初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案.docx
《初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案
初中数学：
利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案）
一、选择题
1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大（小）值，下列叙述正确的是（）
A．当x＝2时，函数有最大值
B．当x＝2时，函数有最小值
C．当x＝－2时，函数有最大值
D．当x＝－2时，函数有最小值
2．如图K－6－1，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）
图K－6－1
2222
A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2
3．如图K－6－2所示，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正
方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）
图K－6－2
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C为AB的三等分点时，S最大
4．如图K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD.设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是（）
图K－6－3
图K－6－4
二、填空题
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a<0）的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y的最大值是，最小值是．
图K－6－5
7．如图K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿
边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s
的速度移动（不与点C重合）．如果点P，Q分别从A，B同时出发，那么经过s，四边
形APQC的面积最小.链接学习手册例2归纳总结
图K－6－6
8．如图K－6－7①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是．
图K－6－7
三、解答题
9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的
建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．
（1）如图K－6－8①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图②，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：
“只要饲养室长比
（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确
图K－6－8
10．如图K－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动时间为ts（0图K－6－9
11．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图K－6－10所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？
最大值是多少？
图K－6－11
图K－6－10
［课堂达标］
1．［解析］D∵y＝x2＋4x－7＝（x＋2）2－11，∴此抛物线的开口向上，顶点为最低点，
∴x＝－2时，函数有最小值．
2．［解析］C设BC＝xm，则AB＝（16－x）m，矩形ABCD的面积为ym2，
22
根据题意，得y＝（16－x）x＝－x＋16x＝－（x－8）＋64，当x＝8时，ymax＝64，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2.
故选C.
3．［解析］A设AC＝x，则BC＝1－x，
222
所以S＝x2＋（1－x）2＝2x2－2x＋1，
－21
所以当x＝－2×2＝2时，S有最小值．
4．解析］C易得BE＝DE＝22，则EP＝EQ＝22－x，过点Q作QF⊥AD于点F，则QF＝22（22－x）＝2－22x，∴y＝2PD·QF＝12x（2－22x）＝－42x2＋x＝－42（x－2）2＋22.
5．［答案］6－3
6．［答案］112.5
［解析］设一条直角边长为x，则另一条直角边长为30－x，
112
故S＝2x（30－x）＝－2（x－15）2＋112.5.
故答案为112.5.
7．答案］3
［解析］设点P，Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则
S＝S△ABC－S△PBQ
11
＝2×12×6－2（6－t）×2t
2
＝t2－6t＋36
＝（t－3）2＋27.
∴当t＝3时，S取得最小值．故填3.
8．［答案］12
［解析］观察图象，可以获得以下信息：
①点P在由B→C的过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数，表现在图象上应该是一段线段；②点P在由C→A的过程中，BP的
长度y随时间x变化的关系为二次函数，表现在图象上应该是抛物线的一部分；③当BP⊥AC
时，BP的长度最短，反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P到达点A时，此时BP＝5，
∴AB＝AC＝5，AC边上的高BP＝4，此时，由勾股定理，得AP＝CP＝52－42＝3，
1
∴AC＝6，∴S△ABC＝2×4×6＝12.
50－x12625
9．解：
（1）根据题意，得y＝x·2＝－2（x－25）＋2，∴当x＝25时，y最大，
即当饲养室长为25m时，占地面积y最大．
50－（x－2）12
（2）根据题意，得y＝x·2＝－2（x－26）2＋338，∴当x＝26时，y最大，
即当饲养室长为26m时，占地面积y最大．
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
10．解：
由题意知AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∴PB＝（6－t）cm，QC＝（8－2t）cm，
∴S＝48－4t－t（6－t）－3（8－2t）＝t2－4t＋24＝（t－2）2＋20.
∵t＝2在0∴当t＝2时，S取最小值，为20，即△PDQ面积的最小值为20cm2.
11．解：
（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍，∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，
11
∴a＝－4x＋10，2a＝－2x＋20，
11
∴y＝（－2x＋20）x＋（－4x＋10）x
32＝－x＋30x.
4
1∵a＝－x＋10>0，∴x<40，
4
32则y＝－4x2＋30x（032323
（2）∵y＝－4x2＋30x＝－4（x－20）2＋300（0∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300.
[素养提升]
c＝3，
解：
（1）将点A（0，3），B（－1，0），D（2，3）分别代入y＝ax2＋bx＋c，得a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3，
a＝－1，解得b＝2，
c＝3.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，
13∴直线l必过其对称中心12，2.
由点A，D的坐标知，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴E（3，0），
13
13k＋m＝，
设直线l的函数表达式为y＝kx＋m，代入2，2和（3，0），得22解得
3k＋m＝0.
39∴直线l的函数表达式为y＝－x＋.
55
39y＝－x＋，2由55可得xF＝－.
25y＝－x2＋2x＋3，
如图①，过点P作PH⊥x轴于点H，交l于点M，过点F作FN⊥PH于点N.
39
∵点P的纵坐标为yP＝－t2＋2t＋3，点M的纵坐标为yM＝－5t＋5，
55
∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋53t－95＝－t2＋153t＋65，
5555
1713228917
10·（t－10）＋100×10，
1332891717∴当t＝10时，△PFE的面积最大，最大值的立方根为100×10＝10.
（3）如图②，过点P作PK⊥x轴于点K，过点A作AQ⊥PK于点Q，
则在Rt△PKE中，PE2＝PK2＋KE2＝（－t2＋2t＋3）2＋（3－t）2；在Rt△AQP中，PA2＝AQ2＋PQ2＝t2＋（－t2＋2t）2；在Rt△AOE中，AE2＝OA2＋OE2＝18.由图可知∠PEA≠90°.
①若∠PAE＝90°，则PE2＝PA2＋AE2，
∴（－t2＋2t＋3）2＋（3－t）2＝t2＋（－t2＋2t）2＋18，
即－t2＋t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去）．
②若∠APE＝90°，则AE2＝PE2＋PA2，
∴18＝（－t2＋2t＋3）2＋（3－t）2＋t2＋（－t2＋2t）2，
即（t－3）（t2－t－1）＝0，解得t＝3（舍去）或t＝1＋5或t＝1－5＜－2（舍去）．
225
综上可知，存在满足条件的点
P，t的值为1或
1＋5
2
如图K－6－11①，抛物线y＝ax*123＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3），B（－1，0），D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，△PFE的面积最大？
并求最大值的立方根．
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
升级会员 