公务员考试小学奥数三上.docx

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公务员考试小学奥数三上

第一讲速算与巧算

（一）

　　一、加法中的巧算

1.什么叫“补数”？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：

1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：

11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，

在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：

87655→12345，46802→53198，87362→12638，…

下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

例1巧算下面各题：

①36+87+64②99+136＋101③1361＋972＋639＋28

解：

①式=（36＋64）＋87=100＋87=187②式=（99＋101）＋136=200+136=336

③式=（1361＋639）＋（972＋28）=2000+1000=3000

3.拆出补数来先加。

例2①188＋873②548＋996③9898＋203

解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061

②式=（548-4）＋（996＋4）=544+1000=1544

③式=（9898＋102）＋（203-102）=10000+101=10101

4.竖式运算中互补数先加。

　　如：

二、减法中的巧算

1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例3①300-73-27②1000-90-80-20-10

解：

①式=300-（73＋27）＝300-100=200

②式=1000-（90＋80＋20＋10）＝1000-200＝800

2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

例4①4723-（723＋189）②2356-159-256

解：

①式=4723-723-189＝4000-189=3811

②式=2356-256-159＝2100-159=1941

3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

例5①506-397②323-189③467＋997④987-178-222-390

解：

①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）=109

②式=323-200+11（把多减的11再加上）=123+11＝134

③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）＝1464

④式=987-（178＋222）-390＝987-400-400+10=197

　　三、加减混合式的巧算

1.去括号和添括号的法则

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋da-（b＋a＋d）＝a-b-c-da-（b-c）＝a-b+c

例6①100＋（10＋20＋30）②100-（10＋20+3O）③100-（30-10）

解：

①式=100＋10＋20＋30=160②式=100-10-20-30=40③式=100-30＋10＝80

例7计算下面各题：

①100＋10＋20＋30②100-10-20-30③100-30＋10

解：

①式=100＋（10+20+30）=100＋60=160

②式=100-（10＋20+30）＝100-60=40

③式=100-（30-10）=100-20=80

2.带符号“搬家”

例8计算325＋46-125＋54

解：

原式=325-125＋46+54＝（325-125）+（46＋54）=200+100＝300

注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉

例9计算9+2-9＋3解：

原式=9-9＋2+3=5

4.找“基准数”法几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

＝640

习题一

一、直接写出计算结果：

①1000-547②100000-85426③11111111110000000000-1111111111④78053000000-78053

二、用简便方法求和：

①536+（541+464）+459②588＋264＋148③8996＋3458＋7546

④567+558+562＋555＋563

三、用简便方法求差：

①1870-280-520②4995-（995-480）③4250-294＋94④1272-995

四、用简便方法计算下列各题：

①478-128+122-72②464-545＋99+345

③537-（543-163）-57④947+（372-447）-572

五、巧算下列各题：

①996＋599-402②7443＋2485＋567＋245

③2000-1347-253+1593④3675-（11+13+15＋17＋19）

　　习题一解答

一、直接写出计算结果：

①1000-547＝453②100000-85426=14574③11111111110000000000-1111111111＝11111111108888888889

④78053000000-78053＝78052921947

此题主要是练习直接写出“补数”的方法：

从最高位写起，其各位数字用“凑九”而得，最后个位凑10而得。

二、用简便方法求和：

①536＋（541＋464）＋459＝（536+464）+（541＋459）=2000

②588＋264＋148=588+（12+252）+148＝（588＋12）+（252＋148）＝600+400=1000

③8996＋3458＋7546=（8996＋4）＋（3454＋7546）=9000+11000（把3458分成4和=9000+110003454）＝20000

④567＋558+562＋555＋563＝560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数）＝2800+5＝2805

三、用简便方法求差：

①1870-280-520＝1870-（280+520）=1870-800＝1070

②4995-（995-480）=4995-995+480=4000+480=4480

③4250-294＋94=4250-（294-94）=4250-200=4050④1272-995=1272-1000+5=277

四、用简便方法计算加减混合运算：

①478-128＋122-72=（478+122）-（128＋72）＝600-200＝400

②464-545＋99＋345＝464-（545-345）+100-1=464-200＋100-1＝363

③537-（543-163）-57＝537-543＋163-57=（537＋163）-（543+57）=700-600=100

④947＋（372-447）-572=947+372-447-572=（947-447）-（572-372）=500-200=300

五、巧算下列各题：

①996＋599-402=1193②7443＋2485＋567＋245=10740③2000-1347-253＋1593=1993④3675-（11+13+15+17+19）=3600

第二讲速算与巧算

（二）

　　一、乘法中的巧算

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2=1025×4=100125×8=1000

例1计算①123×4×25②125×2×8×25×5×4

解：

①式=123×（4×25）=123×100＝12300

②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=1000000

2.分解因数，凑整先乘。

例2计算①24×25②56×125③125×5×32×5

解：

①式=6×（4×25）=6×100=600

②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000

③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000

3.应用乘法分配律。

例3计算①175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6

解：

①式=175×（34+66）=175×100=17500

②式=67×（12＋35＋52＋1）＝67×100＝6700（原式中最后一项67可看成67×1）

例4计算①123×101②123×99

解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123＝12300＋123=12423

②式=123×（100-1）=12300-123=12177

4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；一个数×100，数后添00；一个数×1000，数后添000；

以此类推。

如：

15×10=15015×100=150015×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；一个数×99，数后添00，再减此数；一个数×999，数后添000，再减此数；…以此类推。

如：

12×9＝120-12＝10812×99＝1200－12＝118812×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

如：

6×5＝3016×5＝80116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

如2222×11＝24442

2456×11＝27016

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

24×15＝（24+12）×10＝360

因为24×15＝24×（10+5）＝24×（10＋10÷2）=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

如15×15=1×（1+1）×100+25=22525×25=2×（2+1）×100+25=625

35×35=3×（3+1）×100+25=122545×45=4×（4+1）×100+25=2025

55×55=5×（5+1）×100+25=302565×65＝6×（6+1）×100+25=4225

75×75=7×（7+1）×100+25＝562585×85=8×（8+1）×100+25=7225

95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算

1.在除法中，利用商不变的性质巧算

商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25③44000÷125

解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）＝220÷10=22

②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）＝13200÷100＝132

③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）＝352000÷1000＝352

2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54＝864÷54×27=16×27=432

3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5③2090÷24-482÷24④187÷12-63÷12-52÷12

解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9=18÷9＝2②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5＝15÷5=3

③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24＝1608÷24＝67

④187÷12-63÷12-52÷12＝（187-63-52）÷12＝72÷12=6

4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250②4000÷125÷8③5600÷（28÷6）④372÷162×54

⑤2997×729÷（81×81）

解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）=1320×2＝2640

②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）＝4000÷1000＝4

③5600÷（28÷6）=5600÷28×6=200×6=1200

④372÷162×54=372÷（162÷54）＝372÷3＝124

⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9＝333

习题二

一、用简便方法求积：

①17×100②1112×5③23×9④23×99⑤12345×11⑥56789×11⑦36×15二、速算下列各题：

①123×25×4②456×2×125×25×5×4×8③25×32×125

三、巧算下列各题：

①15000÷125÷15②1200÷25÷4③27000÷（125×3）④360×40÷60

四、巧算下列各题：

①11÷3＋4÷3②19÷5-9÷5③234×11+234×88

　　习题二解答

一、用简便方法求积：

①17×100=1700②1112×5＝5560③23×9=230-23=207④23×99=2300-23=2277⑤12345×11=135795⑥56789×11=624679⑦36×15=（36+18）×10＝540

二、速算下列各题：

①123×25×4=123×（25×4）＝12300②456×2×125×25×5×4×8=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）=456000000③25×32×125＝（25×4）×（125×8）=100000

三、巧算下列各题：

①15000÷125÷15＝15000÷15÷125=8②1200÷25÷4=1200÷（25×4）=12③27000÷（125×3）＝27000÷3÷125＝9×（1000÷125）=9×8=72

④360×40÷60＝360÷60×40＝240

四、巧算下列各题：

①11÷3+4÷3=（11＋4）÷3＝5②19÷5-9÷5＝（19-9）÷5=2

③234×11＋234×88=234×（11+88）＝234×99＝234×100-234=23166

第三讲上楼梯问题

有这样一道题目：

如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？

如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。

为什么是3分钟而不是4分钟呢？

原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。

下面我们来看几个类似的问题。

例1裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？

分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……

我们可以从中发现规律：

所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。

解：

16米中包含2米的个数：

16÷2=8（个）剪去最后一段所用的天数：

8-1=7（天）答：

第七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？

可以从中发现规律：

切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。

解：

切一次所用的时间：

24÷（4-1）=8（秒）切5段所用的时间：

8×（5-1）=32（秒）

答：

用同样的速度切成5段，要用32秒。

例3三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？

解：

因为每4人一排，所以共有：

120÷4=30（排）30排中间共有29个间隔，所以队伍长：

1×29=29（米）答：

这支队伍长29米。

例4时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

分析如果盲目地计算：

12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：

时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：

12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：

4×5=20（秒）。

解：

每次间隔时间为：

12÷（4-1）=4（秒）

敲6下共用的时间为：

4×（6-1）＝20（秒）答：

时钟敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

分析要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：

48÷（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。

到这里问题就可以解决了。

解：

上一层楼梯需要：

48÷（4-1）=16（秒）从4楼走到8楼共走：

8-4=4（层）楼梯还需要的时间：

16×4=64（秒）答：

还需要64秒才能到达8层。

例6晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？

分析要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。

从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有36÷2=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。

解：

每一层楼梯有：

36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：

18×（6-1）=90（级）台阶。

答：

晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。

注：

例1～例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：

所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×（所到达的层数减起点的层数）。

习题三

1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？

2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？

3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？

4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？

5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？

6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？

7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？

8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？

9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

　　习题三解答

1.解：

每截一次需要：

6÷（3-1）=3（分钟），截成7段要3×（7-1）=18（分钟）答：

截成7段要18分钟。

2.解：

从1层走到11层共走：

11-1=10（个）楼梯，从1层走到11层一共要走：

17×10=170（级）台阶。

答：

从1层走到11层，一共要登170级台阶。

3.解：

每一层楼梯的台阶数为：

48÷（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：

6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：

16×5=80（级）台阶。

答：

从1楼到6楼共走80级台阶。

4.解：

到小英家共经过的楼梯层数为：

64÷16=4（层），小英家住在：

4＋1=5（楼）

　　答：

小英家住在楼的第5层。

5.解：

火车的总长度为：

5×20+1×（20-1）=119（米），火车所行的总路程：

119＋81=200（米），所需要的时间：

200÷20=10（分钟）答：

需要10分钟。

6.解：

每个间隔需要：

6÷（3-1）=3（秒），12点钟敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）答：

33秒钟敲完。

7.解：

每上一层楼梯需要：

100÷（5-1）=25（秒），还需要的时间：

25×（10-5）=125（秒）

　　答：

从5楼再走到10楼还需要125秒。

8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。

那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上2×5=10个楼梯，所以B上到10＋1=11（层）。

　　答：

A上到第16层时，B上到第11层楼。

9.解：

火车2分钟共行：

50×（37-1）=1800（米）2分钟=120秒

　火车的速度：

1800÷120=15（米/秒）答：

火车每秒行15米。

第四讲植树与方阵问题

　　一、植树问题

要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：

①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。

关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。

1.不封闭路线例：

如图

①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。

全长、棵数、株距三者之间的关系是：

棵数=段数+1=全长÷株距+1

全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）

②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：

全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数。

③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。

=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。

株距=全长÷（棵数+1）。

2.封闭的植树路线

例如：

在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。

如右图所示。

棵数=段数=周长÷株距.

　　二、方阵问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）