数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824.docx
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数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824
第十一章重积分
§1二重积分的概念
1•把重积分..xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线
D
「ij
网x=,y=（i,j=1,2,…,n-1）分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为
nn
其界点•
2•证明：
若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•
3•证明定理（20.3）:
若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•
4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.
性质2若f、g都在d上可积，则f+g在d上也可积，且°fg=f°g•
性质4若f、g在D上可积，且f_g,则岂Dg,
性质7（中值定理）若f为闭域D上连续函数，则存在,D，使得
Df=f,D
5.设Do、D1和D2均为矩形区域，且
Do=D1D2,intDjintDj=•一，试证二重积分性质3.
性质3（区域可加性）若Do=D1D2且intD1intDj—一，则f在Do上可积的充
要条件是f在D2上都可积，且
6.设f在可求面积的区域D上连续，证明：
（1）若在D上fx,y-0,fx,y-0则Df0；
（2）若在D内任一子区域DD上都有
Df二0,则在D上fx,y.=0。
7・证明：
若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点
D，使得
fx,ygx,ydxdy=f,gx,ydxdy.
DD
8.应用中值定理估计积分
rrdxdy
22-
凶砒o1OOcosxcosy
的值
§2二重积分的计算
1.计算下列二重积分：
⑴y-2xdxdy,其中D=3,5】1,2】；
D
⑵xy2dxdy,其中（i）D=0,2〕0,31（ii）D=0,3】0,2】；
D
⑶!
!
cosxydxdy,其中D=
D
⑷..
D
x
1xy
dxdy，其中D=
0,10,11.
2.设f（x,y）=flxf2y为定义在D=ai,bj^2,bj上的函数若fl在lai,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在d上可积,且
3.设f在区域D上连续试将二重积分fx,ydxdy化为不同顺序的累次积分
D
（1）D由不等式y-x,y-a,x-b0-a-b所确的区域
222
⑵D由不等式xy_a与xy0）所确定的区域
（3）D=如,y）x+y
4.在下列积分中改变累次积分的顺序
x
（1）0dxxf（x,ydy；
11^x2
⑵jd^_1^2fx,ydy；
⑶0dy0fx,ydy+dx
3
dy.
5.计算下列二重积分
X专（p>0）所围的区域；
2
（1）iixydxdy,其中D由抛物线y=2px与直线
D
⑵11ix2y2dxdy,其中D=：
x,y0_x_1,.x乞y乞2一x[
D
卄dxdy
（3）..（a>0）,其中D为图（20—7）中的阴影部分;
d2a-x
⑷Il-xdxdy,其中D='x,yx2y2乞xj
D
（5）Ilxydxdy,其中为圆域x2ya2.
D
6.写出积分11fx,ydxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分
d
22
（1）D由不等式xy乞1,y^x,y-0所确定的区域
⑵D由不等式a2_x2•y2_b2所确定的区域
（3）d=：
x,yx2y2zy,x_0「
7•用极坐标计算二重积分：
⑴Ilsinx2y2dxdy,其中D='x,y二2乞x2y2<4~2'；
D
（2）xydxdy,其中D^x,yx2y2_xy』；
曽fr
D
（3）ii「x2•y2dxdy,其中d为圆域x2R2.
D
8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：
22丄
（1）0dxf（x,y）dy,其中u=x+y,v=x-y;
（2）iifx,ydxdy,其中D=，x,y.xy乞.a,x_0,y_0』，若x=Ucos4v,
D
4
y二Usinv.
（3）iifx,ydxdy，其中D=，x,yxy—a,x—0,y—Of,若x+y=u,y=uv.
9•求由下列曲面所围立体V的体积：
（1）v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；
22|一,
（2）v由z=x*y和z=x+y围的立体；
2222
2xvxv
（3）v由曲面Z和2Z=所围的立体•
4949
11.试作适当变换，计算下列积分：
（1）11[xysinx-ydxdy,D=：
x.y0_xy_二0_x-y_T；
D
y
（2）Iiexydxdy,D=x,yxy岂1,x_0,y_0
D
12.设f:
[a,b]tR为连续函数，应用二重积分性质证明
-bI2jb
|[f（xdxI兰（b—a）[f（xdx，
其中等号仅在f为常量函数时成立。
13.设f为连续函数，且f（x,y）=f（y,x）
1x1x
证明:
.0dx0fx,ydy=0dx0f1-x,^ydy.
14.求由下列曲线所围成的平面图形面积：
（1）x+y=a;x+y=b;y=ax;y=3x,（a>b,a>3）
（22A2
⑵=x^y2
2b丿
F（y）的
1
15.设f（x,y）=sfn（x-y），试讨论函数F（y）=l0f（x,ydx在（一00严]上的连续性并作出
图像.
』2f（x）x0a,b）
0,x^（a,b）
§3三重积分
1.计算下列积分
⑴川$丫十乙2dxdydz,其中v=匚2,5^匚3,3’0,1】;
⑵[[[xcosycoszdxdydz,其中v=0,1][o,?
lx.卩冷I
（3）dxdydz—，其中、是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域
"v（1+x+y+z3
J—
⑷111ycosxzdxdydz,其中V是由y=x,y=o,z=o及x+z=?
所围成的区域.
2.试改变下列累次积分的顺序：
11••xy
odxodyofx,y,zdz；
11x2-y2
odxodyofx,y,zdz.
x2
2
1
0dx
1
dz」fx,y,zdy
3•计算三重积分：
（1）iiiZ2dxdydz,其中V由Xy2z2_r2和x2•y2•z2_2rz所确定;
1、1\2_x2_y2
⑵odxody、，zdz.
4•利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积
（1）Z=x2y2,z=2x2y2,y=x,y=x2;
⑵；+（）lab丿ic丿
af
—I=1,（xx0,yA0,zA0,a>0,b>0,c>0）
5•设f（x,y,z）在长方体V=a,Jc,d】e,f上可积，若对任何y,zD=c,d】b,f1
b
定积分F（y,z）=fx,y,zdx
a
存在，证明F（y,z）在D上可积，且
Fy,zdydz=iiifx,y,zdxdydz.
D
6.设v=」（x,y,z）务
22,
冷咅1计算下列积分:
x2
2yb2
Z2
一2dxdydz；c
⑵…訂沁dxdydz.
§4重积分的应用
1.求曲面az=xy包含在圆柱x2y2二a2内那部分的面积
2.求锥面Z=.x2y2被柱面Z2=2x所截部分的曲面面积
3•求下列均匀密度的平面薄板重心：
22
⑴半椭圆务•$7_1,y_0;
ab
⑵高为h,底分别为a和b的等腰梯形.
4•求下列均匀密度物体重心：
（1）z^1-X2-Y2,z一0;
⑵由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.
5•求下列均匀密度的平面薄板转动惯量：
（1）半径为R的圆关于其切线的转动惯量；
⑵边长为a和b,且夹角为「的平行四边形关于底边b的转动惯量
量.
7•计算下列引力：
.…222
⑴均匀薄片xy0）处的单位质量的引力
pop
⑵均匀柱体xy辽a,0^z乞h对于P（O,O,c）（c>h）处单位质量的引力•
8•求曲面
x=bacossin「0三-2
y=bacoscos「0__2
z=asin
的面积，其中a,b常数且0乞a岂b.
9•求螺旋面
x=rcosv0込r玄a
y=rsinv0込v:
:
二
z二b）
的面积
10.求边长为I的正方形的薄板的质量，该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比，且在正方形中点处密度为T0・
11.求边长为a密度均匀的正方体，关于其任一棱边的转动惯量
1.设
f（x,y>!
r
1,
2y,
X为无理数
x为有理数
x,y产D=0,110,11
（1）证明f在D上不可积；
11
（2）说明[dx[f（x,ydy存在，并求它的值
（3）说明f在D上先x后y的累次积分不存在
2•设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly,D的面积为lD,（a,3）为D
内任一点证明：
⑴JJ（x_a[y—BjdxdyMLxLyAD
D
口（x_a[y_0）dxdy
D
3•试作适当变换，把下列重积分化为单重积分
（1）iifx2y2dxdy;
X2y2勺
⑵jjfQx2+y2dxdy,其中D=Qx,ypy兰x,x"｝；
D
（3）,.fxydxdy;
|x|：
y|」
（4）iifxydxdy，其中D=x,yx辽y玄4x,1玄xy辽2二
D
4.计算下列积分：
（1）Ilxydxdy；
0?
x,y_2
（2）iisgnx2-y22dxdy.
x2Hy2应
（1）f（x,y）=sin2xcos2y,D=qx,y0_x■■:
0_y_V;
222
⑵fx,y,z=xyz,
D=1x,y,zx2y2z2二xyzf.
6•设
aibiCi
b2c2式0
a3
b3C3
求平面
aixbiy6z=hi
a2xb2yc2z二h2
a3Xb3yC3Z二h3
所界平行六面体体积.
7•研究函数
F（y）=［f4dx
0xy
的连续性，其中f为［0,i］上正连续函数
3
io•设f：
R3>R是连续可微函数，证明函数
b3b2
H（x）=adzjf（x,y,zdy
83a2
xy
11.设F（x,y）=xx-yzfzdz,其中f为可微函数,求FXyx,y.
y
12.设f为可微函数，求下列函数F的导数：
（1）F（t）=iiifx2y2z2dxdydz；x2勺24z2g2
⑵F（t）=Iifxyzdxdydz,其中
v='x,y,z0—x,y,z—tl
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