数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824.docx

1、数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824第十一章重积分 1二重积分的概念1把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】 0,1】,并用直线D i j网x= ,y= (i,j=1,2,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n其界点2证明：若函数f在矩形式域上 D可积，则f在D上有界3证明定理(20.3):若f在矩形区域 D上连续，则f在D上可积4设D为矩形区域，试证明二重积分性质 2、4和7.性质2若f、g都在d上可积，则f+g在d上也可积，且 f g = f g 性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则

2、岂Dg ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得Df =f , D5. 设Do、D1和D2均为矩形区域，且Do = D1 D 2, intDj int Dj = 一，试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若Do =D1 D2且int D1 int Dj 一，则f在Do上可积的充要条件是f在D2上都可积，且6. 设f在可求面积的区域 D上连续，证明：(1) 若在 D 上f x,y - 0,f x,y - 0则 Df 0 ；(2) 若在D内任一子区域D D上都有Df 二 0,则在 D 上 f x,y . = 0。7证明：若f在可求面积的有界闭域 D上连续,g在D上可积且不

3、变号，则存在一点, D，使得f x,y g x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分rr dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值 2二重积分的计算1.计算下列二重积分： y -2x dxdy,其中 D= 3,5】 1,2】；D xy2dxdy,其中(i )D= 0,20,3 1( ii )D= 0,3】 0,2】；D! cosx y dxdy,其中 D=D.Dx1 xydxdy，其中 D=0,1 0,11.2.设f(x,y)= fl x f2 y为定义在 D= ai, bj 2, bj上的函数 若fl在lai,b上 可积,f2在a2,b21

4、上可积，则f在d上可积,且3. 设f在区域D上连续 试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域2 2 2D由不等式x y _a与x y 0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序x(1) 0 dx x f (x,y dy ；1 1 x2 jd_12f x,y dy ； 0dy 0 f x,y dy+ dx3dy.5. 计算下列二重积分X专(p0)所围的区域；2(1) i ixy dxdy,其中D由抛物线y=2px与直线D 11 ix2 y2 dxdy,其中 D= ：x,y 0 _

5、 x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x D卄 dxdy(3) . (a0),其中D为图(20 7)中的阴影部分;d 2a -x I l -xdxdy,其中 D=x,y x2 y2 乞 x jD(5) Il xydxdy,其中为圆域 x2 ya2.D6.写出积分11 f x,y dxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D由不等式x y乞1,yx,y-0所确定的区域D由不等式a2 _x2 y2 _b2所确定的区域(3)d= ：x,y x2 y2 zy,x _07用极坐标计算二重积分： Il si n x2 y2dxdy,其中 D= x, y 二2 乞 x2 y2 b, a 3

6、)(2 2 A2 =xy22 b丿F(y)的115. 设f(x,y)=sfn(x-y)，试讨论函数F(y)= l0 f (x, y dx在(一 00严上的连续性并作出图像.2f(x) x0a,b)0, x(a,b) 3三重积分1. 计算下列积分 川$丫十乙2 dxdydz,其中v=匚2,5匚3,3 0,1】;xcosycoszdxdydz,其中 v= 0,1o,?lx .卩冷 I(3) dxdydz，其中、是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域v(1 +x +y +z 3J 111 y cos x z dxdydz,其中 V 是由 y= x ,y=o,z=o 及 x+z=?所围成的区域.2

7、.试改变下列累次积分的顺序 ：1 1 x yodx o dy o f x,y,zdz；1 1 x2 -y2odx ody o f x,y,z dz .x2210dx1dzf x,y,z dy3计算三重积分：(1) iii Z2dxdydz,其中 V 由 X y2 z2 _r2 和 x2 y2 z2 _ 2rz 所确定;1 、1 2_x2 _y 2 odxo dy、，zdz.4利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积(1) Z= x2 y2 ,z=2 x2 y2 ,y=x,y=x2; ； + ()la b 丿 ic 丿a fI =1, (x x 0 , y A 0 , z A 0 ,a0,

8、b0,c0)5设f(x,y,z)在长方体V= a,J c,d】e,f 上可积，若对任何y,z D=c,d】b, f 1b定积分 F(y,z)= f x,y,z dxa存在，证明F(y,z)在D上可积，且F y,z dydz= iiif x,y,z dxdydz.D6.设 v=(x,y,z )务2 2 ,冷咅1计算下列积分:x22 y b2Z2一2 dxdydz； c訂沁dxdydz. 4重积分的应用1.求曲面az=xy包含在圆柱x2 y2二a2内那部分的面积2. 求锥面Z= . x2 y2被柱面Z2=2x所截部分的曲面面积3求下列均匀密度的平面薄板重心 ：2 2半椭圆务 $7 _1,y _0;

9、a b高为h,底分别为a和b的等腰梯形.4求下列均匀密度物体重心 ：(1) z1-X2 -Y2,z 一0; 由坐标面及平面 x+2y-z=1所围四面体.5求下列均匀密度的平面薄板转动惯量 ：(1)半径为R的圆关于其切线的转动惯量 ；边长为a和b,且夹角为的平行四边形关于底边 b的转动惯量量.7计算下列引力：. 2 2 2均匀薄片x y 0)处的单位质量的引力pop均匀柱体x y辽a ,0z乞h 对于P(O,O,c)(ch)处单位质量的引力8求曲面x = b a cos sin0 三 -2y = b acos cos0 _ _ 2z = asin的面积，其中a,b常数且0乞a岂b .9求螺旋面x

10、 = r cos v 0 込 r 玄 ay = rsi n v 0 込 v :二z 二 b)的面积10. 求边长为I的正方形的薄板的质量，该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的 距离成正比，且在正方形中点处密度为 T011. 求边长为a密度均匀的正方体，关于其任一棱边的转动惯量1.设f(x,y!r1,2y,X为无理数x为有理数x,y 产 D= 0,1 1 0,1 1(1) 证明f在D上不可积；1 1(2) 说明dxf(x,ydy存在，并求它的值(3)说明f在D上先x后y的累次积分不存在2设平面上区域 D在x轴和y轴上的投影长度分别为 Lx,Ly, D的面积为l D ,( a , 3 )为D

11、内任一点证明： JJ(x _ayBjdxdy MLxLyADD口 (x _a y _0)dxdyD3试作适当变换，把下列重积分化为单重积分(1) iif x2 y2 dxdy ;X2 y2 勺 jjf Qx2 +y2 dxdy,其中 D= Qx,y py 兰 x , x；D(3) , .f x y dxdy ;|x| ：y|(4) i if xy dxdy，其中 D= x, y x 辽 y 玄 4x ,1 玄xy 辽 2二D4.计算下列积分：(1) Il x ydxdy；0 ?x,y _2(2) i isgn x2 - y2 2 dxdy .x2 Hy2 应(1) f(x,y)= sin2 x

12、 cos2 y ,D= qx ,y 0 _ x : , 0 _ y _ V;2 2 2f x,y,z =x y z ,D= 1x,y,z x2 y2 z2 二 x y zf.6设ai bi Cib2 c2 式 0a3b3 C3求平面aix biy 6z = hia2x b2y c2z 二 h2a3X b3y C3Z 二 h3所界平行六面体体积.7研究函数F(y)=f4dx0 x y的连续性，其中f为0,i上正连续函数3io设f： R3 R是连续可微函数，证明函数b3 b2H(x)= a dzj f(x,y,zdy83 a2xy11.设 F(x,y)= x x -yzf zdz,其中 f 为可微函数,求 FXy x,y .y12. 设f为可微函数，求下列函数F的导数：(1) F(t)= iiif x2 y2 z2 dxdydz ； x2 勺2 4z2 g2 F(t)= I i f xyz dxdydz,其中v= x,y,z 0 x,y,z tl