高考数学全国卷概率统计大题教师版.docx

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高考数学全国卷概率统计大题教师版

则 B  =  B+  B  ． P （ B   ） =  0.6 =  0.2  1 6  ， P （ B  ） =  C  1 ⨯ 0.6   2 ⨯ 0.4   =  0.4  3 2 ．

【精品】2007——2017 年高考数学全国卷概率统计大题

2007 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料

统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付

款，商场获得利润 200 元;若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元.

（Ⅰ）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率;

（Ⅱ）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率.

记 A 表示事件：

“ 3 位顾客中至少1 位采用一次性付款”，则 A 表示事件：

“ 3 位顾客中无人采

用一次性付款”．

P （ A ） = （1 - 0.6 ） 2 = 0.0 6 4 ， P （ A ） = 1 - P （ A ） = 1 - 0.0 6 4 = 0.9 3 6 ．

（Ⅱ）记 B 表示事件：

“ 3 位顾客每人购买1 件该商品，商场获得利润不超过 6 5 0 元”．

B 表示事件：

“购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款”．

0

B 表示事件：

“购买该商品的 3 位顾客中恰有1 位采用分期付款”．

1

3

0

1

0

1

3

P （ B ） = P （ B+ B ） = P （ B ） + P （ B ） = 0.2 1 6 + 0.4 3 2 = 0.6 4 8 ．

0

1

0

1

2008 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动

物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验

方案：

方案甲：

逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：

先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动

物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴

性则在另外 2 只中任取 1 只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

（20）解：

记 A1、A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次，B 表示依方案乙需化验 3 次，A

表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。

依题意知A2 与 B 独立，且

1

5

= 1

5

， P （A ） = A 1

2

5

= 1

= C

C

2     1

2

3 1

3

= 2

5

。

P（ A ）=P（A1+A2·B） =P（A1）+P（A2·B）=P（A1）+P（A2）·P（B） =

所以 P（A）=1-P（ A ）= 18

=0.72

25

1

5

1

5 5

= 7

25

2009甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比

赛结束。

假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结

果相互独立。

已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。

（Ⅰ）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；

1

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。

解：

记“第 i 局甲获胜”为事件 A （ i = 3 ,4 ,5 ） ，“第 j 局甲获胜”为事件 B （ j = 3 ,4 ,5 ） 。

ii

（Ⅰ）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 A = A⋅ A+ B⋅ B ，由于各局比赛结果

3

4

3

4

相互独立，故

P （ A ） = P （ A⋅ A

+ B

⋅ B ） = P （ A ⋅ A ） + P （ B

⋅ B ） = P （ A ） P （ A ） + P （ B ） P （ B ）

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

= 0 .6 ⨯ 0 .6 + 0 .4 ⨯ 0 .4 = 0 .52 。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜1 局，故甲获得这次比

赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而

B = A⋅ A

+ B

⋅ A ⋅ A

+ A ⋅ B

⋅ A ，由于各局比赛结果相互独立，故

3

4

3

4

5

3

4

5

P （ B ） = P （ A⋅ A

+ B

⋅ A ⋅ A

+ A ⋅ B

⋅ A ）

3

4

3

4

5

3

4

5

= P （ A⋅ A ） + P （ B

⋅ A ⋅ A ） + P （ A ⋅ B

⋅ A ）

3

4

3

4

5

3

4

5

= P （ A ） P （ A ） + P （ B ） P （ A ） P （ A ） + P （ A ） P （ B ） P （ A ）

3

4

3

4

5

3

4

5

= 0 .6 ⨯ 0 .6 + 0 .4 ⨯ 0 .6 ⨯ 0 .6 + 0 .6 ⨯ 0 .4 ⨯ 0 .6 = 0 .648

2010 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该

地区调查了 500 位老人，结果如下：

您是否需要志愿者

需要

不需要

男

40

160

女

30

270

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有

关？

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，

需要志愿者提供帮助的老年人的比例？

说明理由。

附：

2

（

解：

 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助

的老年人的比例的估计值为 70

500

= 14% .  ……4 分

（2） k 2 =

500 ⨯ （40 ⨯ 270 - 30 ⨯ 160） 2

≈ 9.9 6 7

⎪ 4, t ≥ 102

200 ⨯ 300 ⨯ 70 ⨯ 430

由于 9. 9 6 7 > 6. 6 3 5所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有

关.……8 分

（3）由于

（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据

能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定

该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反

随即抽样方法更好.……12 分

2011 年某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且

质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 A 配

方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每产品的质量指标

值，得到时下面试验结果：

A 配方的频数分布表

指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106） [106，110]

频数82042228

B 配方的频数分布表

指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106） [106，110]

频数412423210

（I）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润 y（单位：

元）与其质量指标值 t

的关系式为

⎧ - 2, t < 94

⎪

y = ⎨ 2,94 ≤ t < 102

⎩

估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上

述 100 件产品平均一件的利润．

（19）解（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为

A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。

22 + 8

100

= 0.3 ，所以用

由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 + 10

100

= 0.4 2 ，所以用 B 配方生

产的产品的优质品率的估计值为 0.42

（Ⅱ）由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94，由试

验结果知，质量指标值 t≥94 的频率为 0.96，所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的

3

概率估计值为 0.96.

用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 1

⨯ （ 4 ⨯ （ - 2 ） + 54 ⨯ 2 + 42 ⨯ 4 ） = 2 .68 （元）

100

2012 年某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10

元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：

元）关于当天需求量

n（单位：

枝，n∈N）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：

枝），整理得下表：

日需求量

n

14   15   16   17   18   19   20

频数10201616151310

（1）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：

元）的平均数；

（2）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量

发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率.

2013 年为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取

20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记

录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

h）．试验的观测结果如下：

服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.5

2.93.03.12.32.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.1

1.12.51.22.70.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

4

18、解：

（1）设 A 药观测数据的平均数为 x ，B 药观测数据的平均数为 y .

由观测结果可得

x ＝ 1

（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9

20

＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）＝2.3，

1

20

＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）＝1.6.

由以上计算结果可得 x ＞ y ，因此可看出 A 药的疗效更好．

（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

2014 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，

由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）

组

频数62638228

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直

方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方

差（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该

企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低

于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规

定？

【解析】：

（I）

5

（II）质量指标值的样本平均数为

x = 8 0 ⨯ 0.0 6 + 9 0 ⨯ 0.2 6 + 1 0 0 ⨯ 0.3 8 + 1 1 0 ⨯ 0.2 2 + 1 2 0 ⨯ 0.0 8 = 1 0 0 .

质量指标值的样本方差为

s 2 = （ - 2 0 ）2 ⨯ 0.0 6 + （ - 1 0 ）2 ⨯ 0.2 6 + 0 ⨯ 0.3 8 + （1 0 ）2 ⨯ 0.2 2 + （ 2 0 ）2 ⨯ 0.0 8 = 1 0 4 …10 分

（Ⅲ）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值

小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品

80%”的规定.…………….12 分

x

2015 年某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：

千元）对年销售量 y（单位：

t）和年利润 z（单位：

千元）的影响，对近 8 年的

宣传费 x 和年销售量 y （i

ii

些统计量的值.

= 1, 2,   , 8 ） 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一

nnnn

iiiiii

i =1

i =1

i =1

i =1

46.656.36.8289.8

1.6

1469            108.8

表中 w1 =x

1, ，w =

1

8

n

∑ w

i = 1

i

（I）根据散点图判断， y = a + bx，哪一个适宜作为年销售量 y 关

于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

6

（II）根据（ I）的判断结果及表中数 据，建立 y 关于 x 的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z

果回答下列问题：

= 0.2 y - x ，根据（II）的结

（i）当年宣传费 x = 90

时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：

对于一组数据 （ u

 v ） , （ u , v ） ，…… ， （ u

 v ）

其回归线 v

= α + β u 的斜率

1

1

2

2

n

n

∑

n

（ u - u ）（ v - v ）

和截距的最小二乘估计分别为：

 β =

i =1

i

i

， α = v - β u

∑

n

i =1

（ u - u ） 2

i

19.答案:

（Ⅰ） y = c + d

x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型（Ⅱ）

x （Ⅲ）46.24

y = 1 0 0.6 + 6 8

解析：

（I）由散点图可以判断， y = c + d

程类型。

x

适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方

（II）令 w =

x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。

由于

∑

d =

n

i =1

（ w - w ）（ y - y ）

i i

=

1 0 8.8

= 6 8 c = y - d w = 5 6 3 - 6 8 ⨯ 6.8 = 1 0 0.6 。

n

（ w - w ） 2

i

1.6

i =1

ˆ

所以 y 关于 w 的线性回归方程为y = 1 0 0.6 + 6 8 w ，因此 y 关于 x 的回归方程为

ˆ

y = 1 0 0.6 + 6 8

x 。

ˆ

（III）（i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 y = 1 0 0.6 + 6 84 9 = 5 7 6.6

ˆ

年利润 z 的预报值 z = 5 7 6.6 ⨯ 0.2 - 4 9 = 6 6.3 2 。

（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值

z = 0.2 （1 0 0.6 + 6 8

x ） - x = - x + 1 3.6  x + 2 0.1 2 所以当 x = 1 3.6

2

= 6.8 ， x=46.24 时，

ˆ

z

取得最大值故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.

2016 年某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损

7

零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使

用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购

买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损

零件数，得下面柱状图：

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在

购买易损零件上所需的费用（单位：

元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；

（Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都

购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均

数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？

19．解：

（Ⅰ）当 x≤19时，y=3800；当 x>19 时，y=3800+500（x-19）=500x-5700.

所以 y 与 x 的函数解析式为 y  =  ⎨⎧ 3800,

x ≤ 19

⎩ 500 x - 5700, x > 19

（ x ∈ N *）      …3 分

（Ⅱ）由柱状图知，需更换的易损零件数不大于 18 为 0.46，不大于 19 为 0.7，所以 n 的

最小值为 19.…6 分

（Ⅲ）若每台机器都购买 19 个易损零件，则有 70 台的费用为 3800，20 台的费用为 4300，

10 台的费用为 4800，所以 100 台机器购买易损零件费用的

平均数为1

（3800×70+4300×20+4800×10）=4000.         …9 分

100

若每台机器都购买 20 个易损零件，则有 90 台的费用为 4000，10 台的费用为 4500，所

以 100 台机器购买易损零件费用的

平均数为1

（4000×90+4500×10）=4050.                   …11 分

100

比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.…12 分

2017 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产

线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：

cm）．下面是检验员在一天内依

8

次抽取的 16 个零件的尺寸：

抽取次

序

1    2

3    4    5

6    7    8

零件尺

寸

抽取次

10.1 10.0

9.95       9.96  9.96       9.92  9.98

2 1

10.0

4

序

9

10

11

12

13

14

15

16

零件尺

寸

10.2

6

10.1 10.0 10.0 10.0

9.91             9.22             9.95

3 2 4 5

∑

经

计

算

得

x =

1

16

x = 9.9 7           ，

16

16

16

16

i

i = 1

（ i - 8.5 ） 2 ≈ 1 8.4 3 9   ，

16

i =1

i

16

i =1

i

i =1

∑

16

i = 1

（ x - x ）（ i - 8.5 ） = - 2.7 8 ，其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i = 1, 2 , ⋅ ⋅ ⋅,1 6 ．

i i

（1）求 （ x

 i ） （ i = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅,1 6 ） 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产

i

的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 | r

零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

|< 0.2 5

，则可以认为

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （ x

- 3 s , x + 3 s ） 之外的零件，就

认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程

进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在 （ x - 3 s, x +3 s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生

产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01）

∑

n

（ x - x ）（ y - y ）

附：

样本 （ x

 y ） （ i = 1, 2 , ⋅ ⋅ ⋅, n ）

的相关系数 r =

i =1

i

i

，

i

i

n

（ x - x ） 2

n

（ y - y ） 2

i

i

i =1

i =1

0.0 0 8 ≈ 0.0 9 ．

9

（ ii ） 剔 除

9.22 ， 这 条 生 产 线 当 天 生 产 的 零 件 尺 寸 的 均 值 为

1 6 x - 9.2 2

15

标准差为

=

1 6 ⨯ 9.9 7 - 9.2 2

= 1 0.0 2

15                ，

s =1

16

[ ∑ （ x - 1 0.0 2 ） 2 - （9.2 2 - 1 0.2 ）2 ] =

0.0 0 8 = 0.0 9

16

i =1

i

1 6 s 2 - （1 0.0 2 - 9.2 2 ）2

15

≈ 0.0 1

10