工程数学作业实验04北工大软件学院.docx
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工程数学作业实验04北工大软件学院
4.2基本问题
1.设备更新问题
某公司需要对一台已经使用了2年的机器确定今后4年（n=4）的最优更新策略。
公司要求，用了6年的机器必须更新，购买一台新机器的价格是100万元，表4.1给出了该问题的数据，请给出设备的更新策略。
表4.1每年设备运行收入、运行成本以及折旧现值（单位：
万元）
使用年数
收入
运行成本
折旧现值
t
r（t）
c（t）
s（t）
0
20.0
0.2
1
19.0
0.6
80.0
2
18.5
1.2
60.0
3
17.2
1.5
50.0
4
15.5
1.7
30.0
5
14.0
1.8
10.0
6
12.2
2.2
5.0
解：
依据算法得到lingo程序如下
sets:
nodes/A2,B3,B1,C4,C2,C1,D5,D3,D2,D1,
E6,E4,E3,E2,E1,F/;
arcs（nodes,nodes）/
A2,B3A2,B1
B3,C4B3,C1B1,C2B1,C1
C4,D5C4,D1C2,D3C2,D1C1,D2C1,D1
D5,E6D5,E1D3,E4D3,E1D2,E3D2,E1D1,E2D1,E1
E6,FE4,FE3,FE2,FE1,F
/:
c,x;
endsets
data:
c=17.3-20.2
15.7-30.218.4-0.2
13.8-50.217.3-20.218.4-0.2
12.2-75.215.7-30.217.3-20.218.4-0.2
530506080;
enddata
n=@size（nodes）;
max=@sum（arcs:
c*x）;
@sum（arcs（i,j）|i#eq#1:
x（i,j））=1;
@for（nodes（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:
@sum（arcs（i,j）:
x（i,j））-@sum（arcs（j,i）:
x（j,i））=0
）;
@sum（arcs（j,i）|i#eq#n:
x（j,i））=1;
@for（arcs:
@bin（x））;
运行结果得出：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
72.80000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X（A2,B3）1.000000-17.30000
X（B3,C1）1.00000030.20000
X（C1,D2）1.000000-18.40000
X（D2,E3）1.000000-17.30000
X（E3,F）1.000000-50.00000
结论：
最佳的产值为72.8万元，最佳设备使用路线为：
A2B3C1D2E3F。
2、运输问题
有甲、乙和丙三个城市，每年分别需要煤炭320万吨、250万吨和350万吨，由A,B两个煤矿负责供应.已知煤矿年产量A为400万吨，B为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价如表4.2所示。
由于需求大于供应，经协商平衡，甲城市在必要时可少供应0-30万吨，乙城市需求量须全部满足，丙城市需求量不少于270万吨。
试求将甲、乙两矿煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
表4.2煤矿与各城市之间的煤炭运价表（单位:
万元/万吨）
甲
乙
丙
A
15
18
22
B
21
25
16
解：
（1）
甲
甲’
乙
丙
丙’
销量
A
15
15
19
22
22
400
B
21
21
25
16
16
450
C
M
0
M
M
0
70
运量
290
30
250
270
80
（2）
甲
甲’
乙
丙
丙’
销量
A
15
15
18
22
22
400
-6
B
21
21
25
16
16
450
0
C
M
0
M
M
0
70
-16
产量
290
30
250
270
80
21
21
24
16
16
（3）
甲
甲’
乙
丙
丙’
销量
A
15
15
19
22
22
400
B
21
21
25
16
16
450
C
M
0
M
M
0
70
运量
290
30
250
270
80
（4）
甲
甲’
乙
丙
丙’
销量
A
15
15
18
22
22
400
-6
B
21
21
25
16
16
450
0
C
M
30
M
M
0
70
-16
产量
290
30
250
270
80
21
16
24
16
16
结论：
调整后最优方案的最低费用为：
150*15+250*18+140*21+270*16+40*16+30*0+40*0=14650万元
3、生产计划与库存管理
（1）某公司生产一种除臭剂，它在1至4季度的生产成本、生产量及订货量表4.3所示.如果除臭剂在生产当季没有交货，保管在仓库里除臭剂每盒每季度还需1元钱的储存费用.如果某个季度的货物供应量不足，则允许延期交货，延期交货的罚金是每盒每季度3元.请公司希望制定一个成本最低（包括储存费用和罚金）的除臭剂的生产计划，问各季度应生产多少?
表4.3公司的生产成本、生产量及订货量季度生产成本（盒/元）
季度
生产成本（盒/元）
订货量（万盒）
生产量（万盒）
Ⅰ
5
10
13
Ⅱ
5
14
15
Ⅲ
6
20
15
Ⅳ
6
8
13
（2）如果产品不允许延期交货，则公司考虑工人加班，已知加班生产出产品的成本要比原成本高出20%，且每季度加班最多生产2万盒。
问：
在这种情况下，将如何安排生产，使总成本最少?
解：
（1）设
，得出四个季度支出费用为：
季度
费用
第一季度费用
5*
第二季度费用
5*
第三季度费用
6*
第四季度费用
6*
总的支出费用为：
；
LINGO中程序：
min=7*x1+6*x2+6*x3+6*x4-31;
x1+x2+x3+x4=52;
x1<=13;
x1>=10;
x2<=15;
x1+x2>=24;
x3<=15;
x1+x2+x3>=43;
x4<=13;
程序运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
294.0000
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X113.000000.000000
X215.000000.000000
X315.000000.000000
X49.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1294.0000-1.000000
20.000000-6.000000
30.0000000.000000
43.0000000.000000
50.0000001.000000
64.0000000.000000
70.0000001.000000
80.000000-1.000000
94.0000000.000000
lingo运行结果可得：
X1=13；
X2=15；
X3=15；
X4=9；
应该这样安排生产：
第一季度生产13万盒，第二季度生产15万，第三季度生产15万，第四季度生产9万盒。
总成本最低294万元。
（2）设第一季度加班生产的产品为
盒，第二季度加班生产的产品为
盒，第三季度加班生产的产品为
盒，第四季度加班生产的产品为
盒。
LINGO中程序：
min=8*x1+9*x11+7*x2+8*x21+7*x3+8.2*x31+6*x4+7.2*x41-78;
x1+x11+x2+x21+x3+x31+x4+x41=52;
x1<=13;
x1+x11>=10;
x2<=15;
x1+x2+x11+x21>=24;
x3<=15;
x1+x2+x3+x11+x21+x31>=44;
x4<=13;
程序运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
292.0000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X113.000000.000000
X110.0000001.000000
X215.000000.000000
X211.0000000.000000
X315.000000.000000
X310.0000000.2000000
X48.0000000.000000
X410.0000001.200000
RowSlackorSurplusDualPrice
1292.0000-1.000000
20.000000-6.000000
30.0000000.000000
43.0000000.000000
50.0000001.000000
65.0000000.000000
70.0000001.000000
80.000000-2.000000
95.0000000.000000
lingo运行结果可得：
应该这样安排生产：
第一季度正常生产13万盒，不安排加班生产；第二季度正常生产15万，加班生产1万盒；第三季度正常生产15万，不安排加班生产；第四季度生产8万盒，不安排加班生产。
总成本最少为292万元。
4、指派问题
分配甲、乙、丙、丁4个人去完成5项任务.每人完成各项任务时间如表4.4所示。
由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表4.4每人完成每项任务的时间表
人
任务
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：
根据题意分析，可以有四种指派方案，用lingo逐一分析。
指派方式1：
甲完成（worker1，worker5）两项任务，乙（worker2）、丙（worker3）、丁（worker4）各完成一项任务。
LINGO中程序：
model:
sets:
worker/w1..w5/;
job/j1..j5/;
links（worker,job）:
c,x;
endsets
data:
c=2529314237
3938262033
3427284032
2442362345
2529314237;
enddata
min=@sum（links:
c*x）;
@for（worker（i）:
@sum（job（j）:
x（i,j））=1）;
@for（job（j）:
@sum（worker（i）:
x（i,j））=1）;
@for（links:
@bin（x））;
End
程序运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
135.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
C（W1,J1）25.000000.000000
C（W1,J2）29.000000.000000
C（W1,J3）31.000000.000000
C（W1,J4）42.000000.000000
C（W1,J5）37.000000.000000
C（W2,J1）39.000000.000000
C（W2,J2）38.000000.000000
C（W2,J3）26.000000.000000
C（W2,J4）20.000000.000000
C（W2,J5）33.000000.000000
C（W3,J1）34.000000.000000
C（W3,J2）27.000000.000000
C（W3,J3）28.000000.000000
C（W3,J4）40.000000.000000
C（W3,J5）32.000000.000000
C（W4,J1）24.000000.000000
C（W4,J2）42.000000.000000
C（W4,J3）36.000000.000000
C（W4,J4）23.000000.000000
C（W4,J5）45.000000.000000
C（W5,J1）25.000000.000000
C（W5,J2）29.000000.000000
C（W5,J3）31.000000.000000
C（W5,J4）42.000000.000000
C（W5,J5）37.000000.000000
X（W1,J1）0.00000025.00000
X（W1,J2）1.00000029.00000
X（W1,J3）0.00000031.00000
X（W1,J4）0.00000042.00000
X（W1,J5）0.00000037.00000
X（W2,J1）0.00000039.00000
X（W2,J2）0.00000038.00000
X（W2,J3）1.00000026.00000
X（W2,J4）0.00000020.00000
X（W2,J5）0.00000033.00000
X（W3,J1）0.00000034.00000
X（W3,J2）0.00000027.00000
X（W3,J3）0.00000028.00000
X（W3,J4）0.00000040.00000
X（W3,J5）1.00000032.00000
X（W4,J1）0.00000024.00000
X（W4,J2）0.00000042.00000
X（W4,J3）0.00000036.00000
X（W4,J4）1.00000023.00000
X（W4,J5）0.00000045.00000
X（W5,J1）1.00000025.00000
X（W5,J2）0.00000029.00000
X（W5,J3）0.00000031.00000
X（W5,J4）0.00000042.00000
X（W5,J5）0.00000037.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
1135.0000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
结果分析：
指派方案1：
甲完成A、B两个任务，乙完成C任务，丙完成E，丁完成D任务，花费时间最短为135。
指派方式2：
乙完成（worker2，worker5）两项任务，甲（worker1）、丙（worker3）、丁（worker4）各完成一项任务。
LINGO中程序：
model:
sets:
worker/w1..w5/;
job/j1..j5/;
links（worker,job）:
c,x;
endsets
data:
c=2529314237
3938262033
3427284032
2442362345
3938262033;
enddata
min=@sum（links:
c*x）;
@for（worker（i）:
@sum（job（j）:
x（i,j））=1）;
@for（job（j）:
@sum（worker（i）:
x（i,j））=1）;
@for（links:
@bin（x））;
end
程序运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
131.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
C（W1,J1）25.000000.000000
C（W1,J2）29.000000.000000
C（W1,J3）31.000000.000000
C（W1,J4）42.000000.000000
C（W1,J5）37.000000.000000
C（W2,J1）39.000000.000000
C（W2,J2）38.000000.000000
C（W2,J3）26.000000.000000
C（W2,J4）20.000000.000000
C（W2,J5）33.000000.000000
C（W3,J1）34.000000.000000
C（W3,J2）27.000000.000000
C（W3,J3）28.000000.000000
C（W3,J4）40.000000.000000
C（W3,J5）32.000000.000000
C（W4,J1）24.000000.000000
C（W4,J2）42.000000.000000
C（W4,J3）36.000000.000000
C（W4,J4）23.000000.000000
C（W4,J5）45.000000.000000
C（W5,J1）39.000000.000000
C（W5,J2）38.000000.000000
C（W5,J3）26.000000.000000
C（W5,J4）20.000000.000000
C（W5,J5）33.000000.000000
X（W1,J1）0.00000025.00000
X（W1,J2）1.00000029.00000
X（W1,J3）0.00000031.00000
X（W1,J4）0.00000042.00000
X（W1,J5）0.00000037.00000
X（W2,J1）0.00000039.00000
X（W2,J2）0.00000038.00000
X（W2,J3）1.00000026.00000
X（W2,J4）0.00000020.00000
X（W2,J5）0.00000033.00000
X（W3,J1）0.00000034.00000
X（W3,J2）0.00000027.00000
X（W3,J3）0.00000028.00000
X（W3,J4）0.00000040.00000
X（W3,J5）1.00000032.00000
X（W4,J1）1.00000024.00000
X（W4,J2）0.00000042.00000
X（W4,J3）0.00000036.00000
X（W4,J4）0.00000023.00000
X（W4,J5）0.00000045.00000
X（W5,J1）0.00000039.00000
X（W5,J2）0.00000038.00000
X（W5,J3）0.00000026.00000
X（W5,J4）1.00000020.00000
X（W5,J5）0.00000033.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
1131.0000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
结果分析：
指派方案2：
甲完成B任务，乙完成C、D两项任务，丙完成任务E，丁完成任务A，花费最短时间为131。
指派方式3：
丙完成（worker3，worker5）两项任务，甲（worker1）、乙（worker2）、丁（worker4）各完成一项任务。
LINGO中程序：
model:
sets:
worker/w1..w5/;
job/j1..j5/
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