均值不等式教案.docx
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均值不等式教案
均值不等式教案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计
3.2 均值不等式
整体设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式.本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义,几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用.本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值”.
本节的《新课标》要求是:
探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简单的最大问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影.书中练习A、B和习题都是基本题,要求全做.
鉴于均值不等式的特殊作用,因此本节设计为2课时完成,但仅限于基本方法和基本技能的掌握,不涉及高难度的技巧.第一课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的联系.
三维目标
.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:
当且仅当这两个数相等.
2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.
3.通过本节学习,使学生体会数学于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.
重点难点
教学重点:
用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式a+b2≥ab的证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题.
教学难点:
用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式a+b2≥ab等号成立条件的运用,应用均值不等式解决实际问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法.因为有了上两节的不等式的探究学习,因此这样引入虽然直白却也是顺其自然.
思路2.教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个360°的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问题.
推进新课
新知探究
提出问题
1均值定理的内容是什么?
怎样进行证明?
2你能证明a2+b2≥2ab吗?
3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗?
4均值不等式有哪些变形式?
活动:
教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个结论就是均值不等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数a、b的a+b2叫做数a、b的算术平均值,数ab叫做a、b的几何平均值.均值定理可以表述为:
两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用,是高考的一个热点.可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件,a、b必须是正数,等号成立当且仅当a=b,以加深学生对此结论的理解,为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础.
利用不等式的性质对均值不等式两边平方,则很容易得到a2+b2≥2ab.这是一个很重要的结论.一般地,如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab也可让学生重新证明这个结论:
∵a2+b2-2ab=2,
当a≠b时,有2>0.
当a=b时,有2=0,所以2≥0,即a2+b2≥2ab.
这个不等式对任意实数a,b恒成立,是一个很重要的不等式,应用非常广泛.请同学们注意公式的结构形式,成立的条件是a、b为实数,等号成立的条件是当且仅当a=b时成立.“当且仅当”即指充要条件.
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究.
如图1,AB是圆的直径,点c是AB上一点,Ac=a,Bc=b.过点c作垂直于AB的弦DD′,连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?
图1
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形.容易证明△AcD∽△DcB.所以可得cD=ab.或由射影定理也可得到cD=ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长,a+b2表示的是半径长.由于半弦长不大于半径,即cD小于或等于圆的半径,用不等式表示为:
a+b2≥ab.
显然,上述不等式当且仅当点c与圆心重合,即当a=b时,等号成立.
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若a、b∈R+,则ab≤a+b2,当且仅当a=b时,式中等号成立.好多书上就把它称为基本不等式.在同样条件下还可写成:
a+b≥2ab或2ab≤a+b等.
讨论结果:
略.
均值不等式的几何解释是:
半径不小于半弦长.
若a、b∈R+,则ab≤a+b2,当且仅当a=b时,式中等号成立;
若a、b∈R+,则a+b≥2ab,当且仅当a=b时,式中等号成立;
若a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,式中等号成立.
应用示例
例1
活动:
本例是均值不等式的简单应用,教师点拨学生证明时注意式中成立的条件,本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba,ab∈R+
点评:
初用均值不等式,学生往往容易忽视不等式成立的条件,点拨学生注意,只要使用均值定理,马上先想到条件,养成良好的解题习惯.
变式训练
已知a、b、c都是正实数,求证:
≥8abc.
证明:
∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ca>0.
∴≥2ab•2bc•2ac=8abc,
即≥8abc.
例2已知>2,求证:
x-ya-b+a-bx-y≥2.
活动:
教师引导学生探究题目中的条件与结论.本题结论中,注意x-ya-b与a-bx-y互为倒数,它们的积为1,故此题应从已知条件出发,经过变形,说明x-ya-b与a-bx-y为正数开始证题.
证明:
∵>2,
∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx.
∴ax-ay+by-bx>0.
∴->0.
∴>0,
即a-b与x-y同号.
∴x-ya-b与a-bx-y均为正数.
∴x-ya-b+a-bx-y≥2x-ya-b•a-bx-y=2.
∴x-ya-b+a-bx-y≥2.
点评:
本题通过对已知条件变形,恰当地因式分解,从讨论因式乘积的符号来判断x-ya-b与a-bx-y是正还是负,是我们今后解题中常用的方法.
例3若a>b>1,P=lga•lgb,Q=12,R=lga+b2,则
A.R<P<Q
B.P<Q<R
c.Q<P<R
D.P<R<Q
活动:
这是均值不等式及其变形式的典型应用.根据P、Q、R三个式子的结构特点,应考虑利用均值不等式,再运用函数y=lgx的单调性.
答案:
B
解析:
∵a>b>1,
∴lga>lgb>0.
∴12>12•2lga•lgb,即Q>P.
又∵a+b2>ab,
∴lga+b2>lgab=12.
∴R>Q.故P<Q<R.
点评:
应准确理解均值不等式成立的条件,创造性地应用均值不等式.
例4
活动:
这是一个实际问题.教师引导学生分析,根据题意在中,矩形的长与宽的积是一个常数,求长与宽的和的两倍的最小值;在中,矩形的长与宽的和的两倍是一个常数,求长与宽的积的最大值.联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积,因此建立均值不等式的数学模型.
点评:
本例也可用函数模型解决,课后可让学生试一试.这里用均值不等式来解,一是说明利用均值不等式求最值的方法,二是说明这种方法的快捷.解完本例后,让学生领悟到:
两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.简单地说就是:
在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”.正是正数,定是定值,相等是能取到等号.
知能训练
.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
c.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.
答案:
.A 解析:
一方面,当a=18时,对任意的正数x,有2x+ax=2x+18x≥1;另一方面,对任意正数x,都有2x+ax≥1,只要2x+ax≥22a≥1,即得a≥18.
2.[9,+∞) 解法一:
令ab=t,
由ab=a+b+3≥2ab+3,得t2≥2t+3,
解得t≥3,即ab≥3,故ab≥9.
解法二:
由已知得ab-b=a+3,b=a+3,
∴b=a+3a-1.
∴ab=a•a+3a-1=[+1]a+3a-1=a+3+a+3a-1=a-1+4+a-1+4a-1
=a-1+4a-1+5≥2a-1•4a-1+5=9.
当且仅当a-1=4a-1时取等号,即a=b=3时,ab的最小值为9.
∴ab的取值范围是[9,+∞).
点评:
此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力.通过思考a+b与ab的关系联想到均值不等式,或建立在函数思想上,求函数的值域.
由于视角的不同,有多种方法,以上仅是其中的两种解法.
课堂小结
.由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法?
有哪些收获?
2.教师强调,本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b的算术平均数,几何平均数及它们的关系.两关系式成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具.
作业
习题3—2A组,4,5,6.习题3—2B组,1,2.
设计感想
.本节设计突出重点.均值不等式的功能在于求最值,这是本节的重点,要牢牢地抓住.但使用均值不等式求函数最值时要注意:
①x,y都是正数;②积xy为定值;③x与y必须能够相等.
2.本节课我们探究了均值不等式,拓展了我们的视野;证明不等式是高中数学的重点,也是难点,在设计中加强了证明不等式的题量,但难度并不大,重在让学生体会方法.将解题思路转化为解题过程,往往不是一帆风顺的,谈思路可能头头是道,具体求解却可能会处处碰壁,消除思路与求解的差异,要靠探究,在探究中不断更新,在探究中逐步完善.
第2课时
导入新课
思路1.让学生回忆上节课我们探究的重要结果:
一是如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab;二是均值不等式:
如果a,b是正数,那么a+b2≥ab.在这个不等式中,a+b2为a,b的算术平均数,ab为a,b的几何平均数,这样均值不等式就有了几何意义:
半弦长不大于半径.a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是不同的,前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.本节课我们进一步探究均值不等式的应用.由此展开新课.
思路2.通过上节课a2+b2≥2ab与a+b2≥ab的探究证明,我们熟悉了不等式的一些证明方法.本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法,进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路.教师打开多媒体,从而展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课探究的均值不等式,怎样理解均值不等式的意义?
都有哪些变形?
2均值不等式都有哪些方面的应用?
3在应用均值不等式求最值时,应注意什么问题?
活动:
教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式,以及均值不等式与a2+b2≥2ab的联系.给出了均值不等式的一个几何直观解释.均值不等式与a2+b2≥2ab都有着广泛的应用.对这两个重要不等式,要明确它们成立的条件是不同的.后者成立的条件是a与b都为实数,并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件;而前者成立的条件是a与b都为正实数,并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件,如a=0,b=0,仍然能使a+b2≥ab成立.
两个不等式中等号成立的条件都是a=b,故a=b是不等式中等号成立的充要条件.
在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时,应创造条件.
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用.
讨论结果:
略.
应注意不等式成立的条件,即把握好“一正,二定,三相等”.
应用示例
例1
活动:
本例是求函数的最值.教师引导学生将f变形,注意观察代数式中可否出现和或积的定值.本例可放手让学生自己探究,教师给予适当点拨.
点评:
解完本例后,让学生反思并领悟在求函数最值时,如何使用均值不等式的条件,并掌握基本技能.
变式训练
函数y=loga-1的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为________.
答案:
8
解析:
∵y=loga-1恒过点,∴A.
又∵A在直线上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.
又∵mn>0,∴m>0,n>0.
而1m+2n=2m+nm+4m+2nn
=2+nm+2+4mn≥4+2×2=8,
当n=12,m=14时取“=”.
∴1m+2n的最小值为8.
例2已知x<54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值;
已知a、b为实数,求函数y=2+2的最小值.
活动:
因为4x-5<0,所以首先要“调整”符号.又•14x-5不是常数,所以应对4x-2进行拆项“配凑”.从函数解析式的特点看,本题可化为关于x的二次函数,再通过配方法求其最小值.但若注意到+为定值,则用变形不等式m2+n22≥2更简捷.
解:
∵x<54,∴5-4x>0.
∴y=4x-2+14x-5=-+3≤-2+3=1.
当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立.
∴当x=1时,ymax=1.
∵y=2+2=2+2
≥2[x-a+b-x2]2=a-b22,
当且仅当x-a=b-x,即x=a+b2时,上式等号成立.
∴当x=a+b2时,ymin=a-b22.
点评:
若x、y∈R+,x+y=s,xy=p.若p为定值,则当且仅当x=y时,s的值最小;如果s为定值,则当且仅当x=y时,p的值最大.简称“和定积最大,积定和最小”.从本例的解答可以看出,求最值时往往需要拆项,其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件,即满足“一正,二定,三相等”的要求.
变式训练
已知在△ABc中,∠AcB=90°,Bc=3,Ac=4,P是AB上的点,则点P到Ac、Bc的距离乘积的最大值是__________.
答案:
3
解析:
方法一:
以cA、cB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,则直线AB方程为x4+y3=1,设P,则a4+b3=1.
∴ab=12•a4•b3≤122=3,
当且仅当“a=4b3”时等号成立.
方法二:
设P到Bc的距离为a,到Ac的距离为b.
由相似三角形易得a4=PB5,b3=PA5,
∴a4+b3=PB+PA5=1.以下解法同一.
例3当x>-1时,求函数f=x2-3x+1x+1的值域.
活动:
教师引导学生观察函数f的分子、分母特点,可作如下变形:
f=x2-3x+1x+1=x+12-5x+1+5x+1=x+1+5x+1-5.
这样就可以应用均值不等式了.
解:
∵x>-1,
∴x+1>0.
∴f=x2-3x+1x+1=x+12-5x+1+5x+1=x+1+5x+1-5≥2x+15x+1-5=25-5,当且仅当2=5时,即x=5-1时取“=”.
另一解x=-5-1<-1,故函数值域为[25-5,+∞).
点评:
本题解法具有典型性,解后教师引导学生领悟反思.这种求值域的题目,在“函数”一章中我们接触较多,其常用方法有单调性、图象法,还有判别式法.利用判别式法不仅计算量大,而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用均值不等式法求值域的方法,既简单又不易出错.但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件:
①各项均为正数;②和或积有一个为定值;③等号一定取到,这三个条件缺一不可.
变式训练
已知x1•x2•x3•…•xXX=1,且x1、x2、x3、…、xXX都是正数,则…的最小值是__________.
答案:
2XX
解析:
∵x1>0,则1+x1≥2x1,
同理,1+x2≥2x2,
……
+xXX≥2xXX,
各式相乘,得
…≥2XX•x1•x2•x3•…•xXX=2XX.
取“=”的条件为x1=x2=x3=…=xXX=1,
∴所求最小值为2XX.
例4设0<x<2,求函数f=3x8-3x的最大值,并求相应的x值.试问0<x<43时,原函数f有没有最大值?
0<x≤1时,f有没有最大值?
若有,请你求出来;若没有,请你说明理由.
活动:
对本例中的函数可变形为f=24x-9x2,根号内是我们熟悉的二次函数,完全可以用二次函数的知识方法解决,这种方法学生很熟悉.教师可引导学生利用均值不等式求解,让学生自己探究,教师可适时地点拨.
解:
∵0<x<2,∴8-3x>0.
∴f=3x8-3x≤3x+8-3x22=4,
当且仅当3x=8-3x,即x=43时取“=”.
∴函数f的最大值为4,此时x=43.
又f=-9x2+24x=-3x-42+16,
∴当0<x<43时,f递增;当x>43时,f递减.
∴当0<x<43时,原函数f没有最大值.
当0<x≤1时,有最大值f,即f=15
点评:
通过本例再次加深对均值不等式条件的理解.体会不等式的功能在于“和与积”的互化,构造均值不等式,解题的技巧是拆项或配凑因式.
知能训练
.函数f=xx+1的最大值为
A.25
B.12
c.22
D.1
2.求函数y=x+1x的最小值,以及此时x的值.
3.已知x、y∈R+,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
答案:
.B 解析:
当x=0时,f=0;当x>0时,f=xx+1=1x+1x≤12,当且仅当x=1x,即x=1时取等号.
2.解:
∵x>0,∴x+1x≥2•x•1x=2,
当且仅当x=1x,即x=1时取等号.
∴当x=1时,x+1x的值最小,最小值是2.
3.解:
由2x+8y-xy=0得y=2x.
∵x>0,y>0,∴x-8>0.
∴x+y=2xx-8+x=x-8+16x-8+10≥2x-8•16x-8+10=18,
当且仅当x-8=16x-8,即x=12时,x+y取最小值18.
课堂小结
.由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法,回顾本节课解决了哪些问题?
应注意些什么?
2.教师点拨,本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题,在用均值不等式求函数的最值时,应注意考查下列三个条件:
函数的解析式中,各项均为正数;函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:
一正、二定、三相等.在利用均值不等式证明一些不等式时,也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构.
作业
习题3—2A组2、3、7、8、9;习题3—2B组3、4.
设计感想
.本节设计意在体现均值不等式的应用,因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的,且强调一题多解的训练.
2.本节设计关注了教学进程的和谐发展.整个设计给人自然流畅的感觉,没有教师过分自我展示的味道,能使学生的思维得到充分的锻炼,能力得到很大的提高.
3.本节设计重视了学生的主体地位,从例题到变式训练,从新课导入到课堂小结,都注意了学生的主动思维活动,充分让学生占据思维的时空,这是提高学生思维能力的有效良方.
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法
设a1,a2,a3,…,an为正实数,这n个数的算术平均值记为A,几何平均值记为G,即A=a1+a2+…+
ann,G=na1a2…an,即A≥G,当且仅当a1=a2=…=an时,A=G.特别地,当n=2时,a+b2≥ab;当n=3时,a+b+c3≥3abc.
用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性,设0<a1≤a2≤…≤an,易证a1<A<an,且a1<G<an.在这n个数中去掉一个最小数a1,将a1换成A,再去掉一个最大数an,将an换成a1+an-A,其余各数不变,于是得到第二组正数:
A,a2,a3,…,an-1,a1+an-A.这一代换具有下列性质:
①两组数的算术平均值不变,设第二组数的算术平均值为A1,那么A1=A+a2+a3+…+an-1+a1+an-An=A,②第二组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1,则G1=nAa2a3…an-1a1+an-A,
∵A-a1an=,由a1<A<an,得>0,则A>a1an.∴Aa2a3…an-1>a1a2…an-1̶