概率论感觉测试答案doc.docx

1、概率论感觉测试答案doc概率论感觉测试(答案)1.假设考试周为1个礼拜(周一到周日)，且考试时间为均匀分布， 假使你有3门考试，则最后一门考试大约在A.周五B.周六C.周日Answer: B. 一般的讲在0,1之间n个均匀分布的随机变量最大值期 望为n/(n+l),也就是可以认为这n个随机变量分别大约在l/(n+l), 2/(n+l),，n(n+l)o这道题那么算一下大概就是在周六的上午。2.如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了 100 把发现赢了 10000块(明显是很小概率事件，但假设确实发生了)， 那么你觉得你最有可能是因为A.有一把赢了很多B.一直在慢慢的赢C.两种情

2、况都有可能Answer: B.也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能 一般觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个 问题是随机变量的长尾还是短尾的问题。长尾的意思就是取离均值很 远的概率不是很小，而短尾正好相反。题目中的正态分布属于短尾， 因为密度函数是按照平方的指数下降的，如果稍微改一下题目中的分 布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本 书叫长尾理论，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的， 比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。 这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的costo3.有一根密度不均

3、匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的 重量（你知道截面积）。则如果给你n次测量密度的机会的话，如果 n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）A.按规律等间隔选取测量点会测得准些B.随机选取测量点会测得准些C.两种方法差不多Answer: A.也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好 于方法Bo但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B 了， 原因是要想获得相同的效果，这个有规律的点需要选取太多。这是 所谓的 Quasi-Monte Carlo Sampling 和 Monte Carlo Sampling 之间 的关系。4.台湾大选，假定马英九最终得到600000

4、票，谢长廷得到400000 票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4Answer: B.直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张 的时候多少会出现一些反复。实际上这个结果跟一共多少人投票没什 么关系，如果得票比例为a:b(ab),则这个概率为(a-b)/(a+b)o5.你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法,一种是每次赌10块， 一种每次赌1块，赢了翻倍，输了就没有了。你决定全部输光或者赢 到100块就走，则A.两种方法输光的概率一样B.第一种输光的概率较大C.第二种输光的概率较大Answer: A.不管什么赌法都不会改变这个

5、概率(如果每一次期望都 是0,且最终不能超过100) o这是随机过程中一个比较简单但是 很有意义的结论，意思就是说you cant beat the system因此对于 像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性(期望为0),则其实 怎么操作结果都是一样的，重要的在于发掘其中的非随机性。另外， 到100的概率很容易计算，因为初始值是10,假设到100的概率为 p,则有 100p+0(l-p)=10,也即 p=0.16.100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是A.0-10B.10-20C.20-30D.30-40Answer: D.这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个

6、球, c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为nec,现在的情 况是箱子数和球数一样多，那么就约为100*eA-l.7、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在A.80%-90%B.90%-95%C.95%-99%D.99%以上Answer: D.这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要 计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99.9, 可以有9个9,尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。只是我 们不注意我们抓好牌的时候罢了。8.有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后 男人的比例最大A.每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男

7、孩为止B.每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止C.每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止D.以上几个国家最后男女比例基本一样Answer: D.我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用 概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一 个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含 多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如 果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或 是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都 是你本来应有的胜率。9.实验室测试灯泡的寿命。在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为

8、1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡A.那个灯泡的寿命期望也约为1小时B.那个灯泡的寿命期望约为2个小时C.那个灯泡的期望寿命约为0.5个小时D.以上说法都不对Answer: B.这个题可能稍难。如果具体的算需要一点本科高年级的 知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是 我们观测的事物的生命（Lifetime）是随机的时候。在时间足够久 以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为 正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种, 一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们观测到的99% 都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命

9、较长。通常我们认为 灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的 分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。 这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均被判 刑年数要远大于全美平均判刑的年数。10.如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则A.这个群体最后会灭绝B.这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡C.这个群体最后将爆炸，人口将到无穷D.不一定会发生什么Answer: A.这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是 这个实际上和后面的一道题道理是一样的。注意到每一

10、代的期望总是 lo因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当 每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于 1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。11.给一个1-n的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是（如n=5则51324与原来位置只有3是相同的）A.1B.log nC.In nAnswer: A.这个题要去算有几个相同的概率是比较难的，不过实际 上有一个很简单的方法。在第1个位置，这个排列的第1个数字为1 的概率为1/n,而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的 个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均总是有一个 数与顺

11、序是相同的。这个题会非常经常出现在考试和习题中。12.如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪 个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一 次换得机会，你应该A.换B.不换C.换不换都一样Answer: A.这个是网上非常经典的一个问题了。不换正确的概率是 1/3,换正确得概率是2/3。我比较喜欢这样去想，试想一下如果有 100个门，你先选定1个，然后主持人打开98个空的，然后给你机 会换不换。我想如果这样，你不难做出正确的选择。13.以下那件事情发生的期望时间最短A.在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2 向右走，第一次回到原点的时间

12、B.一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出BeijingWelcomes You的时间C.在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2 向右走，第一次到达1的时间Answer: B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf.只有B是有 限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参 加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理, What always stands a reas on able cha nee of happe ning will almost surely happen, sooner rather than l

13、ater,也就是说从任彳可时亥ij开女台， 总有一个固定的概率发生的事情（比如一个猴子打出beijing welcomes you,这个概率可能是1/26人20左右），不过这个概率是 多少，这件事情早晚能发生。14,美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则大约收集多少可以收集全A.200B.300C.400D.500 Answer: A.这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过 结论是要收集齐n种硬币，需要大约nlogn个。大约思路是收集第k 个时候需要大约n/(n-k)次。平时我们收集一些食品里的卡片，也都 遵循这个规律，不过多数时候每种卡

14、片的数量都是很不同的。还记得 小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收 集到任何一个苹果。15.假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录A.7B.10C.15D.32Answer: A.这是所谓的破纪录问题。假设均匀分布，则最后n次比赛 之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第 k个在前k-1个之前的概率，也即1/k,所以n次比赛大约有 l+l/2+1/3+.l/n次破纪录，也即约为logn次。16.在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，贝ij剩余的4张牌怎样分布的概

15、率最大A.2-2B.3-1C.4-0Answer: B.可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%o 4-0的概率是12.5%。但是如果有奇数张，则 最平均的就是最可能的。17.如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上， 下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况A.此物体无穷多次回到原点B.此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原 点C.此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上Answer: B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回 到起点（尽管回来的平均时间不是有限的），而3维以上的随机游动 是非常返的。

16、因此对于2维的某个坐标，此物体会无穷多次经过，但 是不会无穷多次经过原点。18.扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少A.100B.13C.9D.4Answer: B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs.答案应该是 log_2人n.大约为13.19.有一支股票，初始价为1,每天的价值变化率独立同分布，且期 望为0,不恒为0。则A.股票在任何时刻期望价值为1B.股票以概率1变成0C.A和B都对D.A和B都不对Answer: C.这个可以参见我转载的文章The Flaw of Average和我写的文章Life is a Martingaleo也就是说对于很多投机

17、的东西，平均值 总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比 如说你的股票第一天涨10%o第二天跌10%或是第一天跌10%,第 二天涨10%,最后的结果都是跌了 1%。所以要保持增长所需要的是 远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。20.当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学A.按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出 发之后的性质B.按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身 出发之后的性质C.以上都可以D.以上都不可以Answer: A.这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上， 向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方 程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会 越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第 一次发生的时间。所以A更科学。