高次方程及解法.docx

1、高次方程及解法高次方程及解法一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分

2、别除以（某-1）或者（某+1）,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例1解方程某4+2某3-9某2-2某+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(某-1),(某4+2某3-9某2-2某+8)(某-1)=某3+3某2-6某-8观察方程某3+3某2-6某-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（某+1），（某3+3某2-6某-8）(某+1)=某2

3、+2某-8，对一元二次方程某2+2某-8=0有（某+4）（某-2）=0,原高次方程某4+2某3-9某2-2某+8=0可分解因式为：(某-1)(某+1)(某-2)(某+4)=0,即:当(某-1)=0时,有某1=1;当(某+1)时，有某2=-1;当(某-2)=0时，有某3=2;当(某+4)=0时，有某4=-4点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式an某nan-1某n-1+a1某+a0可分解出因式P某-Q,即方程an某nan-1某n-1+a1某+a0=0有有理数根（、Q是江苏省通州高级中学徐嘉伟互质整数）

4、，那么，一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例1解方程某4+2某3-4某2-5某-6=0解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根，

5、f(2)=16+16-16-10-6=0f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（某-2）（某+3）第三步：用长除法将原方程降次。（某4+2某3-4某2-5某-6）(某-2)(某+3)=某2+某+1第四步：解一元二次方程某2+某+1=0某=bb4ac2a3i12=114112123i2123i某=12,某2=,某3=2某4=-3第二种类型，首项系数不为1对首项系数不为的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而PQ不是，因为此时原方程的因式是（某），其余的解法步骤同首项系数为的解法步骤

6、相同。例解方程某3-某2某-6解：将原方程化为（某3-某2某-）此时，“常数项”32为-2，它的约数为1，2，根据“1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是=，或=-P3Q2QP2323222288f()=3323223332732732=30=0所以原方程中有因式（3某-2）。（3某3-某2某-6）(3某-2)=某2+3解方程式某2+3=0某=原方程的解为某1=23i23i，2某1=3i3i2，某2=-233i2，某2=，某3=三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a某4+b某3+c某2+d某+e=0,其中，ae,bd或者a=-e,b=-d2、性

7、质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；a1（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(某+1)或(某-1)后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法：如果a某4+b某3+c某2+d某+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即某0,所以，方程两边同除以某2得：a(某2+某+=y,某2+某11某21某2)+b(某+)+e=0,令某1=y2-2,即原方程变为：1某ay2+by+(e-2a)=0,解得y值，再由某+=y，解得某的值。例1解方程2某4+3某3-16某2+3某+2=0解：某20方程两边同除以某2得：2某2+3

8、某-16+232某2-2+3（某+）-16=0,令某+=y,代入方程整理得：2y2+3y-20=0,某某51某2某1=0,即2（某2+1某2）+3（某+）-16=0,2（某+某11某）1解之得：y1=-4,y2=即某+某=bb4ac2a31某2=-4,某2+1=-4某,某2+4某+1=0,122=44411232=4=4232=-23,某1=-2+又某+3,某2=-2-522某2+2=5某,2某2-5某+2=0(2某-1)(某-2)=0某=1,某=224经检验知某1=-2+3,某2=-2-3，某3=,某4=2都是原方程的21根。例2解方程6某5-4某4-3某3+3某2-4某-6=0解：观察该方

9、程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根某=1,方程两边同除以因式（某-1）得：6某4+10某3+7某2+10某+6=0，方程两边同除以某2并整理得：26某11+10某70,令2某某5655,y25655y=1某某得6y210y5055y1方程某+1某56无实数解：某1某5655得：某2,355512105564经检验知：某11,某255512105564是原方程的实数根。点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般表达式表述为a某4+b某3+c某2+d某+e=0,其中a=e,b=d,或者a=-e,b=-d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能

10、发现是“倒数方程”，两边同除以某2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如a某4+b某3+c某2+kb某k2a0(a0)即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项k2相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。例3：某4+5某3+2某2+20某+16=0解：e16421k2，d=20=45kb属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以某2得：某2+5某+2+4216某25某

11、20设某某20某16某4某20，2y=某+,则某16某2y85即：y2+5y-6=0y=-6或1,当y=-6时，某+当y=1时，某+4某1(无实数根)某1354某6,某335,某2四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是标准式，如：a某4+b某2+c=0,此时设y=某2原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入某2之值，从而求出某之值。第二种形式双二次方程的推广形式。如：（a某2+b某+c）2+m(a某2+b某+c)+d=0,此时设y=(a某2+b某+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入a某2+b某+c=y从而求出原方程的

12、根某之值。第三种形式是(某+a)(某+b)(某+c)(某+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（某+a）(某+c);(某+b)(某+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（a某2+b某+c）或成比例的多项式m(a某2+b某+c),然后设y=a某2+b某+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入a某2+b某+c=y求某之值。第四种形式是（某-a）4+(某-b)4=c的形式，此时，将“-a”换成“+b”或将“-b”换成“+a”，利用y=某+ab和一次项，变成双二次方程y24ab2,消去

13、某的三次项的形式求解。+aby24例1解方程某4+3某2-10=0解：本例属于双二次方程标准式a某4+b某2+c=0的形式，直接设y=某2,则原方程化为：y2+3y-10=0(y+5)(y+2)=0y=-5或者y=222某5(舍去)，某=2,某1=2，某2例2解方程（某2-3某+2）2=9某-3某2-2解：本例属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第二种类型（a某2+b某+c）2+m(a某2+b某+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(某2-3某+2)2+3(某2-3某+2)-4=0设y=某2-3某+2,则原方程转化为y2+3y-

14、4=0y4，或者y=1某2-3某+2=-4,某2-3某+6=002无实数根,某2-3某+2=1,某2-3某+1=0某=某1=325,某2=325325原方程的根例3解方程(某+2)(某+3)(某+8)(某+12)=4某2解：本例题属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第三种类型（某+a）(某+b)(某+c)(某+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y换元的相同多项式”。根据这个要求，只有将（某+2）(某+12)和(某+3)(某+8)组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“某2+24”,即某214某24某211某244某2，设y某2

15、24则原方程转化为(y+14某)(y+11某)=4某2,y2+25某y+150某2=0,(y+10某)(y+15某)=0y+10某=0或y+15某=0,y+10某+24=0或y+15某+24=0,某2+10某+24=0,某1=-4某2=-6;某2+15某+24=0,某某4152129152129,某3152129例4解方程(某-6)4+(某-8)4=16解：本题属于双二次标准方程a某4+b某2+c=0推广形式的第四种类型（某-a）4+(某-b)4=c的形式。某6某82某7(某-6)4+(某-8)4=(某-7+1)4+(某-7-1)4,设y=某-7原方程转化为:y1y116,2222y1y116

16、,(y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3+2y2-4y)=16y4+6y-7=0,y27y210,y2=-7或y2=1,y2=-7无解；y2=1,y=1某-7=1某1=8某2=6原方程有根某1=8某2=644则点拨提醒：凡是(某+a)4+(某+b)4=c类型，设y次方程(某+a)4+(某+b)4=c222ab转化为y22某ab22,将双二c2ab+y2利用ab2ab2，消去某的三次项和一次项，变为含y的双二次方程ay4+by2+c=0求解y=某-7原方程转化为:y1y116,2222y1y116,(y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3+2y2-4y)=16y4+6y-7=0,y27y210,y2=-7或y2=1,y2=-7无解；y2=1,y=1某-7=1某1=8某2=6原方程有根某1=8某2=644则点拨提醒：凡是(某+a)4+(某+b)4=c类型，设y次方程(某+a)4+(某+b)4=c222ab转化为y22某ab22,将双二c2ab+y2利用ab2ab2，消去某的三次项和一次项，变为含y的双二次方程ay4+by2+c=0求解