河南省洛阳市高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案doc.docx
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河南省洛阳市高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案doc
河南省洛阳市高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答
案
河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A{x|x
3},B
{x|x2
4x30}，则AB
（
）
A．R
B
．{3}
C
．{x|x1或x3}
D
．{x|1x3}
2．命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（）
A．存在一个有理数，它的平方是无理数B．任意一个无理数，它的平方是有理数
C．任意一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方是有理数
3．抛物线y2x2的准线方程为（）
3
3
B
3
3
A．y
．x
C．y
8
8
8
D
3
．y
4
4．在
ABC中，已知b
3,A
300,c
2，则sinA
（
）
a
A．1
B．1
C．1
D．2
4
2
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2
a6a11a16a20
3，则S21的值为（
）
A．63
B．
21
C
．
63
D
．21
6．在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F是棱BB1上的点，且
BF:
FB1
1:
3，则异面直线
EF与AD1
所成角的余弦值为（
）
A．
10
B
．15
C．310
D．
15
10
5
10
3
7．若正数
a,b满足ab
2a
b
0，则ab的最小值为（
）
A．22
B．4
C
．8D．9
8．“k3
”是“方程
x2
y
2
）
3
k
1表示图形为双曲线”的（
k
2
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不
必要条件
9．在中，角A,B,C所对的边分别是
a,b,c，若bx
ycosAsinB
0与
ax
ycosB
cosB
0平行，则
ABC一定是（
）
A．等腰直角三角形
B
．直角三角形
C
．等腰或直角三角形
D
．等腰三角
形
10．已知平行六面体
ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，
AA1
1，
A1ABA1AD
1200，则AC1与底面ABCD所成角的正弦值为（
）
A．310
B
．
2
C．
10
D．1
10
2
10
3
x2
y2
1的焦点分别为
F1,F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆面积为
，A,B
11．椭圆
5
9
两点的坐标分别为（x1,y1）和（x2,y2），则|x1x2
|的值为（
）
A．6
B
．3
C．9
D．3
2
2
12．已知数列{an}满足a1
4且a1
a2
an
an1，设bn
log2
an，则
1
1
1
的值是（
）
b1b2
b2b3
b2017b2018
A．2017
B
．3025
C
．2017
D
．2016
4038
4036
2018
2017
二、填空题（每题
4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．各项为正数的等比数列
{an}中，a2与a9的等比中项为22
，则
log4a3
log4a4
log4a8
.
14．若命题“a满足2a
1
1”为真命题，则实数
a的取值范围是.
a
1
15．若双曲线x2
y2
1（a
0,b0）
的渐近线方程是y
1x，则双曲线的离心率
a2
b2
2
为.
16．下列命题：
（1）已知a
（x,
5,1
x），b
（3,2
x,2），且a与b的夹角为钝角，则
x的取值范围是
4
（,）；
5
（2）已知向量
p在基底{a,b,c}下的坐标是（2,1,3），则向量p在基底{a
b,c
b,ac}下
的坐标为（3,2,
1）
；
（）在三棱锥
A
BCD
中，各条棱长均相等，
E
是
BC
的中点，那么AE
BC
AECD；
3
（4）已知三棱锥
A
BCD，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为
1:
27.
其中真命题是
.
（填序号）
三、解答题（本大题共
6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
17．已知a,b,c分别是
ABC的三个内角
A,B,C的对边，S是
ABC的面积，
4Sa2
（bc）2，且bc6.
（1）求角A的大小；
（2）求ABC的面积S的最大值.
18．已知动点P在抛物线x2
2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为
H，动点Q满足
PQ
1PH.
3
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）过点M（0,1）的直线l交轨迹E于A,B两点，设直线OA,OB的斜率为k1,k2，求
k1
k2的值.
19．已知数列{an}中，a1
1，an1
an
（n
N*）.
an4
（1）求证：
{1
1}是等比数列，并求
{an}d通项公式an；
an
3
（2）数列{bn}满足bn
（4n
1）n
1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
3n
20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保
障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加
工后进行推广促销，预计该批产品销售量
w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费
x万
元之间的函数关系为w
x3
（其中推广促销费不能超过
5千元）.已知加工此农产品还要
2
投入成本3（w
3）万元（不包括推广促销费用）
，若加工后的每件成品的销售价格定为
w
（4
30）元/件.
w
（1）试将该批产品的利润
y万元表示为推广促销费
x万元的函数；（利润=销售额-成本-
推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？
最大利润为多少？
21.在三棱锥PABC中，AB
AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落
在线段AD上，已知BC4,PO3,AO
2,OD
1.
（1）证明：
AP
BC；
（2）在线段AP上是否存在一点
M，使得二面角
AMCB为直二面角？
若存在，
求出AM的长；若不存在，请说明理由.
22．设圆x2
y2
4x320的圆心为A，直线l过点B（
2,0）且与x轴不重合，l交圆A
于C,D两点，过
B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明：
|EA||EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，O为坐标原点，求
OMN面积
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：
CDABC
6-10：
ACADC
11-12：
DB
二、填空题
9
516．
（2）（4）
13．14．（1,2]615．
2
三、解答题
17．解：
（1）已知4Sa2（bc）2
∴2bcsinA
a2
b2
c2
2bc
由余弦定理a2
b2
c2
2bccosA
得2bcsinA2bc2bccosA∴sinAcosA1
∴A900，即A的大小为900.
（2）由
（1）知S1bc
2
∵bc6，
∴S
1bc
1（bc）2
9
2
2
2
2
当且仅当b
c
3时，
9
ABC面积的最大值为.
2
18．解：
（1）设Q（x,y）,P（x0,y0），则H（x0,0）
∴PQ
（x
x0,y
y0），PH
（0,
y0），
1PH，∴
x
x00
x0
x
∵PQ
1
，∴
3
3
y
y0
3
y0
y0
2
y
而x02
2y0，
∴x2
2y.
（2）由题意知直线
l的斜率存在，设为
k，直线l的方程为y
kx1，设A（x1,y1），
B（x2,y2），
由x2
3y
得x2
3kx3
0，
y
kx
1
∴
（3）2
12
0
，x1
x2
3k,x1x2
3
k
∴y1
（x1x2）
2
y2
1
9
∴k1
k2
y1
y2
1
x1
x2
，
3
故k1
1
k2的值为.
3
19.解：
（1）∵an
1
an
（n
N*）
an
4
∴1
an
4
1
4（nN*）
an
1
an
an
∴1
1
4（1
1），（nN*）
an
1
3
an
3
∵a1
1，
1
1
4，
a1
3
3
∴{1
1}是以4为首项，以
4为公比的等比数列
an
3
3
∴1
1
4
4n1，
an
3
3
1
4n
1
∴
，
an
3
∴an
3
，（n
N*）
4n
1
（2）bn
（4n
1）n1
an，an
4n
3
3n
1
bn
n1
3n1
Tnb1b2bn
∴Tn
2
3
n
n
1
①
0
1
3
n2
3
n1
3
3
1
2
3
n
n
1
3Tn
31
32
3n1
3n
②
①-②得2Tn
2
11
1
n1
3
31
32
3n1
3n
1
1
n
1
1
3n
1
3n
1
3
5
3
1
n
1
2
2
3n
3n
∴Tn
15
2n
5
4
4
n
1.
3
20．解：
（1）由题意知y
（4
30）w
3（w
3）x
w
w
w
30
9
x
w
63
x
18
2
2
x
3
∴y
63
x
18
（0
x5）.
2
2
x
3
（2）∵y
63
x
18
2
2
x
3
∴y
63
1（x
36）
33
1[（x3）
36
]
2
2
x
3
2
x
3
33
1
2
（x
3）
36
27.
2
x
3
当且仅当x3时，上式取“”
∴当x
3时，ymax
27.
答：
当推广促销费投入
3万元时，利润最大，最大利润为
27万元.
21．
（1）法一：
∵AB
AC,D为BC的中点，
∴AD
BC，
∵PO平面ABC，
∴POBC，
∵垂足O落在线段AD上，
∴BC平面PAD，
∴APBC.
法二：
如图，以O为原点，分别以过O点与DB共线同向的向量，OD，OP方向上的单位
向量为单位正交基建立空间直角坐标系Oxyz，则
O（0,0,0）,A（0,2,0）,B（2,1,0）,C（2,1,0）,P（0,0,3）,
AP（0,2,3）,BC（4,0,0）,AC（2,3,0）
∴APBC0
∴APBC
∴APBC
（2）假设M点存在，设AMAP，M（x,y,z），则AM（x,y2,z），
∴（x,y2,z）（0,2,3），
x
0
∴
y
2
2，
z
3
∴M（0,2
2,3
），
∴BM
（
2,2
3,3
）
设平面MBC的法向量为n1
（x1,y1,z1），平面APC的法向量为n2
（x2,y2,z2）
由
n1
BM0
2x1
（2
3）y1
3z1
0
得
4x1
0
，
n1
BC
0
令y1
1，可得n1
（0,1,3
2
），
3
由
n2
AC
0
2x2
3y2
0
，
得
2y2
3z2
0
n2
AP
0
令y1
6，可得n2（9,6,
4），
若二面角A
MC
B为直二面角，则n1
n2
0，得6
432
0，
3
解得
6
，∴AM
6
13
13
13
故线段AP上是否存在一点
M，满足题意，AM的长为613.
13
22.
解：
（1）证明：
因为|AD|
|AC|，EB//AC
故
EBD
ACD
ADC，所以|EB||ED|，
故|EA||EB||EA|
|ED||AD|，
又圆A的标准方程为（x
2）2
y2
36，从而|AD|
6
由椭圆定义可得点
E的轨迹方程为
x2
y2
1（y0）.
9
5
2
l
与x
轴不垂直时，设
l
的方程为
yk（x2）（k0）
，
M（x1,y1）,N（x2,y2）
（）当直线
x2
y2
1得（9k2
5）x2
36k2x36k2
450，
由9
5
y
k（x
2）
36k
2
36k
2
45
则x1x2
2
x1x2
9k
2
，
9k
5
5
所以|MN|1k2|x1x2|1k2
（x1x2）2
4x1x2
36k2
2
36k2
45
30（k2
1）
（
2
）
4
9k2
5
9k2
5
9k
5
O到直线MN距离为d，则d
2|k|
，
1k2
则SOMN
1|MN|d
|k|
30（k2
1）
30k2（k2
1）
2
1k2
9k2
5
（9k2
5）2
令t9k2
5，则t
（5,
）
则k2（k2
1）
t2
t20
20[
（1）2
1
1]
（9k2
5）2
81t2
81
t
20t
20
20[（1
1）2
81
],1
（0,1），
81
t
40
1600
t
5
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