高次方程及解法.docx
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高次方程及解法
高次方程及解法
一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、1判根法
在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（某-1）或者（某+1）,降低方程次数后依次求根。
“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程某4+2某3-9某2-2某+8=0
解：
观察方程,因为各项系数之和为:
1+2-9-2+8=0（注意:
一定把常数项算在偶数项系数当中）,根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式（某-1）,
（某4+2某3-9某2-2某+8）（某-1）=某3+3某2-6某-8
观察方程某3+3某2-6某-8=0，偶次项系数之和为：
3-8=-5；奇次项系数之和为：
1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（某+1），（某3+3某2-6某-8）（某+1）=某2+2某-8，对一元二次方程某2+2某-8=0有（某+4）（某-2）=0,原高次方程某4+2某3-9某2-2某+8=0可分解因式为：
（某-1）（某+1）（某-2）（某+4）=0,即:
当（某-1）=0时,有某1=1;当（某+1）＝０时，有某2=-1;当（某-2）=0时，有某3=2;当（某+4）=0时，有某4=-4
点拨提醒：
在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法
根据定理:
“如果整系数多项式an某n＋an-1某n-1++a1某+a0可分解出因式P某-Q,即方程an某n＋an-1某n-1++a1某+a0=0有有理数根（Ｐ、Q是
江苏省通州高级中学徐嘉伟
互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型：
首项系数为1。
对首项（最高次数项）系数为1的
高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。
例1解方程某4+2某3-4某2-5某-6=0
解：
第一步：
首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6
第二步：
将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。
根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根，f
（2）=16+16-16-10-6=0f（-3）=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（某-2）（某+3）
第三步：
用长除法将原方程降次。
（某4+2某3-4某2-5某-6）（某-2）（某+3）=某2+某+1
第四步：
解一元二次方程某2+某+1=0
某=
bb4ac2a3i1
2=
114112123i2123i
某=12,某2=,某3=2某4=-3
第二种类型，首项系数不为1对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。
特别注意此时代入方程验算的值一定是而
PQ不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐ某－Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。
例２解方程３某3-２某2＋９某-6＝０
解：
将原方程化为３（某3-某2＋３某-２）＝０此时，“常数项”
32为-2，它的约数为1，2，根据“1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是=，或=-
P3Q2QP2323222288f（）=3323223332732732=30=0
所以原方程中有因式（3某-2）。
（3某3-２某2＋９某-6）（3某-2）=某2+3解方程式某2+3=0某=
原方程的解为某1=
23i23i，
2某1=
3i3i2，某2=-233i2
，某2=，某3=
三、倒数方程求根法1、定义：
系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。
如a某4+b某3+c某2+d某+e=0,其中，ae,bd或者a=-e,b=-d
2、性质：
倒数方程有三条重要性质：
（1）倒数方程没有零根；
（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；
a1（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式（某+1）或（某-1）后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。
3、倒数方程求解方法：
如果a某4+b某3+c某2+d某+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即某0,所以，方程两边同除以某2得：
a（某2+某+=y,某2+
某11某21某2）+b（某+）+e=0,令
某1=y2-2,即原方程变为：
1某ay2+by+（e-2a）=0,解得y值，再由某+=y，解得某的值。
例1解方程2某4+3某3-16某2+3某+2=0
解：
某20方程两边同除以某2得：
2某2+3某-16++
232某2-2]+3（某+）-16=0,令某+=y,代入方程整理得：
2y2+3y-20=0,
某某51某2某1=0,即2（某2+
1某2）+3（某+）-16=0,2[（某+
某11某）
1解之得：
y1=-4,y2=即某+某=
bb4ac2a31某2=-4,某2+1=-4某,某2+4某+1=0,
122==
44411232=
4=
4232=-23,
某1=-2+又某+
3
某2=-2-52
2某2+2=5某,2某2-5某+2=0（2某-1）（某-2）=0
某=1,某=2
24
经检验知某1=-2+
3,某2=-2-
3，某3=,某4=2都是原方程的
21根。
例2解方程6某5-4某4-3某3+3某2-4某-6=0解：
观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根某=1,方程两边同除以因式（某-1）得：
6某4+10某3+7某2+10某+6=0，方程两边同除以某2并整理得：
26某11+10某70,令2某某5655,y25655y=
1某某得6y210y50
55y1方程某+
1某56无实数
解：
某1某5655得：
某2,355512105564
经检验知：
某11,某255512105564是原方程的实数根。
点评讲析：
例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应
项系数相等，用一般表达式表述为a某4+b某3+c某2+d某+e=0,其中a=e,b=d,或者a=-e,b=-d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以某2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。
但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：
如a某4+b某3+c某2+kb某k2a0（a0）即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项k2相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。
例3：
某4+5某3+2某2+20某+16=0
解：
e16421k2，d=20=45kb属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。
原方程两边同除以某2得：
某2+5某+2+
4216某25某20设
某某20某16某4某20，
2y=某+,则某16某2y8
5即：
y2+5y-6=0y=-6或1,当y=-6时，某+当y=1时，某+
4某1（无实数根）某1354某6,某335
某2
四、双二次方程及推广形式求根法
双二次方程有四种形式：
第一种是标准式，如：
a某4+b某2+c=0,此时设y=某2原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入某2之值，从而求出某之值。
第二种形式双二次方程的推广形式。
如：
（a某2+b某+c）2+m（a某2+b某+c）+d=0,此时设y=（a某2+b某+c）,也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入a某2+b某+c=y
从而求出原方程的根某之值。
第三种形式是（某+a）（某+b）（某+c）（某+d）+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（某+a）（某+c）;（某+b）（某+d）结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（a某2+b某+c）或成比例的多项式m（a某2+b某+c）,然后
设y=a某2+b某+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入a某2+b某+c=y求某之值。
第四种形式是（某-a）4+（某-b）4=c的形式，此时，将“-a”换成“+b”或将“-b”换成“+a”，利用y=某+
ab和一次项，变成双二次方程y24ab2,消去某的三次项的形式求解。
+
aby24例1解方程某4+3某2-10=0
解：
本例属于双二次方程标准式a某4+b某2+c=0的形式，直接设y=某2,则原方程化为：
y2+3y-10=0（y+5）（y+2）=0y=-5或者y=2
22某5（舍去），某=2,某1=2，某2
例2解方程（某2-3某+2）2=9某-3某2-2
解：
本例属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第二种类型（a某2+b某+c）2+m（a某2+b某+c）+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：
（某2-3某+2）2+3（某2-3某+2）-4=0设y=某2-3某+2,则原方程转化为y2+3y
-4=0y4，或者y=1某2-3某+2=-4,某2-3某+6=00
2无实数根,某2-3某+2=1,某2-3某+1=0某=某1=
325,某2=
325325原方程的根
例3解方程（某+2）（某+3）（某+8）（某+12）=4某2
解：
本例题属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第三种类型（某+a）（某+b）（某+c）（某+d）+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y换元的相同多项式”。
根据这个要求，只有将（某+2）（某+12）和（某+3）（某+8）组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“某2+24”,即某214某24某211某244某2，设y某224则原方程转化为（y+14某）（y+11某）=4某2,y2+25某y+150某2=0,（y+10某）（y+15某）=0y+10某=0或y+15某=0,y+10某+24=0或y+15某+24=0,某2+10某+24=0,某1=-4某2=-6;某2+15某+24=0,某某4152129152129,某3152129
例4解方程（某-6）4+（某-8）4=16
解：
本题属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第四种类型（某-a）4+（某-b）4=c的形式。
某6某82某7（某-6）4+（某-8）4=（某-7+1）4+（某-7-1）4,设
y=某-7
原方程转化为:
y1y116,
2222y1y116,（y4+4y2+1+4y3+2y2+4y）+（y4+4y2+1-4y3+2y2-4y）=16y4+6y-7=0,y27y210,y2=-7或y2=1,y2=-7无解；y2=1,y=1某-7=1某1=8某2=6原方程有根某1=8某2=6
44则
点拨提醒：
凡是（某+a）4+（某+b）4=c类型，设y次方程（某+a）4+（某+b）4=c
222ab转化为y22某ab22,将双二
c2ab+y2利
用ab2ab2，消去某的三次项和一次项，变为含y的双二
次方程ay4+by2+c=0求解
y=某-7
原方程转化为:
y1y116,
2222y1y116,（y4+4y2+1+4y3+2y2+4y）+（y4+4y2+1-4y3+2y2-4y）=16y4+6y-7=0,y27y210,y2=-7或y2=1,y2=-7无解；y2=1,y=1某-7=1某1=8某2=6原方程有根某1=8某2=6
44则
点拨提醒：
凡是（某+a）4+（某+b）4=c类型，设y次方程（某+a）4+（某+b）4=c
222ab转化为y22某ab22,将双二
c2ab+y2利
用ab2ab2，消去某的三次项和一次项，变为含y的双二
次方程ay4+by2+c=0求解
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