1、AHP层次分析法示例说明AHP（层次分析法）示例说明(The Analgtic Hierarachy Process-AHP)一. AHP预备知识为了更好地理解AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从线性代数中找到。1.1 特征根与特征向量设为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量，使得 (1)则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量是矩阵A关于特征根的特征向量。1.2 特征根的求法由(1)得，这是一个n元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 (2)称(2)式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n
2、个根。1.3 重量模型设为n个物体，重量分别是。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：设准则C为比较重量，问题是：已知，在准则C下对元素排序，也就是按其重量大小排序已知。对于以下三个特性： （1） （2） （3）显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），满足（1）、（2）的矩阵A为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，是，是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性判断矩阵。令则带入计算，。显见n是方阵A的特征根，g是A的与对应的特征向量；事实上此时不难验证：n是方阵A=(aij)的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g是A的与最大特征根n对应的特征向量。（证明见附录）g的n个分量是物体的相对重量，因此，可按此对排序。如果对矩阵A有一个小的扰动，即不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根不再是n；因扰动很小，自然离n不远，这时对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动不大，则离n就不远，此时对应的特征向量与差不多，如果不改变g的各分量的大小次序，则同样给出n个物体按重量大小的真实排序。
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