平行四边形与特殊的平行四边形Word版.docx

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平行四边形与特殊的平行四边形Word版

平行四边形的性质与判定

一、总结平行四边形的性质与判定原理：

性质原理

判定原理

边

1、两组对边分别平行；

2、两组对边分别相等；

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

角

3、对角相等；邻角互补；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

线

4、对角线互相平分。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？

从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。

【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？

必须具备两个条件；注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。

图P-01

二、总结与平行四边形相关的性质：

（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）

【平行四边形对角线相关性质】

1平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的

三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积

相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相

邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。

如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则

ABO、

ADO、

CDO、

CBO的面积相等。

依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。

〖练习〗⒈如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若S⊿ABO=2，则

S⊿ABD=；S

ABCD=

⒉如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有对全等三角形。

⒊如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，

ABO的周长比

CBO的周长多4，则AB=，BC=

图P-02

⒋如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周长为17，则

CBO的周长=

2在平行四边形内，过对角线交点且两端点在

平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；

如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段

EF过点O，则OE=OF；证

AEO≌

CFO即可

〖练习〗⒈如图P-02，

ABCD中，EF过对角线交点O，

若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF的周长为

图P-03

⒉如图P-03，

ABCD中有圆O，请你画一条直线，

将此平行四边形及圆O的面积分成相等的

两部分。

③若设平行四边形两条对角线长分别为2

和2

（

>

），则此平行四边形每条边长

的取值范围为

<

<

〖练习〗⒈如图P-01，若AC=8，BD=12，则

AB的取值范围是

⒉三角形一边上的中线的取值范围为：

大于另两边之差，小于另两边之和。

图P-04

如图P-04，已知D为

ABC中BC边上的中点，

AB=5，AC=7，求AD的取值范围。

〖提示〗延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，

易证得

ABEC；记住此法：

倍长中线法，是常

用的辅助线作法

【四边形四边中点连线性质】

④顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形；

如图P-05，连结AC，由三角形中位线原理可得：

HG、EF都平行且等于

AC，

∴HG平行且等于EF，得平行四边形

注：

此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。

【等腰三角形与平行线相关性质】

⑤从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线，

可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，

且平行四边形的周长等于两腰长之和；

如图P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB

易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C，

∴∠1=∠C，∠2=∠B

〖练习〗如图P-06，

ABC中，AB=AC=6，D是BC上

一点，DE∥AC，DF∥AB，求四边形AFDE的周长。

图P-07

⑥一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形；

如图P-07，AB∥CD，∠1=∠2，则易证

∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰

AED

〖练习〗⒈如图P-08，在ABCD中，AB=7，AD=3，

∠DAB的的平分线交CD于E，交BC的延长线

于F，求CF长

⒉如图P-09，

ABC中，∠ABC与∠ACB的角

平分线交于点F，DE∥BC且过点F

求证：

DE=BD+EC

【中位线相关性质】

⑦三角形中位线原理：

三角形的中位线平行且等于第三边的一半；

三角形中位线原理推论：

过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。

图P-10

如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有：

DE∥BC，DE=

BC；若已知D为AB中点，

DE∥BC，则有：

AE=CE

〖练习〗证明三角形中位线原理推论

已知：

求证：

证明：

⑧三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。

图P-11

如图P-11，D、E、F分别是

ABC三边中点，则图中

四个小三角形都全等，且面积都等于

ABC面积的1/4；

周长都等于

ABC周长的1/2；

图中共有3个平行四边形。

〖练习〗如图P-11，D、E、F分别是

ABC三边中点，

AB=6，AC=7，BC=10，则

DEF的周长为

图P-12

三、典型题例与解题思路

【例1】如图P-12，

ABCD中，E、F为AC上两点，

且AE=CF，求证：

四边形DEBF是平行四边形

〖思路分析〗

本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行

四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形得

到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由平

行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。

在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。

几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。

以本题为例，我们要证

BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、“两组对边分别平行”、“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。

我们先看第一种方法：

两组对边分别相等。

要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用

AEB≌

CFD得BE=DF，再同理得DE=BF。

〖解题格式〗

证：

∵有

ABCD（已知）

∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质）

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵AE=CF（已知）

在

AEB和

CFD中：

AB=CD∠1=∠2AE=CF

∴

AEB≌

CFD（SAS）

∴BE=DF（全等性质）

同理：

DE=BF

∴有

DEBF（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

〖同题练习〗

⒈用“一组对边平行且相等”来证：

⒉用“对角线互相平分”来证：

〖同类练习〗

⒈如图P-13，

ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。

求证：

四边形EHFG是平行四边形

〖思路分析〗可以先用来证

DEBF，从而得DE∥BF；

再同理证得∥；最终用的原理来证得。

图P-13

〖解题过程〗

⒉如图P-14，

ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE，

图P-14

求证：

AF=CE

〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以

直接证

AECF，从而得对边相等。

〖解题过程〗

方法一：

用全等的方法

方法二：

先证

AECF

⒊求证：

平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。

（要求画图，写出已知、求证并证明）

图P-15

【例2】如图P-15，O是

ABC内一点，D、

E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点

求证：

四边形DEFG是平行四边形

〖思路分析〗

此类题型是利用中位线原理来证题，要

证DEFG，只要证一组对边平行且相等就

可以了；我们可以选定DE与FG

〖解题过程〗

证：

∵在

ABC中，D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE=1/2BC（三角形中位线性质）

同理：

FG∥BC，FG=1/2BC

∴FG=DE（等量代换）FG∥DE

∴有

DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

〖练习〗求证：

三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

（写出已知、求证并证明）

菱形的性质与判定

一、菱形的性质与平行四边形的性质比较

平行四边形

菱形

变化情况

边

1、对边平行

1、对边平行

不变

2、对边相等

2、四边相等

升级

角

3、对角相等

3、对角相等

不变

线

4、对角线互相平分

4、对角线互相平分且垂直

升级

5、每条对角线平分每一组对角

新性质

二、菱形的性质与判定比较

性质

判定

边

1、对边平行

2、四边相等

1、四条边都相等的四边形是菱形

2、一组邻边相等的平行四边形是菱形

角

3、对角相等

线

4、对角线互相平分且垂直

3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形

4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5、每条对角线平分每一组对角

三、观察上表，你能发现什么特点？

除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？

所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？

你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？

上表的特点是：

判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。

另外，如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得菱形，如果已知的是平行四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。

除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：

例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直……这样就有很多的方法了。

如果用一句话来总结，那就是：

只要能先证它是平行四边形，再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！

四、菱形中的重要解题性质

【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对角线乘积的一半

图L-01

如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则

S菱形ABCD=

AC

BD

【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一

内角为60o或120o，则菱形被较短的对角线分成两个

等边三角形；较长的对角线等于边长的

倍。

如图L-01，∠BAD=60o，则有：

等边

ABD，等边

BDC，AC=

BD=

AB

【菱形的一些基本性质】

⒈菱形的四条边都相等，周长=边长

4；

⒉如图L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等；

图L-02

⒊如图L-02，菱形四边中点连线所得四边形是矩形；

证明：

连结AC、BD，交点为O，AC交HE于P，

BD交HG于Q

由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC，

∴HG与EF平行且相等，∴有

EFGH

又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD

（垂直于平行线中的一条，必垂直另一条）

∴∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，

又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，

∴有矩形EFGH