高中数学《两条直线的交点坐标 两点间的距离》导学案.docx

1、高中数学两条直线的交点坐标 两点间的距离导学案33.1两条直线的交点坐标33.2两点间的距离课前自主预习知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系1两直线的交点坐标2两直线的位置关系知识点二两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2| .特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP| .1两条直线相交的条件(1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交(2)设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2相交的条件是A1B2A2B10或(A2，B20)(3)设两条直线l1：yk1

2、xb1，l2：yk2xb2，则l1与l2相交k1k2.2两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若点A(a，b)在直线l：AxByC0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解()(3)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用()答案(1)(2)(3)2做一做

3、(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A(1，b)是直线2x3y10上一点，则b_.(2)(教材改编，P104，T1)若直线2xy10与直线xy40的交点为(a，b)，则ab_.(3)点M(3,4)到坐标原点的距离|OM|_.答案(1)1(2)4(3)53(教材改编，P106，T1)求下列两点间的距离：(1)A(2,0)，B(0,8)；(2)A(1,3)，B(2,1)；(3)A(5,0)，B(1,0)；(4)A(a,3)，B(a，3)答案(1)2(2)(3)6(4)6课堂互动探究金版教程|数学必修2A第三章直线与方程探究直线的交点问题例1求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10

4、平行的直线方程解解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.条件探究求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解解法一：解方程组得P(0,2)直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，直线l的斜率为.直线l的方程为y2(x0)即4x3y60.解法二：设所求直线l的方程为(x2y4)(xy2)0，即(1)x(2)y420，直线l与直线l3：3x4y50垂直，1，解得11.直线l的方程为x2y411(xy2)0，即4x3y60.拓展提升求过两条直线交点的直线方

5、程的两种方法(1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷【跟踪训练1】已知直线l1：3x4y20与l2：2xy20的交点为P.求：(1)交点P的坐标；(2)过点P且平行于直线l3：x2y10的直线的方程；(3)过点P且垂直于直线l3：x2y10的直线的方程解(1)由解得所以点P的坐标是(2,2)(2)因为所求直线与l3平行，所以可设所求直线的方程为x2ym0.把点P的坐标代入上述方程，得222m0，解得m6.故所求直线的方程为x2y60.(3)因为所求直线与l3垂直，所以可设所求直线

6、的方程为2xyn0.把点P的坐标代入上述方程，得2(2)2n0，解得n2，故所求直线的方程为2xy20.探究两点间距离公式的应用例2已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(7,0)，B(2，3)，C(5,6)，D(4,9)，判断这个四边形是哪种四边形解kAB，kCD，kAD3，kBC3，ABCD，ADBC，即四边形ABCD为平行四边形又kABkAD1，ABAD，即平行四边形ABCD为矩形，|AB|3，|AD|3，|AB|AD|，即矩形ABCD为正方形，故四边形ABCD为正方形条件探究将本例中D点坐标改为(0,21)，则此四边形又为哪种四边形？解kAB，kCD3，kAD3，kBC3，ADBC，|

7、AB|BC|且ABAD.四边形ABCD为直角梯形拓展提升判断四边形与三角形的方法(1)判断四边形的形状的方法是：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形(2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用【跟踪训练2】已知ABC三顶点坐标A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(2)求BC边上的中线AM的长解(1)解法一：|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|

8、BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形解法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形(2)设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x2，y2，即点M的坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|AM|，所以BC边上的中线AM的长为.探究过定点的直线系问题例3求证：不论m为什么实数，直线(m1)x(2m1)ym5都过定点证明证法一：当m1时，直线方程为y4；当m时，直线方程为x9.这两条直线的交点为(9，4)又当x9，y4时，9(m1)(4)(2m1)m5，即点(9，4)在直线(m1)x(2m1)ym5上，故

9、无论m取何值，直线(m1)x(2m1)ym5都过定点(9，4)证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x2y1)(xy5)0.由m取值的任意性，得解得所以所给直线不论m取什么实数，都经过定点(9，4)拓展提升解含有参数的直线恒过定点的问题方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)【跟踪训练3

10、】已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围解(1)证法一：将直线l的方程整理为ya，l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限证法二：直线l的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A.以下同证法一(2)直线OA的斜率为k3.要使l不经过第二象限，需使直线l斜率大于等于3即可，即a3.探究对称问题例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线

11、l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，则解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设该对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)m经过点N(4,3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，且点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.拓展提升光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点A(x0，y0)关于直线l：AxByC

12、0的对称点M(x，y)，可由方程组求得(2)常用对称的特例有：A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b)；B(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b)；C(a，b)关于直线yx的对称点为C(b，a)；D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a)；P(a，b)关于直线xm的对称点为P(2ma，b)；Q(a，b)关于直线yn的对称点为Q(a,2nb)【跟踪训练4】如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得解得A的坐标为

13、(4,3)反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.1.判断两直线关系的方法(1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题(2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系(3)利用一般式中系数的关系直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20l1l2A1B2A2B1且A1C2A2C1.l1l2A1A2B1B20.l1与l2重合A1B2A2B1且A1C2A2C1.2.过两直线交点的直线系方程过直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数，不包含l2).3.对称问题(1)中心对称点关于点的对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对