1、02第二章 极限与连续 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限,左极限,右极限,数列的极限,无穷小量,无穷大量,等价无穷小,在一点连续,连续函数,间断点,第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点),第二类间断点. 2.基本公式 (1) , (2) (代表同一变量). 3.基本方法 利用函数的连续性求极限; 利用四则运算法则求极限; 利用两个重要极限求极限; 利用无穷小替换定理求极限; 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限; 利用分子,分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限; 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限; 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小
2、量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系,单调有界原理,夹逼准则,极限的惟一性,极限的保号性,极限的四则运算法则,极限与无穷小的关系,无穷小的运算性质,无穷小的替换定理,无穷小与无穷大的关系,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质. 二、要点解析 问题1 如果 存在,那么函数在点处是否一定有定义? 解析 存在与在处是否有定义无关例如,而 =在处无定义;又如,而在处有定义.所以,存在,不一定有在点有定义. 问题2 若存在,那么和是否一定存在?是否一定有=? 解析 存在,并不能保证与均存在.例如,而不存在.又因为只有在与均存在的条件下,才有=,所以存在,不能保证= 问题3 是否正确,为什么?
3、 解析 不正确.尽管,而. 这说明,时,不是无穷大. 三、例题精解 例1 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) .0 解 (1)由于讨论函数在处有定义,而且在处连续,所以有 (2) (这是型,设法将其化为) (3) (这是型未定式) (分子、分母均含非零因子) (4) 需要注意,是由于为时的无穷小量,1,即为有界函数,所以为时的无穷小. (函数符号与极限符号交换) (分子有理化) (6) (适当变形) (利用商的极限公式) (利用重要极限) 例2设 问为何值时存在,并求此极限值. 解 对于分段函数,讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同
4、,所以,一般先求它的左、右极限. , 为使存在,必须. 因此,时,存在且 例3 设 问当为何值时,是的间断点? 是什么间断点? 解 , , 当,亦即时,是的间断点;由于为大于0的实数,故均存在,只是,故为的跳跃间断点. 例 4 已知 ,求的值. 解 因为 , 由有理函数的极限知,上式成立,必须有和的系数等于0,即,于是. 四、练习题 1判断正误 若函数在处极限存在,则在处连续. ( ) 解析 函数在一点连续,要求函数在该点极限存在,且极限值等于该点函数值如函数,即函数在处极限存在;但,所以函数 在处不连续 分段函数必有间断点. ( ) 解析 分段函数不一定有间断点如函数是分段函数,所以;又因为
5、,即,所以函数在处连续,无间断点 与是时的等价无穷小. ( ) 解析 ,由等价无穷小的定义,与是时的等价无穷小 无界函数不一定是无穷大量. ( ) 解析 无穷大必无界,但反之不真如函数,当时是无界函数;但若取,()时,不是无穷大量 2.选择题 下列极限存在的是( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 解析 (A), 所以不存在; (B) ,极限存在; (C),所以不存在; (D)时, ,所以不存在 已知,则常数( C ). (A) 1; (B) 5 ; (C) 6 ; (D) -1. 解析 ,所以 在处 ( C ). (A) 有定义; (B) 极限存在; (C) 左极限存在;
6、 (D) 右极限存在. 解析 因,在处无定义, ,即在处左极限存在, ,即在处右极限不存在, 由极限存在的充要条件,可知函数在处的极限不存在 当时, ( D ). (A)有最大值与最小值; (B)有最大值无最小值; (C)无最大值有最小值; (D)无最大值无最小值. 解析 在上是连续函数,图形如下: 所以当时,无最大值与最小值 3.填空题 (1)已知为常数,则 0 , 6 ; 解 时极限值存在且值为3,则分子、分母的最高次幂应相同,所以, 那么 ,所以 (2)的连续区间是; 解 由,知函数的定义区间为又因为初等函数在其定义区间上连续,所以的连续区间是 (3)是的 可去 间断点; 解 时,函数无
7、定义,但,极限存在,所以是的可去间断点 (4)若(为常数),则 解 由复合函数求极限的方法, 4.解答题 ; 解一 解二 无穷小量的等价代换,由于时, 所以 设,求 ; 解 由无穷小量的等价代换,即时, 所以 ; 解 时,是无穷小量,是有界变量 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,所以 设试讨论在处的连续性,写出的连续区间; 解 ,所以 且,即,所以函数在处连续 又因为当时函数连续,当时函数也连续,所以函数的连续区间为 设求,并问在处是否连续; 解 , ,所以 且,即,所以函数在处连续 讨论的间断点; 解 时,函数无定义,所以为函数的间断点 因为 , 即,所以为函数的跳跃间断点 (7) 求; 解 由无穷小量的等价代换,时, 所以 (8) 试证方程至少有一个根介于1和2之间. 证 设函数,则在上连续,且,即区间端点函数值异号由根的存在定理,至少存在一点使得,即方程至少有一个根介于1和2之间
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