高中数学《两条直线的交点坐标 两点间的距离》导学案.docx

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高中数学《两条直线的交点坐标两点间的距离》导学案

3．3.1　两条直线的交点坐标

3．3.2　两点间的距离

课前自主预习

知识点一　直线的交点与直线的方程组解的关系

1．两直线的交点坐标

2．两直线的位置关系

知识点二　两点间的距离公式

已知平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则|P1P2|＝.特别地，原点O（0,0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝.

1．两条直线相交的条件

（1）将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．

（2）设l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠（A2，B2≠0）．

（3）设两条直线l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.

2．两点间距离公式的理解

（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.

（2）当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.

当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.

当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若点A（a，b）在直线l：

Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．（　　）

（2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（　　）

（3）当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．（　　）

答案　

（1）√　

（2）√　（3）×

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）若点A（1，b）是直线2x＋3y＋1＝0上一点，则b＝________.

（2）（教材改编，P104，T1）若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为（a，b），则a－b＝________.

（3）点M（－3,4）到坐标原点的距离|OM|＝________.

答案　

（1）－1　

（2）4　（3）5

3．（教材改编，P106，T1）求下列两点间的距离：

（1）A（2,0），B（0,8）；

（2）A（1,3），B（－2,1）；

（3）A（5,0），B（－1,0）；（4）A（a,3），B（a，－3）．

答案　

（1）2　

（2）　（3）6　（4）6

课堂互动探究

金版教程|数学·必修2[A]第三章　直线与方程

探究　　直线的交点问题

例1　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．

解　解方程组得

所以两直线的交点坐标为.

又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

所以所求直线的斜率为－3.

故所求直线方程为y＋＝－3，

即15x＋5y＋16＝0.

[条件探究]　求经过两直线l1：

x－2y＋4＝0和l2：

x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：

3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

解　解法一：

解方程组得P（0,2）．

∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，

∴直线l的斜率为－.

∴直线l的方程为y－2＝－（x－0）．

即4x＋3y－6＝0.

解法二：

设所求直线l的方程为（x－2y＋4）＋λ（x＋y－2）＝0，即（λ＋1）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0，

∵直线l与直线l3：

3x－4y＋5＝0垂直，

∴－×＝－1，解得λ＝11.

∴直线l的方程为x－2y＋4＋11（x＋y－2）＝0，

即4x＋3y－6＝0.

拓展提升

求过两条直线交点的直线方程的两种方法

（1）求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

（2）若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷．

【跟踪训练1】　已知直线l1：

3x＋4y－2＝0与l2：

2x＋y＋2＝0的交点为P.求：

（1）交点P的坐标；

（2）过点P且平行于直线l3：

x－2y－1＝0的直线的方程；

（3）过点P且垂直于直线l3：

x－2y－1＝0的直线的方程．

解　

（1）由解得所以点P的坐标是（－2,2）．

（2）因为所求直线与l3平行，

所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0.

把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6.

故所求直线的方程为x－2y＋6＝0.

（3）因为所求直线与l3垂直，

所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0.

把点P的坐标代入上述方程，得2×（－2）＋2＋n＝0，解得n＝2，

故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0.

探究　　两点间距离公式的应用

例2　已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－7,0），B（2，－3），C（5,6），D（－4,9），判断这个四边形是哪种四边形．

解　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3，

∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．

又∵kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形，

∵|AB|＝3，|AD|＝3，

∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形，

故四边形ABCD为正方形．

[条件探究]　将本例中D点坐标改为（0,21），则此四边形又为哪种四边形？

解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3，

∴AD∥BC，|AB|≠|BC|且AB⊥AD.

∴四边形ABCD为直角梯形．

拓展提升

判断四边形与三角形的方法

（1）判断四边形的形状的方法是：

若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形．

（2）利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用．

【跟踪训练2】　已知△ABC三顶点坐标A（－3,1），B（3，－3），C（1,7），

（1）判断△ABC的形状；

（2）求BC边上的中线AM的长．

解　

（1）解法一：

∵|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

又|BC|＝＝2，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

解法二：

∵kAC＝＝，kAB＝＝－，

则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.

又|AC|＝＝2，

|AB|＝＝2，

∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）设点M的坐标为（x，y），因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为（2,2）．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为.

探究　　过定点的直线系问题

例3　求证：

不论m为什么实数，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都过定点．

证明　证法一：

当m＝1时，直线方程为y＝－4；

当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为（9，－4）．

又当x＝9，y＝－4时，9（m－1）＋（－4）（2m－1）＝m－5，即点（9，－4）在直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5上，故无论m取何值，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都过定点（9，－4）．

证法二：

将已知方程以m为未知数整理，得m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0.

由m取值的任意性，得解得

所以所给直线不论m取什么实数，都经过定点（9，－4）．

拓展提升

解含有参数的直线恒过定点的问题

方法一：

任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

方法二：

含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示的所有直线必过定点（x0，y0）．

【跟踪训练3】　已知直线l：

5ax－5y－a＋3＝0.

（1）求证：

不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

解　

（1）证法一：

将直线l的方程整理为

y－＝a，

∴l的斜率为a，且过定点A.

而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．

证法二：

直线l的方程可化为（5x－1）a－（5y－3）＝0.

∵上式对任意的a总成立，

必有即

即l过定点A.以下同证法一．

（2）直线OA的斜率为k＝＝3.

要使l不经过第二象限，需使直线l斜率大于等于3即可，即a≥3.

探究　　对称问题

例4　已知直线l：

2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：

（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；

（2）直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

（3）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程．

解　

（1）设A′（x，y），则

解得

∴A′.

（2）在直线m上取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点必在m′上．

设该对称点为M′（a，b），则

解得M′.

设m与l的交点为N，则由

得N（4,3）．∴m′经过点N（4,3）．

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

（3）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），且点P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.

拓展提升

光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．

（1）点A（x0，y0）关于直线l：

Ax＋By＋C＝0的对称点M（x，y），可由方程组

求得．

（2）常用对称的特例有：

①A（a，b）关于x轴的对称点为A′（a，－b）；

②B（a，b）关于y轴的对称点为B′（－a，b）；

③C（a，b）关于直线y＝x的对称点为C′（b，a）；

④D（a，b）关于直线y＝－x的对称点为D′（－b，－a）；

⑤P（a，b）关于直线x＝m的对称点为P′（2m－a，b）；

⑥Q（a，b）关于直线y＝n的对称点为Q′（a,2n－b）．

【跟踪训练4】　如图，一束光线从原点O（0,0）出发，经过直线l：

8x＋6y＝25反射后通过点P（－4,3），求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．

解　设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b），由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得

解得

∴A的坐标为（4,3）．

∵反射光线的反向延长线过A（4,3），

又由反射光线过P（－4,3），两点纵坐标相等．

故反射光线所在直线方程为y＝3.

由方程组解得

由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.

由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，

由A（4,3），P（－4,3）知，|AP|＝4－（－4）＝8，

∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.

1.判断两直线关系的方法

（1）利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题．

（2）利用斜截式方程中斜率和截距的关系．

（3）利用一般式中系数的关系

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0

①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1.

②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

③l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1.

2.过两直线交点的直线系方程

过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和l2：

A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数，不包含l2）.

3.对称问题

（1）中心对称

①点关于点的对称．若点M（x1，y1）及N（x，y）关于P（a，b）对