数论综合1.docx
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数论综合1
数论
（一）
奇偶性知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义：
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质：
性质1：
偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：
偶数±奇数=奇数
性质3：
偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：
奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：
偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
性质6：
在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
性质7：
对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶
性质8：
奇数的平方可以写作4k+1，偶数的平方可以写作4k
数的整除是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
一、常见数字的整除判定方法
1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2.一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱（a±b）．
性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a．
例如：
如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×4）∣12．
性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；
位值和进制是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理
位值原理的定义：
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：
以六位数为例：
=a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：
（100110）2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：
零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：
对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：
n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：
如右图所示。
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10
是否存在自然数a和b，使得ab（a＋b）=115?
桌面上放着5个杯子，杯口都向下倒扣在桌面上，如果翻动一次，杯口便朝上，现在如果翻动5个杯子的总数可以为任意偶数次，且一个杯子可以翻动的次数不做限制，那么可否将5个倒扣在桌面上的杯子都杯口朝上呢？
（握手模型1）一次会议，与会者相互握手，问握奇数次手的人有奇数个还是偶数个？
为什么？
（握手问题2）王先生带着妻子去参加新年舞会，共有5对夫妇参加，舞会结束，大家握手告别（夫妻之间不握手），出门后，王先生的妻子对王先生说：
“我发现除了你，我们其他人的握手次数都不一样。
”我先生眼珠转了两圈说；“嘿嘿，我知道你握了（）次手。
“噢！
你猜对了。
”王夫人惊讶的喊道
在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：
这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．
红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。
问：
红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？
从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
173□是个四位数字。
数学老师说：
“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
”问：
数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？
已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。
有15位同学，每位同学都有编号，他们是l号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号说：
“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：
只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．那么：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．
a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？
如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加
，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。
又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：
再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
计算：
①（234）
+（656）
；②（111001）2×（1011）2
二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，问在天平上能称多少种不同重量的物体？
在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?
数论
（二）
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
一、质数与合数的基本概念
1.质数：
一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数
2.合数：
一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数
3.质因数：
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
二、质数和合数的一些性质和常用结论
1.0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，
即，0和1，质数，合数。
2.最小的质数是2，最小的合数是4。
3.常用的100以内的质数：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97
其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为
1，3，7，9
4.部分特殊数的分解：
5.质数的判定方法
判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。
例如：
判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。
251÷2=125…1,251÷3=83…2,251÷5=50…1,251÷7=35…6，…,251÷17=14…13，
此时除数17＞商14，由此说明251是质数。
6.互质的概念
N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。
对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.
一、最大公约数与最小公倍数的常用性质
（1）两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若
那么
，如右图。
（2）两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
（3）对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：
，210就是567的最小公倍数
b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：
，而6,7,8的最小公倍数为
二、约数个数与所有约数的和
（1）求任一整数约数的个数：
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积。
如:
1400严格分解质因数之后为
，所以它的约数有（3+1）×（2+1）×（1+1）=4×3×2=24个。
（包括1和1400本身）
（2）求任一整数的所有约数的和：
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：
，所以21000所有约数的和为
三、完全平方数常用性质
1.主要性质
●完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数
，则p能被
整除。
2.一些推论
●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：
00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
●完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
●完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
●凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾
平方差公式：
把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？
用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?
在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?
已知P,Q都是质数，并且
，则
=?
一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是。
甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，求甲与乙的和.
3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?
设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？
在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？
10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
数论（三）
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！
”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
（1）当
时：
我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
（2）当
时：
我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
二、三大余数定理
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以
除以5的余数等于
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，所以
除以5的余数等于
除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm），左边的式子叫做同余式。
同余式读作：
a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：
如果有a≡b（modm），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）
三.弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：
检验算式
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：
弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：
检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理
1.中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：
“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
”答曰：
“二十三。
”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：
假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：
因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法：
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由
，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数
是否可以，很显然70除以3余1
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算
得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.
数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。
主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题
一、数字迷加减法
（1）个位数字分析法（如图）
加法各位数规律；
减法个位数规律；
乘法个位数规律；
（2）加减法中的进位与错位
（3）奇偶性分析法
二、数字迷乘除法
（1）解题方法：
数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质
三、数阵图
1、从整体和局部两种方向入手，单和与总和
2、区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）
3、在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些
关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围
4、运用已经得到的信息进行尝试（试数）
一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
有一个两位整数，除39，51，147所得的余数都相同，求这个数。
求478×296×351除以17的余数。
有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?
有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?
某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是什么数?
若有一数介于300与400之间，以
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