16.已知ZABC=3ZC,Z1=Z,BE丄AE，求证：
AC-AB=2BE
ZBAC=180-（ZABC+ZC=1804ZC
Z1=ZBAC/2=90-2ZC
ZABE=90-Z仁2ZC
延长BE交AC于F因为，Z1=Z2,BE丄AE
所以，△A是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABCABE=3ZC/C=/CF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B
E
17.
已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7，求
DC
作AG//BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGFsCDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.（5分）如图，在△ABC中，BD=DC,/仁Z2，求证：
AD丄BC.
延长AD至H交BC于H;BD=DC;
所以：
/DBC=/角DCB;/1=/2;
/DBC+/1=/匍CB+Z2;/ABC=/ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
/BAD=/CADAD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
19.（5分）如图，0M平分/POQ,MA丄OP,MB丄OQ,A、B为垂足，AB交0M于点N.
求证：
/OAB=ZOBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用
所以MA=MB所以/MAB=/MBA
因为/OAM=ZOBM=90度
OM，且/MOA=ZMOB
所以/OAB=90/MAB/OBA=90/MBA所以/OAB=/OBA
20.（5分）如图，已知AD//BC,/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证：
AD+BC=AB.
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
•/PA//BC•••/PAB+/CBA=180°,
又•••，AE,BE均为/PA和/CBA勺角平分线
•••/EAB+/EBA=90°AEBE90B为直角三角形在三角形ABF
中，AE丄BF,且AE为/FAB勺角平分线
•三角形FAB为等腰三角形,
AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，/EBC=/DFE,
且BE=EF，/DEF=/CEB，•三角形EF与三角形BEC为全等三角形,
•DF=BC•AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.（6分）如图，△ABC中,
AD是/CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
/C=2ZB
证明：
在AB上找点E,使AE=AC•/AE=AC，/EAD=/CAD,
AD=ADADE◎△ADC。
DE=CD,
/AED=/CvAB=AC+CD,
•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDB/C=/B+/EDB
=2ZB
22.（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
（1）求证：
MB=MD,ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立
请给予证明；若不成立请说明理由.
分析：
通过证明两个直角三角形全等,
即Rt△DECBRt△以及垂线的性质得出四边形BEDF
是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论.
解答：
解:
（1）连接BE,DF.•/DE丄AC于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90D°,BF,在Rt△DE（和Rt△BF中，TAF=CEAB=CD,aRt△DECBRt△BFA,aDE=BF.a四边形
BEDF是平行四边形.aMB=MME=MF;
（2）连接BE,DF.•••DE丄A（于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90°,DE//BF，在
Rt△DEC口Rt△BF中，•/AF=CE,AB=CD,aRt△DECBRt△•BFAE=BF.a四边形BEDF
是平行四边形.AMB=MME=MF.
23.（7分）已知：
如图，DC//AB，且DC=AE,E为AB的中点,
（1）求证：
△AEDBzEBC.
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两
C
个与△AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：
（1）DC//AE，且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知
AD=EC，且/EAD=/BEC。
AE=BE，所以△AED◎△EBC。
（2）△AEC、△ACD、A都面积相等。
24.（7分）如图，△ABC中，/BAC=90度，AB=AC,BD是/ABC的平分线，BD的延长
线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证：
BD=2CE.
证明：
延长BA、CE,两线相交于点F•/BE丄CE/•/BEF=/BEC=90在△BEF和△BEC中/FBE=/CBE,BE=BE,/BEF=/BEC•••△BEF◎△BEC（ASA）/•EF=EC/•CF=2CE
•//ABD+/ADB=90°,/ACF+/CDE=90又v/ADB=/CDE
•••/ABD=/ACF在△ABD和△ACF中
/ABD=/ACF,AB=AC,
/BAD=/CAF=90
•△ABD◎△ACF（ASA）
•BD=CF•BD=2CE
25、（10分）如图：
DF=CE,AD=BC,/D=/C。
求证：
△AED也^FC。
26、（10分）如图:
AE、BC交于点
BE//CF,BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
M,F点在AM上,
C
E
证明：
•••BE||CF•••/E=/CFM,/EBM=/FCM：
BE=CF
•••△BEMBACFM
•BM=CM「.AM是厶ABC勺中线•
27、（10分）如图：
在厶ABC中，BA=BC,D是AC的中点。
求证：
BD丄AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角
们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC
28、（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证明：
在厶ABD^ACD^AB=ACBD=DCAD=AD
•△ABD◎△ACD^ZADB=/ADC：
/
BD在△:
BDC
△FDC中
BD=DC/BDF=/FDDF=DF
FBD◎△FCD•BF=FC
C
29、（12分）如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形
ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE
角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30.公园里有一条
Z”字形道ABCD，如图所示，其中
AB//CD，在AB,CD,BC三段
路旁各有一只小石凳
E,F,M，且BE=CF,M在BC的中点，试说明
三只石凳E,F,M恰好在一条直线上
证：
•••A平行CD（已知）•••/B=/C（两直线平行内错角相等）TM在BC的中点（已知）
•••EM=FM（中点定义）在厶BMEHACM中BE=CF（已知）/B=£（已证）EM=FM
（已证）•△BM等与△CMFSAS）•••£EMB=£FMC（全等三角形的对应角相等）
•••£EMF=£EMB+£BMF=£FMC+£BMF=£BMC=180。
（等式的性质）
•E,M,F在同一直线上
31.已知：
点A、F、E、C在同一条直线上,BE=DF.求证：
△ABE◎△CDF.
证明：
•/AF=CE•AF+EF=CE+EF
•£BEA=£DFC又
•AE=CF•/BE//DF
•/BE=DF
"ABE6
CDASO
32.已知：
如图所示,
AB=AD,
BC=DC,E、F分别是DC、
BC的中点，求证：
AE=AF。
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等
腰△两底角相等得：
角
ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE也ZABF
得AE=AF
33•如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，/
仁£2,£3=£4，求证
£5=£6.
C
因为角1=角2£3=£所以角ADC=角ABC.又因为AC
是公共边，所以AAS==＞三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等
于三角形BEC所以/5=Z6
34.已知AB//DE,BC//EFD,C在AF上，且AD=CF,求证：
△KBC^BEF.
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB
平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F
（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形
全等
35.已知：
如图,
AB=AC，BD
AC,CEAB，垂足分另【J为D、
求证：
BE=CD.
证明：
因为AB=AC,所以/EBC=/DCB
BD丄AC,CE丄AB所以/BEC=/CDB
E,BD、CE相交于点F,
（公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB所以
BE=CD
36、如图，在△ABC中，AD为/BAC的平分线,
DE丄AB于E,DF丄AC于F。
求证：
DE=DF.
AAS证△ADEBZADF
37.已知：
如图，ACBC于C,DEAC于E,AD
=AE.若AB=5,求AD的长？
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
AB于A,BC
BC=AE
△\BC^zDAE
AD=AB=538.如图：
AB=AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证：
MB=MC证明•••AB=AC
•••△AB是等腰三角形•••/B=ZC
又VME=MF,△BEM^ACEM!
直角三角形
•△BE全等于△CEM「.MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结
论（只需写出一种情况），并加以证明.
已知：
求证:
证明:
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中，连AB所以△AD全等于△BCA
所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：
在四边形ABCD中，ZD=ZC,ZA=ZB,求AD=BC因
为ZA+ZB+ZC+ZD=360ZD=ZCZA=ZB,所以2（ZA+ZD）=360；
ZA+ZD=180。
，所以AB//DC
40•在△ABC中，ACB90,ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D,
BEMN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①ADC也CEB;
②DEADBE；
E
（1）证明：
•••/ACB=90,•••/ACD#BCE=90，而
ADLMN
于D,BELMN于E,
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,若不成立，说明理由
•••/ADC=/CEB=90。
，/BCE+/CBE=90°,•/ACD祀©B©•（和在Rt△CE中,
{/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB,
Rt△ADCBRAASCEB'.（AD=CE,DC=BE,
•DE=DC+CE=BE+AD;
（2）不成立，证明：
在△
和ADCCE中,{/ADC=/CEB=90
/ACD=/CBEAC=CB,
•△ADC^ACAASO,
AD=CE,DC=BE,
DE=CECD=AD-BE;
41•如图所示，已知
AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
（1）EC=BF;
（2）EC
丄BF
（1）证明；因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角
CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB
AF=AC所
F
以三角形EAC和三角形FAB全等所以
EC=BF角ECA=角F
（2）
（2）延长FB与EC的延长线交于点
G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为
44.如图，已知AC伯D,EA、
EB分别平分/CAB和/DBA,
CD过点E,贝UAB与AC+BD
角CAF=90度所以EC垂直BF
N
A
证明：
（1）
•/BE丄AC
CF丄AB•
/
ABM+/BAC=90°,
4/
1
\
\
€
\
/ACN+/
BAC=90°/
/ABM=/
ACNvBM=AC,
/
Ae
CN=AB•••△ABM^A
NACaam=an
B
C
（2）
•/△ABMBA
NAC/
•/BAM=/
Nv/N+/
BAN=90°/
/
BAM+/BAN=90。
即
42.如图:
BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
（1）AM=AN
;
（2）AM丄AN。
/MAN=90°aAM丄AN
43.如图，已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC//EF
连接BF、CE,
证明△AB全等于△DE（S（S）,
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
相等吗？
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE为公共边，
所以三角形CAE全等三角形EAN
所以/ANE=/AC又AC平行BD
所以/ACE+/BDE=18而/ANE+/ENB=180
所以/ENB=/BDE/NBE=/BB为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分）如图，已知：
AD是BC上的中线，且DF=DE.求证：
BE//CF.
证明：
•••A是中线•••BD=CD•/DF=DE,
/BDE=/CDFBDE◎△CDF
BED=/CFD•BE||CF
46、（10分）已知：
如图，AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E,
F是垂足，DEBF.
求证：
AB//CD.
证明：
•/DE丄ACBF丄AC,DEC=/
AFB=90在Rt△DEC
和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,•Rt△DEC^Rt△BFA,
•••/C=/A,「.AB//CD.
47、（10分）如图，已知/1=/2,/3=Z4，求证：
AB=CD
48、（10分）如图，已知AC丄AB,DB丄AB,AC=
BE,AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论•
结论：
CE>DE。
当/AE越小，贝UDE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件
知AFDE为平行四边形,
ABEC为矩形，且△DF为等腰三角形。
RT△中AN
AE为锐
角，即/AEB<90
DF//AE/FDB=/AEB<90°△中DFB
/DFB=/DBF=（180-/FDB）/2>45
RT△中，玄FBA=90-ZDBF<45
/AFB=90-ZFBA>45
AB>AF•/AB=CAF=DE/•CE>DE
49、
（10分）如图，已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证：
AE=DE.
先证明△ABC^/BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE^/DCE
得出AE=DE
50.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C
作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：
/ADC
图9
=ZBDE.
证明：
作CG平分/AC交AD于GvZACB=90°二/ACG=
/DCG=45°vZACB=90°
AC=BC•••/B=ZBAC=45°「・ZB=ZDCG=ZACGvCF丄AD「・ZACF+ZDCF=90°
vZACF+ZCAF=90°「・ZCAF=ZDCF•/AC=CBACG=ZACG^^CBE•CG=BE
vZDCG=ZBCD=BD•△CDG◎△BDEADC=ZBDE
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