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应力状态强度理论
第八章应力状态强度理论
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
点的应力状态、应力圆、主平面、主应力、主方向、最大剪应力。
以上概念是进行应力应变分析以及强度计算的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。
1.2二向应力状态的解析法与图解法
实际工程中的许多问题，可以简化成二向应力状态问题，建议熟练掌握二向应力状态解析法和图解法。
在学习该知识点时，应注意以下几点：
（1）单元体平衡，则单元体中任取出的一部分在所有力的作用下也平衡；
（2）过一点相互垂直两平面上有
主应力和最大剪应力间
请注意理解以上各式所代表的物理意义。
（3）主要公式：
任意斜截面应力、主应力、主平面、最大剪应力及其作用平面，详见教材。
上述公式建议熟记。
（4）应用图解法时注意以下对应关系
应力：
圆上一点，体上一面；直径两端，垂直两面。
夹角：
圆上半径，体上法线；转向一致，转角两倍。
1.3三向应力状态的最大剪应力
无论是三向应力状态，还是做为特例的二向应力状态或单向应力状态，都是用如下公式计算最大剪应力
在二向应力状态下，垂直于主应力为零的主平面的那一组平面中，剪应力的最大值，称为面内最大剪应力。
可用公式
计算。
1.4广义胡克定律
在比例极限范围内，变形非常小。
线应变只与正应力有关，与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，与正应力无关。
换言之，正应力与剪应力、线应变与剪应变，彼此间互不影响。
1.5常用的四种强度理论及其应用
（1）当应力状态较复杂时，材料的失效，不仅与各个主应力的大小有关，而且与它们的比值有关。
实际杆件受力多种多样，其主应力比值也各不相同，若通过实验，寻找各种主应力比值下，失效时的主应力值，建立失效准则，需要进行大量的实验。
这样做，不但不经济，而且，对于某些应力状态（例如：
三向等拉）进行失效实验时，在技术上也是难以实现的。
对于复杂应力状态，通常的做法是：
在有限的实验结果基础上，对失效现象加以总结，寻找失效规律，从而提出关于材料失效原因的假说，一般地，无论什么材料，无论何种应力状态，只要失效形式相同，便假设具有共同的失效原因。
这样就可应用一些简单实验结果，预测材料在各种不同应力状态下何时失效，建立材料在复杂应力状态下的失效准则（判据）和相应的设计准则。
（2）主要公式：
常用四种强度理论所对应的强度条件，详见教材。
2重点与难点及解析方法
2.1二向应力状态分析的解析法
二向应力状态分析是建立复杂应力状态下强度理论、强度条件的基础。
解析方法：
（1）任意斜截面上应力：
首先根据已知条件，判断单元体上已知的两相互垂直平面上正应力及剪应力的正负、所求任意截面的方位角，然后代入斜截面应力计算公式，计算所求截面的正应力及剪应力，并根据计算结果将其标在单元体上。
（1）主应力：
首先根据已知条件，判断单元体上已知的两相互垂直平面上正应力及剪应力的正负，然后代入主应力及其方位角计算公式，计算单元体的主应力及其方位角，并根据计算结果将主应力标在单元体上。
2.2广义胡克定律
在线弹性范围内，广义胡克定律是联系力和变形的重要定律。
解析方法：
在线弹性范围内，当已知力求变形或已知变形求力时，常常会用到胡克定律，在应用胡克定律时，首先需要判断所研究的问题是单向应力状态还是复杂应力状态，并据此采用单向应力状态下的胡克定律，或复杂应力状态下的胡克定律。
2.3常用的四种强度理论及应用
进行复杂应力状态下强度分析的理论依据。
解析方法：
构件受力变形后，若危险点处于复杂应力状态，需用强度理论进行强度分析和计算。
脆性材料采用第一、第二强度理论，塑性材料采用第三、第四强度理论。
3典型问题解析
3.1二向应力状态分析的解析法
例题8.1：
梁横截面上的内力为M、Fs，如图8－1（a）所示，试用单元体表示截面上点1、2、3、4的应力状态。
[解]
点1
所以
点2
图8－1（a）
点3
σ2=0
点4
所以
点1、2、3、4的单元体及主应力主平面如图8－1（b）所示。
图8－1（b）
解题指导：
一点的应力状态可用单元体描述。
在取初始单元体时，应选择能够确定其应力的截面方位，如横截面。
例题8.2：
单元体如图8－2（a）所示。
求指定截面上的正应力和剪应力、单元体的主应力、主平面，将主应力标在主平面上。
应力单位：
MPa。
[解]
1.确定已知相互垂直截面上正应力及剪应力的符号：
图8－2（b）
图8－2（a）
σx=－20σy=30τxy=20α=300
2.计算300斜截面上的正应力、切应力：
代入斜截面应力计算公式
由上述计算结果将σα、τα标在单元体上,如图8－1（b）。
3.确定主应力：
主应力大小：
由上述计算结果，按代数值大小确定三个主应力数值：
σ1=37σ2=0σ3=－27
主平面方位：
α0＝19.30α0+900＝109.30
将主应力、主平面标在单元体上，如图图8－1（c）所示。
图8－2（c）
解题指导：
1．在实际工程中，当受力比较复杂时，强度计算中
遇到的危险点经常是处于复杂应力状态，将涉及危险点主应力计算及主平面方位的确定。
所以，在此提醒读者注意，熟练掌握二向应力状态时，确定主应力及主平面方位的公式和方法。
2．主应力σ1作用平面的确定：
方法一：
（1）σx、σy中代数值最大的应力，与σ1的夹角一定小于450；
方法二：
（2）根据单元体在剪切力作用下的变形趋势确定。
例题8.3矩形截面简支梁如图8－3（a）所示,在跨中作用有集中力FP=100kN。
若L=2m,b=200mm,h=600mm。
试求：
距离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
[解]
1.选取初始单元体
简支梁在外载荷作用下发生弯曲变形，可首先根据弯曲时横截面上正应力、切应力表达式，计算L/4处截面上C点的正应力、切应力：
该截面的弯矩和剪力分别为
所以，该截面C点的正应力、切应力分别为
选择横截面及与之垂直的水平面、铅垂面，得C点初始单元体如图8－3（b）所示。
2．计算指定斜截面上的应力
对于图8－3（b）所示单元体
根据上述计算结果，将斜截面上的正应力、切应力标在单元体上，如图8－3（c）所示。
解题指导：
初始单元体一般选择横截面及与之垂直的水平面、铅垂面。
3.2广义虎克定律
例题8.4：
图8－4（a）所示结构，已知E、μ，现测得K点与轴线成450方向上的应变为ε，试确定梁上的荷重FP。
（设工字钢型号已知）
图8－4
[解]
1.分析K点的应力状态
在外载荷作用下，梁发生弯曲变形，剪力图如图图8－4（a）所示。
K点位于截面中性轴上，由弯曲时截面上应力的分布特点可知，K点处正应力为零，只有切应力，处于纯剪切状态。
K点横截面上切应力方向，与该截面剪力方向一致，K点初始单元体如图8－4（b）所示，而且
则K点的三个主应力分别为σ1＝τ、σ2＝0、σ3＝－τ，如图8－4（c）所示。
2.确定梁上的荷重FP
由图8－4（c）所示单元体可知：
K点与轴线成450方向上的应变，是最小主应变为ε3，代入广义胡克定律
将
代入上式，即可求出载荷FP，略。
解题指导：
在线弹性范围内，当已知变形求力或已知力求变形时，都会用到胡克定律，在应用该定律时，要注意判断危险点是单向应力状态还是复杂应力状态，并应用相应的公式。
3.3常用的四种强度理论及应用
例题8.5：
工字形截面梁受力如图8－5（a）所示，已知梁的[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。
试按第三强度理论选择工字钢型号。
图8－5（a）
[解]
1.作Fs、M图：
梁弯曲后的Fs、M图如图8－5（a）所示，由Fs、M图可知：
梁上B、C截面为危险截面，Fsmax=20kN、Mmax＝84kNm。
2.选择工字钢型号：
由弯曲时危险截面上正应力、切应力分布规律可知，危险截面上可能的危险点分别为a、b、c点，见图8－5（a）。
b点是全梁正应力最大的地方，其切应力为零。
由正应力强度条件：
可得
查型钢表，取28b工字钢。
a点是全梁切应力最大的地方，其正应力为零，需校核该点的剪应力强度：
c点是腹板与翼缘交界处，同时存在正应力和切应力，且正应力和切应力的数值分别接近全梁正应力最大值和全梁切应力最大值，处于二向应力状态：
图8－5（b）
c点初始单元体如图8－5（b）所示。
用第三强度理论进行强度校核：
不安全
3.选择截面尺寸更大的工字钢进一步试算，略。
解题指导：
由例题8.5可知：
利用强度理论，能够对构件进行全面的强度计算。
例题8.5是强度计算中较复杂的情况，涉及了强度计算中可能遇到的三类危险点：
第一类：
正应力最大点，如例题8.5中B截面上的b点，通常切应力为零，处于单向应力状态；
第二类：
剪应力最大点，如例题8.5中B截面上的a点，通常正应力为零，处于纯剪切状态；
第三类：
正应力、剪应力都较大的点，如例题8.5中B截面上的c点，处于复杂应力状态，需用强度理论进行相应的强度计算。
今后，在遇到强度计算问题时，应首先根据已知条件从以上三方面考虑，判断危险点的应力状态类型，才能使问题得到正确的求解。
4自我测试
1.在下列关于单元体的说法中，正确的：
（A）单元体的形状变必须是正六面体。
（B）单元体的各个面必须包含一对横截面。
（C）单元体的各个面中必须有一对平行面。
（D）单元体的三维尺寸必须为无穷小。
正确答案是。
2.过受力构件内的任意一点，随着所取截面的方位不同，一般来说，各个面上的：
（A）正应力相同，剪应力不同。
（B）正应力不同，剪应力相同。
（C）正应力和剪应力均相同。
（D）正应力和剪应力均不同。
正确答案是。
3.在单元体上，可以认为：
（A）每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等；
（B）每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力不等；
（C）每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力相等；
（D）每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力不等。
正确答案是。
4.在滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点处的应力状态，正确的说法是：
（A）纯剪切；（B）单向；（C）二向；（D）三向。
正确答案是。
5.受内压作用的封闭薄圆筒，在通过其内壁任意一点的纵、横面中
（A）纵、横两截面都不是主平面；（B）横截面是主平面，纵截面不是；
（C）纵、横两截面都是主平面；（D）纵截面是主平面，横截面不是。
正确答案是。
6.厚壁玻璃杯注入沸水，其内外壁任一点处的应力壮态：
（A）分别是单向拉伸和单向压缩；（B）分别是单向压缩和单向拉伸；
（C）均是单向拉伸；（D）均是单向压缩。
正确答案是。
7.研究一点应力状态的任务是
（A）了解不同横截面的应力变化情况；
（B）了解横截面上的应力随外力的变化情况；
（C）找出同一截面上应力变化的规律；
（D）找出一点在不同方向截面上的应力变化规律。
正确答案是。
8.微元受力如图8－5所示，图中应力单位为MPa。
试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
正确答案是。
图8－5
9.单元体斜截面应力公式σa=（σx＋σy）/2+（σx-σy）cos2а/2-τxysin2а和
τa=（σx-σy）sin2a/2+τxycos2а的适用范围是：
（A）材料是线弹性的；（B）平面应力状态；
（C）材料是各向同性的；（D）三向应力状态。
正确答案是。
10.在单元体的主平面上，
（A）正应力一定最大；（B）正应力一定为零；
（C）剪应力一定最小；（D）剪应力一定为零。
正确答案是。
11.任一单元体，
（A）在最大正应力作用面上，剪应力为零；
（B）在最小正应力作用面上，剪应力最大；
（C）在最大剪应力作用面上，正应力为零；
（D）在最小剪应力作用面上，正应力最大。
正确答案是。
12.若单元体的主应力σ1>σ2>σ3>0，则其内最大剪应力为
（A）τmax＝（σ1－σ2）/2；（B）τmax＝（σ2－σ3）/2；
（C）τmax＝（σ1－σ3）/2；（D）τmax＝σ1/2。
正确答案是。
σ2
13.对于图8－6所示的应力状态（
），最大切应力作用面有以下四种，试选择哪一种是正确的。
（A）平行于
的面，其法线与
夹
角；
σ1
（B）平行于
的面，其法线与
夹
角；
（C）垂直于
和
作用线组成平面的面，其法线与
夹
角；
图8－6
（D）垂直于
和
作用线组成平面的面，其法线与
夹
角。
正确答案是。
14.当三向应力圆成为一个圆时，则主应力情况一定是
（A）σ1＝σ2；（B）σ2＝σ3；（C）σ1＝σ3；（D）σ1＝σ2或σ2＝σ3。
正确答案是。
15.在某单元体上叠加一个纯剪切应力状态后，下列物理量中哪个一定不变。
（A）最大正应力；（B）最大剪应力；
（C）体积改变比能；（D）形状改变比能。
正确答案是。
图8－7
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
16.低碳钢构件的危险点的应力状态有图8－7所示四种情况，图示σ、τ各数值相同。
（A）四种情况安全性相同；
（B）四种情况安全性各不相同；
（C）a与c相同，b与d相同，但a、c与b、d不同；
（D）a与b相同，c与d相同，但a、b与c、d不同。
正确答案是。
17.铸铁构件的危险点的应力状态有图8－8所示四种情况：
图8－8
（A）四种情况安全性相同；
（B）四种情况安全性各不相同；
（C）a与b相同，c与d相同，但a、b与c、d不同；
（D）a与c相同，b与d相同，但a、c与b、d不同。
正确答案是。
18.对于图8－9所示单元体（应力单位为ＭＰａ），讨论其应力状态的分类：
图8－9
（Ａ）因该单元体不为零的主应力为
，所以是二向应力状态；
（Ｂ）因实际上该单元体的应力图只有一个，所以是单向应力状态；
（Ｃ）因三个互垂的面上都有不为零的应力，所以是三向应力状态；
（Ｄ）该单元体为三向应力状态，且有无数个主平面。
正确答案是。
19.比较图8－10所示四个材料相同的单元体的体积应变（
）：
图8－10
σ1=σ2=45MPa
σ3=0
σ1=90MPa
σ2=σ3=0
σ1=45MPa
σ2=35MPa
σ3=10MPa
σ1=σ2=σ3=30MPa
σ2
σ2
σ1
σ2
σ1
σ1
σ2
σ3
σ3
σ3
σ3
σ1
（A）四个θ均相同； （B）四个θ均不同；
（C）仅（ａ）与（ｂ）θ相同； （D）（c）与（d）θ肯定不同。
正确答案是。
20.通过大量工程实践和实验，总结出材料破坏的下述结论，错误的结论是：
（A）不同的材料，只要应力状态相同，破坏形式就一定相同；
（B）相同的材料，在不同的应力状态下，可有不同的破坏形式；
（C）不同的材料，在相同的应力状态下，可有不同的破坏形式；
（D）相同的材料，应力状态又相同，破坏形式必定相同。
正确答案是。
21.图8－11所示具有刚性端封板的薄壁圆柱体，是由长矩形板绕成圆柱形后，焊接成形的。
螺旋线和柱壳母线间的夹角为350。
圆柱壳的平均直径为40cm，壁厚0.5cm，内部压力4MPa。
忽略端封板的局部效应，试求作用在圆柱曲面螺旋焊缝上的正应力和剪应力。
图8－11
图8－12
22.图8－12所示受扭转的圆轴,直径d=2cm,μ=0.3,材料E=200GPa,现用变形仪测得圆轴表面与轴线450方向上的应变ε450=5.2×10-4。
试求：
轴上的me。
自我测试答案
1（D）
2（D）
3（A）
4（D）
5（C）
6（B）
7（D）
8（D）
9（B）
10（D）
11（A）
12（A）
13（C）
14（D）
15（C）
16（A）
17（C）
18（C）
19（A）
20（A）
21.如图8－13
图8－13
22.解
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