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湖北省八市届高三下学期联考数学试题含答案解析
湖北省八市2022届高三下学期3月联考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线C：
（
，
）的一条渐近线方程为
，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
4．若向量
满足
，
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将函数
的图象沿x轴向右平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
，
为两个不同的平面，则
的一个充要条件可以是（ ）
A．
内有无数条直线与
平行B．
，
垂直于同一个平面
C．
，
平行于同一条直线D．
，
垂直于同一条直线
7．已知
的展开式中
的系数为80，则m的值为（ ）
A．
B．2C．
D．1
8．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数
表示在x进制下表达M（M>1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（ ）
A．二进制B．三进制C．八进制D．十进制
二、多选题
9．立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400D．这组数据的平均数的估计值为77
10．2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程
，它的两个虚数根分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA､SB､SC与底面所成的角分别为
､
､
，下列结论正确的有（ ）
A．D为△ABC的外心B．△ABC为锐角三角形
C．若
，则
D．
12．已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于
对称B．
的最小正周期为
C．
的最小值为1D．
的最大值为
三、填空题
13．已知函数
，则曲线
在x＝1处的切线方程为___________.
14．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32
的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5
，各试验区之间也空0.5
.则每块试验区的面积的最大值为___________
.
15．已知抛物线
的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点，
（点O为坐标原点），过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则
___________.
四、双空题
16．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：
从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.
五、解答题
17．已知数列
是等差数列，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n项和
.
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
（1）求角B的大小；
（2）设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若
，求sin∠MPN的值.
19．在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2EF，M是AC的中点，P是CF上一点，且CF=
DF=
CP（
）.
（1）求证：
平面BCD⊥平面PBM；
（2）当CP=1，且二面角E−BD−C的余弦值为
时，求三棱台DEF−ABC的体积.
20．
年
月
日，中国女足在两球落后的情况下，以
比
逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战
惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数
的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙､丁
名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外
人中的
人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的
人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为
，易知
，
.
①试证明
为等比数列；
②设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较
与
的大小.
21．设椭圆C：
（
）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率
，短轴长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：
直线MN恒过某定点，并求出该定点.
22．设函数
.（
为自然常数）
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若
在区间
上单调递增，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
求解绝对值不等式和函数定义域解得集合
，再求交集即可.
【详解】
根据题意，可得
，
故
.
故选：
.
2．C
【解析】
【分析】
根据渐近线方程，求得
，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】
渐近线方程可化为
，故
，
故离心率为
.
故选：
.
3．D
【解析】
【分析】
根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】
从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：
1红1黑､2红､2黑，
对于A：
“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：
“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：
“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；
对于D：
“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
故选：
D.
4．C
【解析】
【分析】
，求得
，由
即可求夹角.
【详解】
由题可知，
，
∴
，
∴向量
与
的夹角为
.
故选：
C.
5．B
【解析】
【分析】
根据图象平移求得平移后的函数解析式，根据三角函数是偶函数，即可求得
.
【详解】
函数
的图象沿x轴向右平移
个单位后，
得
，因为其为偶函数，
故可得
，得
，
取
，可得
.
故选：
.
6．D
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】
对于A，
内有无数条直线与
平行不能得出
内的所有直线与
平行才能得出，故A错；
对于B、C，
垂直于同一平面或
平行于同一条直线，不能确定
的位置关系，故B、C错；
对于D，
垂直于同一条直线可以得出
，反之当
时，若
垂于某条直线，则
也垂于该条直线.
故选：
D.
7．A
【解析】
【分析】
根据题意可得
，利用二项式展开式的通项公式
求出
的项的系数，进而得出结果.
【详解】
，
在
的展开式中，由
，
令
，得r无解，即
的展开式没有
的项；
在
的展开式中，由
，
令
，解得r=3，
即
的展开式中
的项的系数为
，
又
的展开式中
的系数为80，
所以
，解得
.
故选：
A.
8．B
【解析】
【分析】
根据效率的定义，结合
的单调性，即可判断和选择.
【详解】
因为
，
令
，得易知
在
上单调递增，在
上单调递减，
故只需比较
与
的大小，而
，
故可得
.
则效率最高的是三进制.
故选：
.
9．ACD
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
由
，可解得
，故选项A正确；
频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；
得分在80分及以上的人数的频率为
，
故人数为
，故选项C正确；
这组数据的平均数的估计值为：
故选项D正确.
故选：
ACD.
10．CD
【解析】
【分析】
对原方程分解因式，利用求根公式，即可直接求得结果.
【详解】
对于方程
，移项因式分解可得：
为实数根，
要求虚数根，解方程
即可，解得
.
故选：
.
11．BCD
【解析】
【分析】
对于A，连接
并延长交
于
，连接
，可证得
，同理可证得
，从而可判断，对于B，由勾股定理结合余弦定理判断，对于C，
，可得
，然后结合已知条件判断，对于D，利用由等面积法求解判断
【详解】
连接
并延长交
于
，连接
，因为
平面
，
平面
，
所以
，因为SA､SB､SC两两垂直，所以
平面
，因为
平面
，
所以
，因为
，所以
平面
，因为
平面
，所以
，即
，同理可证得
，故D应为
的垂心，故选项A不正确；
由勾股定理可得，
，
在
中，由余弦定理得，
，所以
为锐角，同理可得
都为锐角，所以
为锐角三角形，故选项B正确；
设
，则由题意得
，
若
，则
，因为
､
､
都为锐角，所以
，选项C正确；
由选项A可知，
平面
，因为
平面
，所以
，由等面积法可得
，得
，
故
.故选项D正确.
故选：
BCD
12．ACD
【解析】
【分析】
A：
验证
与
是否相等即可；
B：
验证
与
相等，从而可知
为f（x）的一个周期，再验证f（x）在（0，
）的单调性即可判断
为最小正周期；
C、D：
由B选项即求f（x）最大值和最小值.
【详解】
，故选项A正确；
∵
，
故
为
的一个周期.
当
时，
，
此时
，
令
，得
，故
.
∵当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，故
的最小正周期为
，选项B错误；
由上可知
在
上的最小值为
，最大值为
，由
的周期性可知，选项CD均正确.
故选：
ACD.
13．
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解.
【详解】
，
故
在（1，1）处的切线的方程为：
，即
.
故答案为：
.
14．6
【解析】
【分析】
设矩形空地的长为
m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】
设矩形空地的长为
m，则宽为
m，
依题意可得，试验区的总面积
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为
.
故答案为：
6
15．3
【解析】
【分析】
设
，则
，易得直线
的方程为
，求得
，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】
依题意，设
，由
，得N为
的中点且
，
则
，易得直线
的垂线
的方程为
.
令
，得
，故
，
由抛物线的定义易知
，
故
.
故答案为：
3
16．
【解析】
【分析】
由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.
【详解】
记第
个图形为
，三角形边长为
，边数
，周长为
，面积为
有
条边，边长
；
有
条边，边长
；
有
条边，边长
；
分析可知
，即
；
，即
当第1个图中的三角形的周长为1时，即
，
所以
由图形可知
是在
每条边上生成一个小三角形，即
即
，
，
，
利用累加法可得
数列
是以
为公比的等比数列，数列
是以
为公比的等比数列，故
是以
为公比的等比数列，
当第1个图中的三角形的面积为1时，
，即
，此时
，
，
有
条边，
则
所以
，所以
故答案为：
，
【点睛】
关键点睛：
本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：
（1）由
与
的关系求通项公式；
（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
17．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的基本量，解方程即可求得
，再求
即可；
（2）根据
（1）中所求
，解得
，利用裂项求和法即可求得结果.
（1）
设数列
的公差为d，依题意可得：
，解得
，
故有
，故
.
（2）
由
（1）中所求可得：
，
故
.
即数列
的前n项和
18．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理和余弦定理，代入即可求出结果.
（2）在
中由余弦定理求出
，再由
，在
中，求出
，代入即可求出答案.
（1）
在
中，由余弦定理可得
，
代入
中，化简可得，
，
由正弦定理可得：
，得
，
B为
的内角，故
.
（2）
由
和
，根据余弦定理得
，
故
，易知
.
，
由
分别为
的中点可得，
，
在
中，
，易知
，
故
.
19．
（1）证明见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直推证
，再结合三角形相似证明
，即可由线线垂直推证线面垂直；
（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得
，再由棱台的体积计算公式即可求得结果.
（1）
证明：
在
中，因为
，且
为
中点，故可得
，
由
平面
，且
面
，可得
，
又
面
，故
平面
，
又
面
，故
.
由
可得
，又
，
故
，可得
，又
故
，故可得
，
又
面
，故可得
平面
，
又
平面
，故平面
平面
.
（2）
由
可得
，连接
，
由
（1）所知，
两两垂直，
故以M为原点，分别以
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易知
，
由
，可得
，
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得
，
依题意可得
，解得
.
故
，
易得
和
的面积分别为
和2，
故三棱台
的体积为
.
20．
（1）分布列答案见解析，数学期望：
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】
（1）根据题干求得每次扑出点球的概率，进而可得分布列及期望；
（2）①由题意可得
的递推公式，进而得证；②令
，计算
与
，比较大小.
（1）
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为
，
门将在前三次扑出点球的个数
可能的取值为
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
期望
.
另解：
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为
，
门将在前三次扑出点球的个数
可能的取值为
，易知
，
，
.
的分布列为：
期望
.
（2）
①第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，则当
时，第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，第
次传球之前球不在甲脚下的概率为
，则
，从而
，
又
，
是以
为首项，公比为
的等比数列.
②由①可知
，
，
，故
.
21．
（1）
（2）证明见解析，定点为
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的离心率及其短轴长联立方程组即可求解；
（2）设直线
和直线
的方程，并求出直线
的方程，再求出点
、
的坐标，及其直线
的方程，即可求出直线MN恒过某定点.
（1）
由已知可得
，解得
，
故椭圆C的方程为
；
（2）
设直线
的方程为
（
且
），
直线
的方程为
（
且
），
则直线
与x轴的交点为
，
直线
的方程为
，则直线
与直线
的交点为
，
将
代入方程
，得
，
则点P的横坐标为
，点P的纵坐标为
，
将点P的坐标代入直线
的方程
，
整理得
，
∵
，∴
，
由
点坐标可得直线
的方程为：
，
即
，
则直线
过定点
.
22．
（1）单调递增区间为
，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（2）先根据定义域得到
，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围.
（1）
当
时，
，定义域为
，
，令
，解得：
，令
，解得：
，故此时
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
在区间
上有意义，故
在
上恒成立，可得
，
依题意可得：
在
上恒成立，
设
，
，易知
在
上单调递增，故
，
故
在
上单调递减，最小值为
，
故只需
，设
，其中
，
由
可得：
在
上为减函数，
又
，故
.
综上所述：
a的取值范围为
.
【点睛】
已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高.
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