平行四边形.docx

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平行四边形

5.1平行四边形的性质（第1课时）

数学图形与日常生活有着千丝万缕的联系，你观察到了吗？

学习目标：

1.掌握并理解平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证。

学习重点：

平行四边形的定义以及平行四边形的性质。

学习难点：

探索和掌握平行四边形的性质。

学案使用说明：

本节课由学生独立思考、小组交流、合作完成，教师点拨归纳；课堂上组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.

教学过程：

（一）创设情境，导入新课

1、请同学们欣赏一组日常生活中常见的图片，你能观察到图片中有我们学过的哪些四边形？

2、填一填

①观察下列图形，说出它们的边的位置有什么特征？

（1）中的四边形的两组对边都不；

（2）中的四边形一组对边，另一组对边，这种四边形叫；（3）中的四边形两组对边都分别，这种四边形叫。

②

（1）根据上述观察，请你用文字语言给平行四边形下个定义：

。

3、对角线的定义：

平行四边形两个顶点连成的叫做它的对角线

请你用数学几何语言给平行四边形下个定义：

∵∥,∥

∴四边形ABCD是平行四边形

④平行四边形的数学符号是“”，平行四边形ABCD可以记作：

。

注意：

一般按一定的方向依次写出各顶点字母

⑤如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，邻角有_____组分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。

二、自主探究、合作交流

拿出你准备的两个一样的口ABCD，作出两条对角线交于点O，将其中一个“□ABCD”绕点O旋转180°，然后重合在一起，仔细观察完成下列各题：

旋转180°后你发现了什么？

由此，你能得出平行四边形的一些性质吗？

概括平行四边形的性质（特征）：

（1）对称性：

平行四边形是对称图形，两条对角线的交点是它的

（2）角：

（1）∠A与∠重合，∠B与∠重合，因此：

∠A=∠，∠B=∠。

即：

平行四边形的相等

（3）边：

AB与重合，BC与重合，因此：

AB=,BC=。

即：

平行四边形的相等

证一证：

猜想不一定正确，因而，我们需推理证明猜想的正确性，你能完成证明吗？

已知：

如图，在ABCD中

求证：

AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D

证明：

归纳出平行四边形的性质：

文字叙述

几何表示

边

平行四边形的对边平行

AB∥CD，AD∥BC

∵四边形ABCD是平行四边形

角

思考：

1、平行四边形的邻角是什么关系？

你能证明吗？

四、应用新知，拓展提升

1、学以致用

1、ABCD中∠A=50°，则∠B=____∠C=若AD+BC=30cm,ABCD的周长是96cm,则AB=,BC=_____.

2、ABCD,若∠A:

∠B=5:

4，则∠C=___,∠D=。

3、ABCD的周长为40cm，⊿ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（）

A、5cmB、15cmC、6cmD、16cm

4、如图已知ABCD中，AD=3,BD⊥AD,且BD=4,你能求出平行四边形的周长吗?

5、如图，在□ABCD中,AB=5cm,AD=7cm，∠B的平分线交AD于E，∠C的平分线交AD于F，那么AF=，EF=，ED=；若∠A=50°，∠AEB=______.

2、典例示范

已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，并且AE=CF.

求证：

BE=DF

3、变式训练

已知：

如图，在平行四边形ABCD中E,F是BC和AD上的点，且BE=DF.求证:

AE=CF

五、课堂小结：

本节课你有什么收获？

六、课堂检测

必做1、在口ABCD中，已知一个内角的度数是60°，则其余三个内角的度数分别为：

____

2、□ABCD中，如果∠A的外角是50°，那么平行四边形的每个内角是多少度？

3、若□ABCD的周长是30㎝，AB：

CB=3：

2，则AD=㎝，CD=㎝

选做：

5.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？

为什么？

5.1平行四边形及其性质导学案（第2课时）

学习目标：

1、经历探索“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的过程，发展探究意识。

2、掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质定理

3、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．

重点难点：

运用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质解决简单的问题

课前预习案：

1、平行四边形的对角线互相。

2、平行四边形的对角线把平行四边形分成的4个小三角形的面积。

3、如图所示，在

ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）

A.AC⊥BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD

复习导入：

1、什么是平行四边形？

2、我们回忆一下,平行四边形有哪些性质?

3、除了这些性质以外,平行四边形还有没有其他的性质呢?

这节课我们继续探究平行四边形的性质。

课内探究案：

（一）探索平行四边形的性质（小组合作）

（1）剪一张平行四边形纸片，记为

ABCD，连接AC、BD，交于点O，如上图，观察猜想

（2）沿对角线AC与BD将平行四边形纸片剪成△AOB、△BOC、△COD和△DOA,你发现它们中哪些是全等三角形？

（3）由

（2）你发现在两条对角线被点O分成的四条线段中，哪些是相等的线段？

。

如何用逻辑推理的形式证明你的结论？

能先说说证题思路吗？

（4）写出已知、求证和证明过程。

已知：

求证：

证明：

由以上探索和证明，我们得到平行四边形的性质定理3：

。

请你把上述性质用几何语言描述出来

∵四边形ABCD为

∴=

=

（5）、经过上面的学习，你现在能总结出平行四边形的性质吗？

（1）对边：

（2）对角：

（3）对角线

（二）应用：

你会用平行四边形的性质解决问题吗？

试一试

例一：

如图，

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线，分别交AB、CD于点E、F．

求证：

OE＝OF

一变：

若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否还成立？

说明你的理由．

二变：

若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

证明：

证明：

由此，你能得出一个怎样的结论？

（三）巩固训练：

1、在

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CD＝6,AC＝8，BD＝12，求△AOB的周长。

2、在

ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的取值范围是________．

（四）课堂小结：

本节课你有哪些收获？

当堂达标检测：

1、在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.

（1）指出图中的全等三角形

（2）求证：

OF=OE

5.1平行四边形的性质导学案（第３课时）

寄语:

时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来。

学习目标

1、理解平行线之间的距离的概念．

2、通过实例认识“平行线之间的距离”

3、探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质。

教学重点：

理解平行线之间的距离的概念，其实就是转化为点到直线的距离问题。

教学难点：

两条平行线之间的距离的应用

课前尝试：

1．两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离_______．这个距离叫做________________的距离．

2．已知直线a∥b，A，B是直线a上不同的两点，已知点A到直线b的距离为5cm，那么点B到直线b的距离是______________cm．

3．如图，已知直线m∥n，A，B分别是直线m上的两点，请分别过点A，B作直线n的垂线段，并比较它们的大小．

教学过程：

一、探究问题形成概念

1、两点之间的距离是

2、两条平行线之间的距离

在直线a上仅取二点A、C，过A作AB⊥b于B，

过C作CD⊥b于D，测量AB、CD的长度关系

3、由上请学生总结，老师修正得到一个结论：

两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。

4、得到平行线之间的距离的定义：

5、请学生测量数学本子中两条平行线之间的距离，边总结方法：

在一条直线上任意取一点A，并过A作另一条直线的垂线段AB

量出AB的距离

６、求证：

夹在两条平行线之间的平行线段一定相等。

二、应用：

典型例题1如图，直线AB与CD不平行，点M在AB上，MN⊥CD于N．则下列4个判断中，正确的判断有_______.

（1）线段NM的长度是直线AB，CD之间的距离；

（2）线段NM的长度是点M到直线CD的距离；

（3）线段MN的长度是点N到直线AB的距离；

（4）线段MN是点M与点N之间的距离．

巩固练习1如图，在面积为12cm2的长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则AD与BC之间的距离为（）

A．3cmB．4cmC．6cmD．不能确定

典型例题2已知平行四边形ABCD，AB＝８ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，∠B＝３０°

　　　　　求：

平行四边形ＡＢＣＤ的面积。

巩固练习2如图，AD∥BC，AD=BC，E是AD上任意一点，已知S△EBC=5．求：

四边形ABCD的面积．

巩固练习３如图，已知直线l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，则△ACD与△BCD的面积相等吗?

请说明理由．

课堂检测：

１、．两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是________________________________.

２．如图，已知平行四边形ABCD的周长为25cm，对边的距离分别为DE=2cm，DF=3cm．求：

这个平行四边形的面积．

平行四边形的判定

（1）

一、教学目标：

1、明确平行四边形的判定方法。

2、能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。

二、教学重点：

平行四边形的判定方法。

教学难点：

平行四边形的判定条件和方法的寻找。

三．教学过程：

（一）复习导入

1、平行四边形的定义：

两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

-------定义就是平行四边形的一种判定方法

用几何语言表示：

∵_________//___________

_________//____________

∴四边形ABCD是____________

2、平行四边形的性质：

（1）边的性质：

平行四边形的对边；

几何语言：

在

中，ADBC，ABDC；

（2）角的性质：

平行四边形的对角；

几何语言：

在

中，∠A=，∠B=；

（3）对角线的性质：

平行四边形的对角线；

几何语言：

在

中，OA==

；OB==

；

（二）、讲授新课

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？

已知：

AB=CD,AD=BC求证：

四边形ABCD是平行四边形

证明：

归纳：

判定定理一：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

用几何语言表示：

∵_________=___________，_________=____________

∴四边形ABCD是____________

2、类似地，我们还可以得出几个平行四边形的判定定理：

判定定理二：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

用几何语言表示：

∵∠_______=∠______，∠______=∠________

∴四边形ABCD是____________

判定定理三：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

用几何语言表示：

∵_____＝______，______=________

∴四边形ABCD是____________

例：

在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在AC上，且AE=CF，

求证：

四边形BFDE是平行四边形。

（三）、课堂练习：

1．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

则四边形ABCD是

根据：

2、如图，已知四边形ABCD，

（1）若AB=，BC=，则四边形ABCD为平行四边形；

（2）若

DAB=

，

ABC=

，则四边形ABCD为平行四边形；

（3）若对角线AC和BD相交于O，

则AO=，BO=时四边形ABCD为平行四边形；

3、在

中，对角线AC与BD交于O点，已知点E、F分别是AO、OC的中点，求证：

四边形BFDE是平行四边形。

证明：

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？

有什么收获？

你还有什么疑问吗？

平行四边形的判定

（2）

【学习目标】

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握只用一组对边来判定平行四边形的方法．

2．了解三角形的中位线的概念及性质和相关的应用。

3．了解平行线之间的距离。

【重、难点】

重点：

平行四边形的判定方法及应用。

难点：

利用中位线定理解决实际问题。

【预习作业】：

1.平行四边形判定：

_____________________

边

_____________________

平行四边形

对角线:

_____________________

角：

___________，___________

2.中位线的定义：

________________________________________。

3.两平行线间的距离定义：

________________________________________。

4.

表示：

_____________________。

二.合作探究，生成总结

探讨1.如图四边形ABCD，AB=CD，AB∥CD。

试探讨四边形ABCD是否为平行四边形？

归纳：

平行四边形的判定定理⑥。

即∵，

∴

探究2.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，是探索DE与BC之间的位置和数量关系。

归纳：

三角形的____________于三角形的第三边，且_______第三边的___________。

即：

∵___________________________

∴___________________________

叫做_________________定理

练一练：

1.A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

2.顺次连接任意四边形的各边中点所得的图形是________________形。

3.

如图，在ABCD中，AE=CF，求证：

（1）四边形AECF是平行四边形

（2）AF

CF

4.已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，△ABC的周长与△DEF的周长的和等于12cm，试求△ABC的周长。

知识点小结：

本节课我们学习了……..

平行四边形的判定⑥_______________________

中位线：

______________________（定义）两平行线间的距离：

_________________

中位线定理：

_____________________________

三.达标测评，分层巩固

基础训练题：

1.已知三角形的3条中位线分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长是______________。

2.

如图，E，F是ABCD的边上的两点，请添加一个条件____________________，使四边形AECF是平行四边形，并给出你的证明。

3如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F为BC上一点，EF=

BC。

求证：

∠EDF=∠EFD

能力拓展题：

4、如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点。

求证：

△DEF≌△HFE。

（提示利用直角三角形的中线与斜边的特点找等量关系）

平行四边形的判定（3）

【学习目标】1．理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形

2．理解并掌握两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3．培养观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力

【学习重点】理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。

【学习难点】判定定理的证明方法及运用。

【学案使用说明】本节课由学生独立思考、小组交流、合作完成，教师点拨归纳；课堂上组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.

【学习过程】

一、温故知新：

1平行四边形的判定一：

______________________________________________________

2平行四边形的判定二：

______________________________________________________

3平行四边形的判定三：

______________________________________________________

二、探究新知

探究一：

对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？

为什么？

已知：

如图：

在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，OA=OC，OB=OD

求证：

四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形的判定四：

文字语言表述：

__________________________________

数学语言表述：

∵_____________，_______________

∴四边形ABCD是平行四边形

三、巩固练习：

1．如图，已知：

E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。

求证：

四边形BFDE是平行四边形（用多种方法证明）

2．如图所示，已知□ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：

四边形AFCE是平行四边形。

3、如图，ABCD中，AF＝CH，DE＝BG，求证：

EG和HF互相平分

四、小结：

本节的收获是什么？

五、课堂检测

1：

在□ABCD中，E，F为AC上两点，BE//DF．求证：

四边形BEDF为平行四边形．

2：

在□ABCD中，E,F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:

四边形BEDF为平行四边形

5.3三角形中位线

（1）

有一分劳动就有一分收获。

日积月累，从少到多，奇迹就是这样被创造出来的。

【学习目标】1理解三角形中位线定理并应用。

2理解两条平行线间的距离并会应用。

【学习重点】三角形中位线定理。

【学习难点】三角形中位线定理的应用

【学案使用说明】本节课由学生独立思考、小组交流、合作完成，教师点拨归纳；课堂上组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.

【学习过程】

一、温故知新：

平行四边形的性质：

对角______对边________对角线________

平行四边形的判定:

两组对边分别_______的四边形是平行四边形.

两组对边分别________的四边形是平行四边形

一组对边平行且______的四边形是平行四边形

对角线____________的四边形是平行四边形

两组对角分别_______的四边形是平行四边形

2、创设情境、导入新课

已知：

如图所示,点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，

求证：

DE∥BC，且DE＝

BC。

归纳总结：

连接三角形两边_______的线段叫三角形的中位线.

由上题可得三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的_______

符号语言:

如上图在△ABC中,

∵______,_______.

∴_______,_________.

注意:

三角形中位线定理既揭示了三角形的中位线与第三边之间的位置关系,又揭示了两者之间的数量关系

如图所示,在

ABCD中，对角线交于O点，E为CD的中点，若OE＝3cm则AD＝_______

三、自主探究、合作交流

.如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，

（1）求证：

四边形DECF是平行四边形。

（2）若AC=10,BC=14,求四边形DECF的周长。

四、应用新知

如图-7，四边形ABCD是一般四边形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

依次连接点E、F、G、H。

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

5、

拓展延伸

.已知：

如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：

AB＝2OF．

六、课堂小结：

七、随堂小测：

1．已知△ABC中，AB：

BC：

CA=3：

2：

4且AB=9cm，D、E、

F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是______．

2．四边形的两条对角线分别是12cm和10cm，顺次连结各边中点所得四边形的周长是

3．一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．

4、如图,

ABCD的对角线AC、BD交于点O，且E、F、G、H分别是AO,BO,CO,DO的中点，求证：

四边形EFGH是平行四边形．

三角形的中位线（第2课时）

学习目标：

1.经历探索三角形中位线逆定理等重要命题的过程，发展合情推理能力

2.能较熟练地应用三角形中位线定理及逆定理进行有关的证明和计算，

学习重点：

掌握和运用三角形中位线逆定理定理． 

学习难点：

三角形中位线定理等重要命题的证明（辅助线的添加方法） 

三、学案使用说明：

本节课由学生独立思考、小组交流、合作完成，教师点拨归纳；课堂上组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.

教学过程：

（一）温故知新：

三角形中位线定理：

几何语言：

（二）创设情境：

如图：

由三角形中位线定理可知,若点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则DE∥BC，反过来，若D是AB边的中点，DE∥BC，交AC于点E，点E是AC边的中点吗？

如果是，怎样证明？

你能从三角形中位线定理添加辅助线的方法中得到启发吗？

还有其他方法吗？

由此可得结论：

经过三角形一边的且与另一边的直线必平分

（三）基础演练：

1．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．

3．若三角形的