AHP层次分析法示例说明.docx

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AHP层次分析法示例说明

AHP（层次分析法）示例说明

（TheAnalgticHierarachyProcess----AHP）

一.AHP预备知识

为了更好地理解AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。

1.1特征根与特征向量

设

为n阶方阵，若存在常数

和非零n维向量

，使得

（1）

则称，

是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量

是矩阵A关于特征根

的特征向量。

1.2特征根的求法

由

（1）得

，这是一个n元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解，则其充分必要条件为：

系数行列式为零，即

（2）

称

（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n个根。

1.3重量模型

设

为n个物体，重量分别是

。

但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：

设准则C为比较重量，问题是：

已知

，在准则C下对元素

排序，也就是按其重量大小排序已知。

对于以下三个特性：

（1）

（2）

（3）

显然满足

（1）与

（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），满足

（1）、

（2）的矩阵A为正互反矩阵；满足

（1）、

（2）并且（3）也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。

问题是：

已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。

即按重量大小排序。

如果，

是，

，

是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性判断矩阵。

令

则带入计算，

。

显见n是方阵A的特征根，g是A的与

对应的特征向量；事实上此时不难验证：

n是方阵A=（aij）的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g是A的与最大特征根n对应的特征向量。

（证明见附录）g的n个分量是物体的相对重量，因此，可按此对

排序。

如果对矩阵A有一个小的扰动，即

不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根

不再是n；因扰动很小，自然

离n不远，这时

对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量

，但是，变动也不会太大。

我们设想：

如果扰动不大，则

离n就不远，此时

对应的特征向量

与

差不多，如果

不改变g的各分量的大小次序，则

同样给出n个物体

按重量大小的真实排序。