
Answer:
B.也许答案对很多人有些出乎意料。
在这种情况下，可能一般觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。
这个问题是随机变量的长尾还是短尾的问题。
长尾的意思就是取离均值很远的概率不是很小，而短尾正好相反。
题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是按照平方的指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。
另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。
这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的costo
3.有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。
则如果给你n次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）
A.按规律等间隔选取测量点会测得准些
B.随机选取测量点会测得准些
C.两种方法差不多
Answer:
A.也许这个也略有些意外。
对于一维的情况，方法A略好于方法Bo但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个''有规律的点〃需要选取太多。
这是所谓的Quasi-MonteCarloSampling和MonteCarloSampling之间的关系。
4.台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
Answer:
B.直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张的时候多少会出现一些反复。
实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系，如果得票比例为a:
b（a>b）,则这个概率为（a-b）/（a+b）o
5.你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法,一种是每次赌10块，一种每次赌1块，赢了翻倍，输了就没有了。
你决定全部输光或者赢到100块就走，则
A.两种方法输光的概率一样
B.第一种输光的概率较大
C.第二种输光的概率较大
Answer:
A.不管什么赌法都不会改变这个概率（如果每一次期望都是0,且最终不能超过100）o这是随机过程中一个比较简单但是很有意义的结论，意思就是说youcan'tbeatthesystem□因此对于像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性（期望为0）,则其实怎么操作结果都是一样的，重要的在于发掘其中的非随机性。
另外，到100的概率很容易计算，因为初始值是10,假设到100的概率为p,则有100p+0（l-p）=10,也即p=0.1
6.100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是
A.
0-10
B.
10-20
C.
20-30
D.
30-40
Answer:
D.这个题可以用简单的概率论计算。
结论是不管多少个球,c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为ne~c,现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为100*eA-l.
7、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在
A.80%-90%
B.90%-95%
C.95%-99%
D.99%以上
Answer:
D.这个可以用中心极限定理计算。
事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9,可以有9个9,尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。
。
只是我们不注意我们抓好牌的时候罢了。
8.有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。
问哪个国家长期以后男人的比例最大
A.每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
B.每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止
C.每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
D.以上几个国家最后男女比例基本一样
Answer:
D.我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。
用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:
1。
事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。
当然这个序列本上包含多少男女是不变的。
我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。
9.实验室测试灯泡的寿命。
在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。
灯泡寿
命约为1小时。
考察10000小时时亮着的那个灯泡
A.那个灯泡的寿命期望也约为1小时
B.那个灯泡的寿命期望约为2个小时
C.那个灯泡的期望寿命约为0.5个小时
D.以上说法都不对
Answer:
B.这个题可能稍难。
如果具体的算需要一点本科高年级的知识。
不过我们仍然可以从直觉得到结果。
事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命（Lifetime）是随机的时候。
在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。
因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。
简单的说，如果灯泡有两种,一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们观测到的99%都可能是100小时那个。
所以观测到的平均寿命较长。
通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。
对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。
这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均被判刑年数要远大于全美平均判刑的年数。
10.如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率
有1个后代，0.2的概率有两个后代，则
A.这个群体最后会灭绝
B.这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡
C.这个群体最后将爆炸，人口将到无穷
D.不一定会发生什么
Answer:
A.这是个简单的人口模型。
这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和后面的一道题道理是一样的。
注意到每一代的期望总是lo因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。
对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。
对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。
11.给一个1-n的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是
（如n=5则51324与原来位置只有3是相同的）
A.1
B.logn
C.Inn
Answer:
A.这个题要去算有几个相同的概率是比较难的，不过实际上有一个很简单的方法。
在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/n,而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。
也就是说不管是多少的数字，平均总是有一个数与顺序是相同的。
这个题会非常经常出现在考试和习题中。
12.如果有3个门，有一个背后有大奖。
你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。
现在你有一次换得机会，你应该
A.换
B.不换
C.换不换都一样
Answer:
A.这个是网上非常经典的一个问题了。
不换正确的概率是1/3,换正确得概率是2/3。
我比较喜欢这样去想，试想一下如果有100个门，你先选定1个，然后主持人打开98个空的，然后给你机会换不换。
我想如果这样，你不难做出正确的选择。
13.以下那件事情发生的期望时间最短
A.在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
B.一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing
WelcomesYou"的时间
C.在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间
Answer:
B.A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf.只有B是有限的。
A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。
而B说明的是另外一条概率上的定理,''Whatalwaysstandsareasonablechaneeofhappeningwillalmostsurelyhappen,soonerratherthanlater",也就是说从任彳可时亥ij开女台，总有一个固定的概率发生的事情（比如一个猴子打出beijingwelcomesyou,这个概率可能是1/26人20左右），不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。
14,美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们
每次得到的硬币是随机的，则大约收集多少可以收集全
A.200
B.300
C.400
D.500Answer:
A.这是所谓的收集硬币问题。
具体解法不是很容易。
不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约nlogn个。
大约思路是收集第k个时候需要大约n/（n-k）次。
平时我们收集一些食品里的卡片，也都遵循这个规律，不过多数时候每种卡片的数量都是很不同的。
还记得小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收集到任何一个苹果。
15.假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在
9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录
A.
7
B.
10
C.
15
D.
32
Answer:
A.这是所谓的破纪录问题。
假设均匀分布，则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。
第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k,所以n次比赛大约有l+l/2+1/3+...l/n次破纪录，也即约为logn次。
16.在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，贝ij剩
余的4张牌怎样分布的概率最大
A.2-2
B.3-1
C.4-0
Answer:
B.可以简单计算得到这个结果。
3-1的概率应该是50%。
2-2的概率是37.5%o4-0的概率是12.5%。
但是如果有奇数张，则最平均的就是最可能的。
17.如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况
A.此物体无穷多次回到原点
B.此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
C.此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
Answer:
B.1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（尽管回来的平均时间不是有限的），而3维以上的随机游动是非常返的。
因此对于2维的某个坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。
18.扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少
A.
100
B.
13
C.
9
D.
4
Answer:
B.这也是一个特殊的概率问题，叫做HeadRuns.答案应该是log_2人n.大约为13.
19.有一支股票，初始价为1,每天的价值变化率独立同分布，且期望为0,不恒为0。
则
A.股票在任何时刻期望价值为1
B.股票以概率1变成0
C.A和B都对
D.A和B都不对
Answer:
C.这个可以参见我转载的文章TheFlawofAverage和我写
的文章LifeisaMartingaleo也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。
其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%o第二天跌10%或是第一天跌10%,第二天涨10%,最后的结果都是跌了1%。
所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。
20.当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学
A.按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
B.按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
C.以上都可以
D.以上都不可以
Answer:
A.这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分
方程。
很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。
事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。
但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。
但是我们总能找到第一次发生的时间。
所以A更科学。
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