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概率论答案资料
习题二答案
1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？
答：
随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。
它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率（x取任意的值）求得X的分布函数;仅之亦然。
当知道了连续型随机变量的密度函数,可通过积分,求得分布函数,可通过对求导，即（对一切求得密度函数
2.同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.
解：
由题意X的正概率点为2，3，…12
k=2,3,…12
3.某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X的概率分布,并计算P{1≤X<2}
解：
4.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X的概率分布
解：
X的可能取值为0,1,2,3（i=1,2,3）表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”；
相互独立，且=，i=1,2,3
对于m=0,1,2,3，有
5．设随机变量X的概率密度为：
若k使得,求k的取值范围。
解：
当时，
当时，
当时，
故要使得，k的取值范围是
6．设某射手每次射击命中目标的概率为0.5，现连续射击10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。
解：
k=0,1,2…,10
设，有
7．设X服从泊松分布，且已知,求
解：
由得到=2
8．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命（单位:
小时）都服从同一指数分布,概率密度为
求:
在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α。
解：
k=1,2,3
9.令X表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求F（x）.
解：
当时，=0
当时，=1
当时，
10．从1个白球n-1个黑球中任取k个,令X表示取出的白球个数.
（1）求X的分布律;
（2）证
解：
（1）X的可能取值为0,1，且
故分布律：
（2）由分布律性质，
即
11．已知X的概率密度为,
计算P
解：
12．已知X的概率密度为f（x）=C,确定常数C.
故，C=
13.设X~N（108,9）,
（1）求P{101.1（2）求常数a,使P{X解：
（1）
（2）故，即，a=111.84
14．设X为一离散型随机变量,其分布律如下表,求:
（1）q的值;
（2）X的分布函数.
X
-1
0
1
P
1-2q
解：
（1）解得：
分布律：
X
-1
0
1
P
（2）由知，
15.设随机值变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行3次独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率.
解：
因且故，
以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数（即在3次独立实验中事件A出现的次数）显然，Y服从参数为n=3，p=的二次分布
16.设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次数N（t）服从参数的泊松分布，求:
（1）相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q.
17.设X的分布律为：
求Y=的分布律。
X
1
2
3
4
5
6
P
求Y=COS的分布律。
解：
X与Y的对应关系如下表:
X
1
2
3
4
5
6
Y
0
-1
0
1
0
-1
P
可见Y的取值只有-1,0,1三种可能。
Y
-1
0
1
P
18.设X～N（0,1），求Y=的密度函数。
19.设连续型随机变量x的概率分布为：
（B）
1.随机变量X与Y均服从正态分布。
X～N（μ,）,Y～N（μ,）,证=P,=P,则（）
（A）对任何实数μ，都有
（B）对任何实数μ，都有
（C）只对μ的个别值，才有=
（D）对任何实数μ，都有>
2.设随机变量X～N（μ,），则随着的增大，概率P（）
（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定
解：
X～N（μ,）
～N（0,1）
3.设F1（x）与F2（x）分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取（）
（A）a=35,b=-25
（B）a=23,b=23
（C）a=-12,b=32
（D）a=12,b=-32
（C）计算题
1.设测量误差X～N（0,）,试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.
λ
1
2
3
4
5
6
7
0.368
0.135
0.050
0.018
0.007
0.002
0.001
解：
设100次独立重复测量中有Y次测量误差的绝对值大于19.6，则Y～B（100，p）,p=P
～N（0,1）
2.一实习生用同一台机器接连独立地加工3个同种零件,第i个零是不合格品的概率,（i=1,2,3,）,此X表示3个零件中合格品的个数,求P{X=2}.
3.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=-1}=,P{X=1}=.在事件{-1率与该子区间的长度成正比,求:
（1）X的分布函数F（x）=P{X≤x};
（2）X取负值的概率
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