线性变换练习习题.docx
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线性变换练习习题
第四章线性变换
习题精解
1．鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）
在线性空间V中，A
此中
V是一固定的向量；
2）
在线性空间V中，A
此中
V是一固定的向量；
3）
在P3中，A（x1,x2,x3）
（x12,x2
x3,x32）；
4）
在P3中，A（x1,x2,x3）
（2x1
x2,x2
x3,x1）；
5）
在P[x]中，Af（x）
f（x1）
6）
在P[x]中，Af（x）
f（x0）,此中x0
P是一固定的数；
7）
把复数域上看作复数域上的线性空间，
A
8）
在Pnn中，AX=BXC此中B,CPn
n是两个固定的矩阵.
解1）
当
0时,是;当
0时,不是.
2）当
0时,是;当
0时,不是.
3）不是.比如当
（1,0,0）,
k2时,kA（
）
（2,0,0）,A（k）（4,0,0）,
A（k
）
kA（
）.
4）是.因取（x1,x2,x3）,
（y1,y2,y3）,有
A（
）=A（x1
y1,x2
y2,x3y3）
=
（2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1）
=
（2x1
x2,x2
x3,x1）（2y1
y2,y2y3,y1）
=A
+A
A（k
）
A（kx1,kx2,kx3）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
=kA（）
故A是P3上的线性变换.
5）是.因任取f（x）P[x],g（x）
u（x）f（x）g（x）则
A（f（x）g（x））=Au（x）=u（x
再令v（x）kf（x）则A（kf（x））
故A为P[x]上的线性变换.
6）是.因任取f（x）P[x],g（x）
P[x],并令
1）=f（x1）g（x
A（v（x））v（x
P[x]则.
1）=Af（x）+A（g（x））
1）kf（x1）kA（f（x））
A（f（x）
g（x））=
f（x0
）
g（x0
）
A（f（x））
A（g（x））
A（kf
（x））
kf（x0
）
kA（f（x））
7）不是
.比如取
a=1,k=I,
则
A（ka）=-i,k（
Aa）=i,
A（ka）
kA（a）
8）是.因任取二矩阵X,YPnn,则
AX
Y）B（X
Y）CBXCBYCA
X
A
（
+
AX
）=
B（kX）
k（BXC）
kAX
（k
故A是Pnn上的线性变换.
2.在几何空间中,取直角坐标系
oxy,以A表示将空间绕
ox轴由oy向oz方向旋转90度的变
换,,以B表示绕oy轴向ox方向旋转
90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90
度的变换.证明:
A4=B4=C4=E,AB
BA,A2B2=B2A2
并查验（AB）2=A2B2能否建立.
解
任取一直量a=（x,y,z）,
则有
1）
由于
Aa=（x,-z,y）,
A2a=（x,-y,-z）
A3a=（x,z,-y）,
A4a=（x,y,z）
a=（z,y,-x）,
2a=（-x,y,-z）
B
B
B3a=（-z,y,x）,
B4a=（x,y,z）
Ca=（-y,x,z）,
C2a=（-x,-y,z）
C3a=（y,-x,z）,
C4a=（x,y,z）
所以
A4=B4=C4=E
2）由于
AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y）
BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x）
所以
ABBA
3）由于
A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z）
B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z）
所以
A2B2=B2A2
3）由于
（AB）2（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x）
22
AB（a）=（-x,-y,z）
（）2
2
B
2
AB
A
3.在P[x]中,Af（x）
f'（x）,Bf（x）xf（x）
证明:
AB-BA=E
证任取f（x）P[x],
则有
（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）xf;（x）-xf'（x）=f（x）
所以AB-BA=E
4.设A,B是线性变换,假如AB-BA=E,证明:
AkB-BAk=kAk1（k>1）
证采纳数学概括法.
当k=2时
A
2
2
2
2
2
B-BA=（A
B-ABA）+（ABA-BA）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=A
结论建立.
概括假定
k
m
时结论建立
即AmB-BAm
=mAm1.则当
km1
时
有
Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mAm1A=
（m1）Am
即km1时结论建立.故对全部k1结论建立.5.证明:
可逆变换是双射.
证设
A是可逆变换
它的逆变换为
A1.
若
a
b,则必有
Aa
Ab,否则设
Aa=Ab,
两边左乘
A
1,有
a=b,这与条件矛盾
.
其次,对任一直量
b,必有
a使Aa=b,事实上
令A
1b=a即可.
所以,A是一个双射
.
6.设
1,
2,
n是线性空间
V的一组基，
A是
V上的线性变换。
证明：
A是可逆变换当
且仅当
A1,A
2,
A
n线性没关
.
证
因
A（
1,
2,
n）=（
A1,A2,
A
n）=（1,
2,
n）A
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
An线性没关.
故A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
A
n线性没关.
7.求以下线性变换在所指定基下的矩阵
:
1）
第1
题4）中变换A在基1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,
3=（0,0,1）
下的矩阵;
2）
[o;
1,
2]是平面上向来角坐标系
A是平面上的向量对第一和第三象限角的均分线的
垂直投影,B是平面上的向量对
2的垂直投影,求A,B,AB在基
1,2下的矩阵;
3）
在空间P[x]
n中,设变换A为
f（x）
f（x
1）
f（x）
试求A在基
i=x（x
1）
（x
i
1）1
（I=1,2,
n-1）
下的矩阵A;
i!
4）
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx
3=xeaxcosbx,4=xeaxsin
bx
1=
1
x
2
axcosbx,
1=
1eax
x
2
sinbx
2
e
2
的全部实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间
求微分变换
D在基
i
（i=1,2,,6）
下的矩阵;
5）
已知P3
中线性变换
A在基1=（-1,1,1）,
2
=（1,0,-1）,
3=（0,1,1）
下的矩阵是
1
0
1
1
1
0
求A在基1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,
3=（0,0,1）
下的矩阵;
1
2
1
6）在P3中,A定义以下:
A
A
A
1
2
3
（5,0,3）
（0,1,6）
（5,1,9）
此中
1
（1,0,2）
2（0,1,1）
3（3,1,0）
求在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵;
7）同上,求A在1,2,3下的矩阵.
解1）
A1=（2,0,1）=2
1+
3
A2=（-1,1,0）=-
1+
2
A3=（0,1,0）=
2
2
1
0
故在基
1,2，
3下的矩阵为
0
1
1
1
0
0
2）取
1=（1，0），2=（0，1）则A1
=1
1
+1
2，
1
2
2
A2=
1
2
1+
2
2
1
1
故A在基
1，
2下的矩阵为
A=
2
2
1
1
2
2
又由于B
1=0，B
2所以B在基
0
0
2=A（B
2=
1，2下的矩阵为B=
，此外，（AB）
2）
0
1
1
1
=A2=
1+
2
2
2
0
1
所以AB在基
2
1，
2下的矩阵为AB=
，
0
1
2
3）由于
0
1,
1
x,
2
x（x
1）,
n1
x（x
1）
[x（n2）]
2!
（n
1）!
，所以A0
1
1
0
A1（x
1）
x
0
（x
1）x
[x
（n
3）]
x（x
1）
[x
（n
2）]
An1
（n1）!
（n1）!
x（x1）[x（n3）]
={（x1）[x（n2）]}
=n2
01
01
，所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=，
1
0
4）由于D1=a
1-b2,
D2=b1-a2,
6
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a
4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a
6
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
，所以D在给定基下的矩阵为D=
0
b
a
0
0，
0
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
1
1
0
5）由于（1,
2,3）=（1,2，3）1
0
1
，所以
1
1
1
1
1
1
（1,2，3）=（1,2,3）0
1
1
=（1,2,3）X，
1
0
1
故A在基1,2，3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X1AX=1
0
1
1
1
0
0
1
1
=
2
2
0
.
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6）由于（1,
2,3）=（1,2，3）0
1
1，
2
1
0
1
0
3
所以A（
1,
2,
A
2
，
3）
0
1
1
3）=（1
2
1
0
5
0
5
但已知
（
2
3）=（1,2，3）
0
1
1
故
A1
3
6
9
5
0
5
1
0
3
（
2，3）=（
1,2，3）0
1
1
0
1
1
1
A1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=（
1,
2，3）
0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=（
1,
2，3）
4
5
2
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7）由于（1,
2，3）=（
1,
2,
3）0
1
1
1
2
1
0
1
0
3
5
0
5
所以A（
1,
2,
3）=（
1,
2,3）
0
1
1
1
0
1
1
2
1
0
3
6
9
2
3
5
=（
1,
2,
3）
10
1。
1
1
0
8．在
P2
2
中定义线性变换
A1（X）=
a
b
X,
A2
（X）=X
a
b
A2（X）=
c
d
c
d
abab
X,
cdcd
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因
A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
A1=
a0b0
0a0b
c0d0
0c0d
又因
A2
E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2
E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
故A2在基E11,E
12,E21,E22下的矩阵为
a
c
0
0
A2
b
d
0
0
=
0
a
c
0
0
0
b
d
又因
A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22
A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22
A
3
E
21
=abE
+b
2E
12
+adE
21
+bdE
22
11
A
3
E
22
=bcE
+bdE
+cdE
21
+d2
E
22
11
12
故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
a2
ac
ab
bc
ab
ad
b2
bd
A3
c2
ad
cd
ac
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间V上的线性变换A
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