应用线性代数课后答案.docx

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应用线性代数课后答案

【篇一：

线性代数应用实例】

s=txt>右表给出函数f（t）上4个点的值，试求三次插值多项式p（t）?

a0?

a1t?

a2t2?

a3t3，并求f（1.5）的近似值。

解：

令三次多项式函数p（t）?

a0?

a1t?

a2t2?

a3t3过

表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：

0123?

a0?

2a1?

4a2?

8a3?

a0?

3a1?

9a2?

27a3

对于四元方程组，笔算就很费事了。

应该用计算机求解了，键入：

a=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref（[a,b]）得到x=100030100-20010-200011

得到a0?

3,a1?

2,a2?

2,a3?

1，三次多项函数为p（t）?

2t?

t，故f（1.5）近

似等于p（1.5）?

2（1.5）?

（1.5）?

1.125。

在一般情况下，当给出函数f（t）在n+1个点ti（i?

1,2,?

1）上的值f（ti）时，就可以用n次多项式p（t）?

a0?

a1t?

a2t2?

antn对f（t）进行插值。

在数字信号处理中的应用-----数字滤波器系统函数

数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。

它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z?

1。

根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它

的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。

图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u之比。

先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

由于迟延算子z?

1不是数，要用符号代替，所以取q?

1，按照图示情况，可以写出：

x1?

qx2?

x2?

x3?

写成矩阵形式为

x1?

x2?

x3?

q00

x2?

x=qx-pu

经过移项后，系统函数w可以写成：

w=x/u=inv（i-q）*p现在可以列写计算系统函数的matlab程序ea705，

symsq

%规定符号变量

q（1,2）?

q;q（2,3）=3/8*q?

1/4;q（3,1）=1;%给非零元素赋值q（3,3）=0;p=[2;1/4;0]

%给右下角元素q（3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零

%给p赋值

%用信号流图求传递函数的公式

w=inv（eye（3）?

q）*p

程序运行的结果为

w=[?

16/（?

3*q^2?

2*q）?

2*q/（?

3*q^2?

2*q）]

2*（3*q?

2）/（?

3*q^2?

2*q）?

2/（?

3*q^2?

2*q）][?

16/（?

3*q^2?

2*q）?

2*q/（?

3*q^2?

2*q）]

我们关心的是以y?

x3作为输出的系统函数，故再键入pretty（w（3））整理后得到

16?

2qq?

8z?

w（3）?

3q2?

2q?

1.5q2?

1.5z?

用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。

信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应

描述n阶线性时不变（lti）连续系统的微分方程为

dnydn?

1ydydmudua1n?

a2?

an?

1y?

b1m?

bm?

1u,n≥m

dtdtdtdtdt

-已知y及其各阶导数的初始值为y（0），y

（1）（0），…，y（n1）（0），求系统的零输入响应。

解：

当lti系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等

号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）

y（t）?

c1ep1t?

c2ep2t?

cnepnt

其中p1，p2，…，pn是特征方程a1?

n+a2?

n1+…+an?

+an+1=0的根，它们可用roots（a）语句求得。

各系数c1，…，cn由y及其各阶导数的初始值来确定。

对此有

c1+c2+…+cn=y0y0=y（0）

p1c1+p2c2+…+pncn=dy0（dy0表示y的导数的初始值y

（1）（0））…………………………………

1n?

1p1c1?

p2c2?

pncn?

dn?

1y0

c1?

y0?

pp2?

pn?

c2?

dy0?

写成矩阵形式为?

1n?

p2?

pn?

p1?

cn?

dy0?

式中c?

[c1,c2,?

cn]t;y0?

[y0,dy0,?

dn?

1y0]t

pv?

1p2?

1p2

pn?

v为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。

matlab程序ea703.m

a=input（输入分母系数向量a=[a1，a2，...]=）;n=length（a）-1;

程序运行结果

用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入

a=[3，5，7，1];dt=0.2;tf=8;

而y0取

[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]

图2三阶系统的零输入响应

三种情况，用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。

减肥配方的实现

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。

现在的问题是：

如果用这三种食物作为每

设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：

36?

51?

13?

34?

74?

a1?

5221?

1.1?

则它们的组合所具有的营养为

36?

51?

13?

34?

74?

x1a1?

x2a2?

x3a3?

x1?

52?

1.1?

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

52?

5113?

x1?

33?

45?

3474?

71.1?

x3?

ax?

用matlab解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：

a=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]b=[33;45;3]x=a\b

程序执行的结果为：

0.2772x?

0.3919?

0.2332?

即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需

的综合营养量。

人口迁徙模型

设在一个大城市中的总人口是固定的。

人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。

每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。

假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？

30年、50年后又如何？

这个问题可以用矩阵乘法来描述。

把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即

xck?

xk?

其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。

xsk?

xc0?

0.3?

在k=0的初始状态：

x0?

。

x0.7?

s0?

一年以后，市区人口为xc1=（1-0.02）xc0+0.06xs0，郊区人口xs1=0.02xc0+（1-0.06）xs0，用

矩阵乘法来描述，可写成：

xc1?

0.940.02?

0.3?

0.2960?

x1?

ax?

0.7040?

xs1?

0.060.98?

0.7?

此关系可以从初始时间到k年,扩展为xk?

axk?

a2xk?

akx0,用下列matlab程序进行计算：

a=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=a*x0,x10=a^10*x0x30=a^30*x0x50=a^50*x0

程序运行的结果为：

0.2960?

0.2717?

0.2541?

0.2508?

x1?

50?

10?

0.7283?

30?

0.7459?

0.7492?

0.7040?

无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。

为了弄清为什么这

个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。

在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵a的效果。

选u1为稳态向量[0.25,0.75]t的任意一个倍数，令u1=[1,3]t和u2=[-1,1]t。

可以看到，用a乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：

0.940.02?

au1?

0.060.98?

0.940.02?

0.92?

au2?

0.92u2?

0.060.98?

0.92?

初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；

0.30?

x0?

0.25?

0.05?

0.25u1?

0.05u2

0.70?

因此

xk?

akx0?

0.25u1?

0.05（0.82）ku2

式中的第二项会随着k的增大趋向于零。

如果只取小数点后两位，则只要k27，这第

二项就可以忽略不计而得到

0.25?

akx0?

0.25u1?

0.75?

适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，

使得问题简单化。

这也是方阵求特征值的基本思想。

这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。

所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。

马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。

【篇二：

线性代数及其应用】

xt>在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了.行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.

9.1行列式的概念与计算

一、二阶、三阶行列式

用消元法解二元线性方程组?

a11x1?

a12x2?

（9.1）

a21x1?

a22x2?

b1a22?

b2a12ab?

a21b1

，x2?

112

a11a22?

a12a21a11a22?

a12a21

当a11a22?

a12a21?

0时，得x1?

为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.1．二阶行列式的定义

定义1用2个数组成的记号

a11a21

a12a22

，表示数值a11a22?

a12a21，称为二阶行列

式，a11,a12,a21,a22称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.

利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式d?

0时，它的解可以用行列式表示为

b1a12

ba22dx1?

a11a12da21a22a11b1abdx2?

212?

a11a12da21a22

其中d1和d2是以b1,b2分别替换系数行列式d中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.

例1用行列式解线性方程组?

2x1?

x2?

3x?

5x?

12?

解因为d?

所以x1?

123

13，d1?

16，d2?

351531

d116d7?

x2?

.d13d13

a11

类似地，用3个数组成的记号a21

a12a22a32

a13

a23，表示数值a11a22a33?

a12a23a31?

a33

a31

a13a21a32?

a13a22a31?

a12a21a33?

a11a23a32称为三阶行列式，即

a11a21a31

a12a22a32

a13

a23?

a11a22a33?

a12a23a31?

a13a21a32a33

a13a22a31?

a12a21a33?

a11a23a32.

它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.

图9.1

取-号

11a12a22a13a23

取+号

21a31

例2计算三阶行列式2

解原式＝3?

（?

3）?

（?

1）?

（?

1）?

（?

3）?

20?

45?

60.

x10

例3解不等式1

x0?

0.411

x10

解因为1

x0?

x2?

1，原不等式化为x2?

0.411

故不等式的解集为{xx?

1或x?

1}.

1.2阶行列式

1．n阶行列式的定义

定义9.２由n个数组成的一个算式

a11

a21

an1

a12a22?

a1n?

a2n

，?

an2?

ann

称为n阶行列式，其中aij称为d的第i行第j列的元素（i,j?

1,2,?

n）.

当n?

1时，规定d?

a11?

a11.n阶行列式简记为aij.

定义３在n阶行列式d?

aij中去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n?

1阶行列式称为元素aij的余子式，记为mij.

将（?

1）

mij叫做元素aij的代数余子式，记为aij，即有aij?

（?

1）i?

jmij.

设n?

1阶行列式已定义，则n阶行列式

（9.2）d?

a11a11?

a12a12?

a1na1n?

a1ja1j.

例如，当n?

3时，

a11

a21

a12a22a32

a13

a23?

a11a11?

a12a12?

a13a13.a33

a31

例4写出四阶行列式

214

8121

913411

的元素a32的余子式和代数余子式.

解m32?

72?

164

73.1

3，a32?

（?

1）3?

2m32?

14形如下列形式的行列式分别称为n阶对角行列式和n阶下三角行列式，由（9.2）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.

a11

0a11

0a22?

00a22?

a11a22?

ann，?

a11a22?

ann.?

ann?

a21?

an1

an2?

ann

２.行列式的性质

根据n阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数n较大时，一般是很麻烦的，为了简化n阶行列式的计算，我们有必要讨论n阶行列式的性质.

a11

如果把n阶行列式d?

a12a22?

a1n

a2n

中的行与列按顺序互换，得到一个新的行?

a21?

an1

an2?

ann

列式

a11

dt?

a12?

a1n

a21a22?

a2n

an1?

an2

，?

ann

dt称为行列式d的转置行列式.显然，d也是dt的转置行列式.

性质1行列式d与它的转置行列式d的值相等.即d?

d.例如，二阶行列式d?

a11a21a11a12

a12a22

a11a22?

a12a21，?

a11a22?

a12a21.

dt?

a21a22

显然，d?

d.对于n阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.

性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.

由性质9.1.1和n阶下三角行列式的结论，可以得到n阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即

a11

a12a22?

a1n

a2n

a11a22?

ann.?

ann

性质2n阶行列式d?

aij等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即

ai1ai1?

ai2ai2?

ainain?

aikaik（i?

1,2,3

n），

或d?

a1ja1j?

a2ja2j?

anjanj?

akjakj（j?

1,2,3

n）.（9.3）

313

例5设三阶行列式d?

32，按第二行展开，并求其值.

251

解因为a21?

（?

1）

m21?

（1?

15）?

14，51

a22?

（?

1）

m22?

3,21

【篇三：

线性代数的学习和在实际中的应用】

期张晔摘要：

通过对线性代数的内容概念理论的学习，更好的把数学知识应用于实际中。

线性代数（linearalgebra）是数学的一个分支，线性代数包括：

行列式、矩阵、线性方程组等基础知识。

它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射，具有代数学的实用性和抽象性特点。

线性空间与线性变换是线性代数的核心内容，而矩阵的秩是与这门课程的几乎所有的内容都有联系的一个重要的概念，利用矩阵的初等行变换是解决这门课程绝大部分计算问题的主要方法。

在学习过程中挖掘知识产生的背景和形成过程，抓住矩阵的秩与相关概念之间的关系，融会贯通地掌握该课程的主要内容，培养熟练的运算能力及严密的逻辑推理能力。

下面通过实例对线性代数的应用加以说明。

问题1生产总值问题

一个城市有三个重要的企业:

一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。

开采一元钱的煤，煤矿必须支

付0．25元的运输费。

而生产一元钱的电力，发电厂需支付0．65元的煤作燃料，自己亦需支付0．05元的电费来驱动辅助设备和支付0．05元的运输费。

而提供一元钱的运输费，铁路需支付0．55元的煤作燃料，0．10元的电费驱动它的辅助设备。

某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的定货，发电厂从外面接到25000元电力的定货，外界对地方铁路没有要求。

问这三个企业在那一个星期内生产总值达到多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求?

解对于一个星期的周期，x1

表示煤矿的总产值，x2

表示电厂的总产值，x3

表示铁路的总产值。

根

据题意:

x1－（0．65x2+0．55x3）=50000

x2－（0．25x1+0．05x2+0．1x3）=25000

x3－（0．25x1+0．05x2）=25000

写成矩阵形式，得

一所以求得煤矿总产值为102087元，发电厂总产值为56163元，铁路总产值为28330元。

般地，如果问题所涉及的数据是以表格形式出现的或者问题可以转化为线性方程组进行求解的，这些提供的数据常常可以用上述简化的矩形式表来表示，由此引入矩阵的概念。

另外，在习题中可以安排一些简单的应用题开阔视野和培养应用代数知识解决实际问题的能力。

问题2：

成本问题

某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品，但是对每种产品的单位成本难以确定，这类问题可以通过几次测试，列出方程组求解。

例如：

在一次投料生产中能获得四种产品，每次测试的总成本如表1所示，试求每种产品的单位成本。

解：

设a、b、c、d四种产品的单位成本分别为x1、x2、x3、x4，可列出方程组

运用行列式解得：

x1=10，x2=5，x3=3，x4=2所以a、b、c、d四种产品的单位成本分别为10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤

问题3：

利润问题。

企业经营几类商品，由于有些费用难以划分，因此不能确定每:

种商

品的利润率，这种情况可以通过不同时期（或不同门市部）的总利润，列出方程组求解。

例如：

某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表2所示，试求每类商品的利润率。

解设a、b、c、d四类商品的利润率分别为x1、x2、x3、x4，可列出方程组

将方程组组简化如下

解得x1=0.10，x2=0.08，x3=0.05，x4=0.04。

所以a、b、c、d四类

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