第五章 习题参考答案与提示.docx
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第五章习题参考答案与提示
第五章习题参考答案与提示
第五章数理统计初步习题参考答案与提示
1.在总体中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值）3.6,52（~
2NXX落50.8到53.8之间的概率。
答案与提示：
由于）/,（~
2nNXσμ，所以{50.853.8}0.8293PX<<=。
2.在总体中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？
）20,8（~
2NX
答案与提示：
由于
2~（,/XNnμσ），所以{83}0.1336PX−>=
3．设为来自总体
nXXX,,,
21）（~λPX的一个样本，X、分别为样本均值和样本方差。
求
2SXD及。
2ES
答案与提示：
此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。
2,DXDXESnnλλ===。
4．设是来自正态总体的随机样本，。
试确定、b使统计量
4321XXXX，，，）30（
2，N
243221）32（）2（XXbXXaX−+−=aX服从分布，并指出其自由度。
2χ
答案与提示：
依题意，要使统计量X服从分布，则必需使及服从标准正态分布。
解得
2χ）2（
212/1XXa−）32（
432/1XXb−
a=1/45；b=1/117。
5．设X和Y独立同分布和分别是来自N（）03
2，，
921XXX，，，
921YYY，，，X和Y的简单抽样，试确定统计量UXXYY=++++
11292
9所服从的分布。
答案与提示：
应用t分布的定义，得UXXYY=++++
191292~（）t9
6．设随机变量~（）Xtn（1n>），试确定统计量
21YX=所服从的分布。
答案与提示：
先由t分布的定义知nVUX=，再利用F分布的定义即可。
—1—
第五章习题参考答案与提示
）1,（~1
2nFXY=。
7.设总体X服从正态分布，而是来自总体）2,0（
2N
1521,,,XXXX的简单随机样本，试确定随机变量）（2
21521121021XXXXY++++=所服从的分布。
答案与提示：
由于，）10（~10/）4/4/（
221021χXX++
）5（~5/）4/4/（
2215211χXX++，
故）5,10（~）（2
21521121021FXXXXY++++=
8．设为来自正态总体的一个样本，
nXXX,,,
21）,（~
2σμNXμ已知，求的极大似然估计。
2σ
答案与提示：
设为样本的一组观察值。
则似然函数为
nxxx,,,
21XXX
n12，，，Π=−−nixi
=eL
12）（22221）
σμσπσμ，（
（）=Σ
−−=（）12
2212221πσ
σμnxe
iin，
得的极大似然估计为
2σΣ
=−=
niixn
122）（1ˆμσ。
9．设）1,（~μNX，为来自正态总体
nXXX,,,
21X的一个样本，试求μ的极大似然估计及矩估计。
答案与提示：
矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。
极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。
μ的极大似然估计为
11ˆ
niiXnμ
==Σ
。
μ的矩估计为
11ˆ
niiXnμ
==Σ
。
10．设为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度函数中的未知参数的矩估计及极大似然估计。
nXXX,,,
21
（1）⎩⎨⎧<<+=,,0,10,）1（）,（其它xxxf
θθθ
其中1−>θ为未知参数。
—2—
第五章习题参考答案与提示
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=
−−,0,0,0,）,（
1xxeaxxf
axaλλλ
其中λ为未知参数，为常数。
0>a
（3）⎪⎩⎪⎨⎧>=
−,,0,0,）（
222/2其它xexxf
xθθ
其中,θθ,0>为未知参数。
答案与提示：
矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本例只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。
极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。
（1）矩估计：
θ=−−211XX。
极大似然估计：
lnθ=−−
=Σ
1
1nX
iin。
（2）矩估计：
1（）ˆ
aaaaaXλ⎡⎤Γ⎢⎥⎣⎦=。
极大似然估计：
Σ
==
niaiXn
1ˆλ。
（3）矩估计：
πθ2ˆX=。
极大似然估计:
Σ
==
niixn
1221ˆθ
11．设为总体
nXXX，，，
21X的一个样本，且X服从几何分布，即
3,2,1,）1（}{
1=−==
−kppkXP
k，
求的极大似然估计量。
p
答案与提示：
极大似然估计为p=X/1
12．设为总体XXX
n12，，，X的一个样本，且X服从参数为的二项分布，求pm,p的极大似然估计量。
答案与提示：
的极大似然估计量为pp=mX/。
13．设为来自总体
nXXX，，，
21X的一个样本，且EX=μ存在，问统计量
（1）、—3—
第五章习题参考答案与提示
（2）是否为μ的无偏估计。
（1）；
521524XXX++−
（2）
1211（234）10
nnXXXX
−+++。
答案与提示：
依据无偏估计定义，
521524XXX++−不是μ的无偏估计；
1211（234）10
nnXXXX
−+++是μ的无偏估计。
14．设总体X服从，为来自总体X的一个样本，试问统计量
（1）、
（2）、（3）是否为）,（
2σμN
321XXX，，μ的无偏估计，并从无偏估计中找出较好的一个。
（1）
12111424
3XXX++；
（2）
122113412
3XXX++；
（3）
121315102
3XXX++。
答案与提示：
依据无偏估计定义，统计量
（1）、
（2）、（3）均为μ的无偏估计。
由有效估计定义可判断
12111424
3XXX++较好。
15．设某种元件的使用寿命X的概率密度为
⎩⎨⎧≤>=
−−θθθ
θxxexf
x，，02）;（
）（2，
其中0>θ为未知参数。
又设是
nxxx，，，
21X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值。
答案与提示:
构造似然函数
）（212）（
θθ
−−=Π
=
ixnieLΣ
=−−=
niixne
1）（22
θ
lnΣ
=−−=
niixnL
1）（22lnθ
ndLd2ln=θ（与参数θ无关）
由条件，当θ>x时，（
）（22）（
θ−−=
xexfθ>0），所以当）,,,min（
21nxxx=θ时，似然函数取得最大值，从而知。
L）,,,min（ˆ
21nxxx=θ
16．设总体X的概率分布为
X0123
P
2θ）1（2θθ−
2θθ21−
其中）210（<<θθ是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，—4—
第五章习题参考答案与提示
3，求θ的矩估计值和极大似然估计值。
答案与提示：
θ的矩估计值为。
4/1ˆ=θ
对于给定的样本值，似然函数为，解得
426）21（）1（4）（θθθθ−−=L
12137
2,1±=θ
因2112137>+不合题意，所以θ的极大似然估计值为12137ˆ−=θ。
17．随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位cm）为
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，
2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，
设钉长服从正态分布，试就以下两种情况求总体均值μ的置信度为90%的置信区间：
（1）若已知01.0=σ；
（2）若σ未知。
答案与提示:
（1）μ的置信度为0.90的置信区间是（；（2.1212.129），
（2）μ的置信度为0.90的置信区间是。
）1325.21175.2（，
18．为了估计灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测试10只灯泡，得1500=x小时，。
如果已知灯泡使用时数服从正态分布，求总体均值20=Sμ、标准差σ的置信区间（置信度为0.95）。
答案与提示:
（1）μ的置信度为0.90的置信区间是；）32.1514,67.1485（
（2）的置信度为0.95的置信区间是（189.47,1333.33）；
2σ
σ的置信度为0.95的置信区间是（13.76,36.51）。
19．随机的取某种炮弹9枚做试验，得炮口速度的样本标准差（米/秒）。
设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹炮口速度的标准差11=Sσ的95%的置信区间。
答案与提示：
σ的置信度95%的置信区间为（）
7.43,21.10。
20．随机的从A批导线中抽取4根，从B批导线中抽取5根，测得电阻（）为ΩA批导线：
0.143，0.142，0.143，0.137，
B批导线：
0.140，0.142，0.136，0.138，0.140，
设测定数据分别来自正态总体、，且两样本相互独立。
又）,（
21σμN）,（
22σμN
1μ、
2μ、均为未知，试求
2σ
21μμ−的置信度为95%的置信区间。
答案与提示:
BAμμ−的0.95的置信区间为（-0.002，0.006）。
21．设两位化验员A、B独立地对某种聚合物含氯量用同样的方法各作10次测定，其测定的样本方差依次为，，设、分别为5419.0
2=
AS6065.0
2=
BS
2Aσ
2BσA、B—5—
第五章习题参考答案与提示
所测定的测定值总体的方差，两总体均服从正态分布。
试求方差比/的置信度为95%的置信区间。
2Aσ
2Bσ
答案与提示：
方差比
2221σσ的置信度为0.90的置信区间是（0.222,3.601）。
22．由经验知某零件重量。
技术革新后，抽了六个样品，测得重量为（单位：
g）
14.7，15.1，14.8，15.0，15.2，14.6，已知方差不变，问平均重量是否仍为15？
（）05.0,15（~NX05.0=α）
答案与提示：
依题意需检验假设15
0=μ：
H，经计算知应接受，即认为平均重量仍是15。
0H
23．原铸造成品率的平均值为83.8%，今换用便宜的原料，成品率抽样数据（%）如下：
83.9，84.6，82.4，84.1，84.9，82.9，85.2，83.3，82.0，83.5，问原料代用后，成品率是否发生了变化？
（α=0.05）
答案与提示：
依题意，可认为成品率这样的计量值数据服从正态分布，因此该问题即为方差未知的情况下，检验成品率的平均值是否仍为83.8%。
检验结果：
原料代用后，成品率无显著变化。
24．设某产品的生产工艺发生了改变，在改变前后分别独立测了若干件产品的某项指标，其结果如下：
改变前：
21.6，20.8，22.1，21.2，20.5，21.9，21.4；
改变后：
24.1，23.8，24.7，24.0，23.7，24.3，24.5，23.9。
且假定产品的该项指标服从正态分布，求工艺改变前后该产品的此项指标稳定状况有无明显改变（α=0.05）？
答案与提示：
依题意，设工艺改变后的总体为X～，工艺改变前的总体为Y～，从而问题化为检验假设。
）（
211σμ，N）（
222σμ，N=
2102σ：
H
22σ
检验结果：
认为工艺改变前后该产品的此项指标稳定状况无明显改变。
25．机床厂某日从两台机器生产的同一零件中，分别抽取若干个样品测量的长度如下
第一台机器：
6.2，5.7，6.5，6.0，6.3，5.8，5.7，6.0，6.0，5.8，6.0；第一台机器：
5.6，5.9，5.6，5.7，6.0，5.8，5.7，5.5，5.5。
问这两台机器的加工精度有无显著差异（α=0.05）？
答案与提示：
依题意，可认为样品测量这样的计量值数据服从正态分布，因此比较两台机器的加工精度有无显著差异，即为检验假设
2012:
H
2σσ=成立与否。
检验结果：
认为两台机器的加工精度无显著差异。
26．测得两批电子元件的样本的电阻（Ω）为
第一批：
0.140，0.138，0.143，0.142，0.144，0.137，
—6—
第五章习题参考答案与提示
第二批：
0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140。
设两批电子元件的电阻分别服从正态总体、，且两样本相互独立。
问这两批电子元件的电阻有无显著差异？
（）,（
21σμN）,（
22σμNα=0.05）
答案与提示：
显然该问题为在方差相等但未知的情况下，对两个正态总体均值是否相等的假设检验既要检验假设
012112:
:
HH.μμμμ=≠
检验结果：
认为两批电子元件电阻均值相等，无显著差异。
27．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的简单随机样本值。
已知服从正态分布xYln=）1,（μN。
（1）求X的数学期望EX（记EX为）；
（2）求bμ的置信度为0.95的置信区间；（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。
答案与提示：
（1）
12EXe
μ+=
（2）由X：
0.50，1.25，0.80，2.00得
xYln=：
-0.693，0.223，-0.223，0.693。
从而得μ的置信度为0.95的置信区间为（0.98,0.98）−。
（3）由上述结果知
95.0}98.098.0{=<<−μP
即95.0}{
5.098.05.05.098.0=<<
+++−eeeP
μ
亦即95.0}39.4619.0{}{
5.098.05.098.0=<<=<<
++−bPebeP
故b的置信度为0.95的置信区间为。
）39.4,619.0（
28．设总体X服从正态分布）,（
2σμN）0（>σ，从总体中抽取简单随机样本，其样本均值为
nXXX
221,,,）2（>nΣ
==
niiXnX
2121，求统计量
21）2（XXXY
niini−+=Σ
=+的数学期望EY。
解法1：
考虑）（,）,（）,（
22211nnnnXXXXXX+++
++，将其视为取自总体的简单随机样本，则其样本均值、样本方差分别为）2,2（
2σμN
=+
+=Σ
）（1
1inniiXXnXXn
nii21
21=Σ
=，
1
（2）
1
21
n
ini
i
XXX
n
+
=
+−
−Σ
11Yn=−，
由于
22）11（σ=−YnE，所以。
22）1
（2）2）（1（σσ−=−=nnEY
解法2：
记Σ
==′
niiXnX
11，Σ
=+=′′
niinXnX
11，显然有XXX′′+′=2。
因此—7—
第五章习题参考答案与提示
]）2（[
21XXXEEY
niini−+=Σ
=+=}）]（）[（{
21XXXXE
niini′′−+′−Σ
=+
]}）（））（
（2）[（{
212XXXXXXXXE
niininii′′−+′′−′−+′−=Σ
=++
Σ
+′−=
niiXXE
=120]）[（[
21[[（）
nniiEXX
+=
]′′+−Σ
222）1
（2）1（）1（σσσ−=−+−=nnn
29．设随机变量X的分布函数为（）
⎩⎨⎧≤>−=，，，αααβα
βxxxxF0,/1）,,（其中参数1,0>>βα。
设为来自总体
nXXX,,,
21X的简单随机样本，求:
（1）当1=α时,求未知参数β的矩估计量；
（2）当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量；
（3）当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量。
答案与提示：
本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数。
（1）当1=α时,参数的矩估计量为βˆ1XXβ=−。
（2）当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量Σ
==
niixnβ
1lnˆ。
（3）当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量，X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αxαxxαβxf0,2）,（
32
对于总体X的样本值,似然函数为
nxxx,,,
21
__________Π
=⎪⎩⎪⎨⎧=>==
niinnninixxxxxfL
13212.,0）,,,2,1（,）
（2）;（）（其他αααα当时,α越大，越大,即α的最大似然估计值为）,,2,1（niαx
i=>）（αL
},,,min{ˆ
21nxxxα=,
于是的最大似然估计量为α
},,,min{ˆ
21nXXXα=。
—8—__
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