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02第二章极限与连续
第二章极限与连续
一、本章提要
1.基本概念
函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.
2.基本公式
（1）
，
（2）
（
代表同一变量）.
3.基本方法
⑴利用函数的连续性求极限；
⑵利用四则运算法则求极限；
⑶利用两个重要极限求极限；
⑷利用无穷小替换定理求极限；
⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求
形式的极限；
⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求
形式的极限；
⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.
4.定理
左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.
二、要点解析
问题1如果
存在，那么函数
在点
处是否一定有定义?
解析
存在与
在
处是否有定义无关．例如
，而
=
在
处无定义；又如
，而
在
处有定义.所以，
存在，不一定有
在
点有定义.
问题2若
存在，那么
和
是否一定存在？
是否一定有
·
=
·
？
解析
·
存在，并不能保证
与
均存在.例如
，而
不存在.又因为只有在
与
均存在的条件下，才有
·
=
·
所以
·
存在，不能保证
·
=
·
．
问题3
是否正确，为什么?
解析不正确.尽管
，而
.
这说明,
时，
不是无穷大.
三、例题精解
例1求下列极限:
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
.0
解
（1）由于讨论函数
在
处有定义，而且在
处连续，所以有
．
（2）
（这是
型，设法将其化为
）
．
（3）
（这是
型未定式）
（分子、分母均含非零因子
）
．
（4）
．
需要注意，
是由于
为
时的无穷小量，
≤1，即
为有界函数，所以
为
时的无穷小.
（函数符号与极限符号交换）
（分子有理化）
．
（6）
（适当变形）
（利用商的极限公式）
（利用重要极限
）
例2 设
问
为何值时
存在，并求此极限值.
解对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限.
，
．
为使
存在，必须
.
因此，
时，
存在且
．
例3设
问当
为何值时，
是
的间断点?
是什么间断点?
解
，
，
当
，亦即
时，
是
的间断点；由于
为大于0的实数，故
均存在，只是
，故
为
的跳跃间断点.
例4已知
，求
的值.
解因为
，
由有理函数的极限知，上式成立，必须有
和
的系数等于0,即
，于是
.
四、练习题
1判断正误
⑴若函数
在
处极限存在，则
在
处连续.（×）
解析函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．如函数
，即函数
在
处极限存在；但
，所以函数
在
处不连续．
⑵分段函数必有间断点.（×）
解析分段函数不一定有间断点．如函数
是分段函数，
，
，所以
；又因为
，即
，所以函数
在
处连续，无间断点．
⑶
与
是
时的等价无穷小.（√）
解析
，由等价无穷小的定义，
与
是
时的等价无穷小．
⑷无界函数不一定是无穷大量.（√）
解析无穷大必无界，但反之不真．如函数
，当
时是无界函数；但若取
，
（
）时
，不是无穷大量．
2.选择题
⑴下列极限存在的是（B）
（A）
;（B）
;（C）
; （D）
.
解析（A）
，
，所以
不存在；
（B）
，极限存在；
（C）
，所以
不存在；
（D）
时，
，
，所以
不存在．
⑵已知
则常数
（C）.
（A）1； （B）5； （C）6； （D）-1.
解析
，所以
．
⑶
在
处（C）.
（A）有定义； （B）极限存在； （C）左极限存在； （D）右极限存在.
解析因
，在
处无定义，
，即
在
处左极限存在，
，即
在
处右极限不存在，
由极限存在的充要条件，可知函数
在
处的极限不存在．
⑷当
时，
（D）.
（A）有最大值与最小值; （B）有最大值无最小值;
（C）无最大值有最小值; （D）无最大值无最小值.
解析
在
上是连续函数，图形如下：
所以当
时，
无最大值与最小值．
3.填空题
（1）已知
为常数，
，则
0，
6；
解
时极限值存在且值为3，则分子、分母
的最高次幂应相同，所以
，
那么
，所以
．
（2）
的连续区间是
；
解由
，知函数
的定义区间为
．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以
的连续区间是
．
（3）
是
的可去间断点;
解
时，函数
无定义，但
，极限存在，所以
是
的可去间断点．
（4）若
（
为常数），则
．
解由复合函数求极限的方法，
．
4.解答题
⑴
；
解一
．
解二无穷小量的等价代换，由于
时，
，
所以
．
⑵设
，求
；
解 由无穷小量的等价代换，
即
时，
，
所以
．
⑶
；
解
时，
是无穷小量，
是有界变量．
因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以
．
⑷设
试讨论
在
处的连续性，写出
的连续区间；
解
，
，所以
．
且
，即
，所以函数
在
处连续．
又因为当
时函数
连续，当
时函数
也连续，所以函数
的连续区间为
．
⑸设
求
并问
在
处是否连续；
解
，
，所以
．
且
，即
，所以函数
在
处连续．
⑹讨论
的间断点；
解
时，函数无定义，所以
为函数的间断点．
因为
，
，
即
，所以
为函数
的跳跃间断点．
（7）求
；
解由无穷小量的等价代换，
时，
所以
．
（8）试证方程
至少有一个根介于1和2之间.
证设函数
，则
在
上连续，且
，
，即区间端点函数值异号．由根的存在定理，至少存在一点
使得
，即方程
至少有一个根介于1和2之间．
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