因为m∈N*，所以m＝1.
（2）因为α，β≥1，f（x）＝2x－1（x≥1），
所以f（α）＋f（β）＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，
所以＋＝（α＋β）
＝
≥＝3.
（当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立）
故＋≥3.
4．
（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：
a3＋b3>a2b＋ab2；
（2）已知a，b，c都是正数，求证：
≥abc.
证明：
（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝（a＋b）（a－b）2.
因为a，b都是正数，
所以a＋b>0.
又因为a≠b，
所以（a－b）2>0.
于是（a＋b）（a－b）2>0，
即（a3＋b3）－（a2b＋ab2）>0，
所以a3＋b3>a2b＋ab2.
（2）因为b2＋c2≥2bc，a2>0，
所以a2（b2＋c2）≥2a2bc.①
同理，b2（a2＋c2）≥2ab2c.②
c2（a2＋b2）≥2abc2.③
①②③相加得2（a2b2＋b2c2＋c2a2）≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc（a＋b＋c）．
由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，
因此≥abc（当且仅当a＝b＝c时取等号）．
5．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.
求证：
＋≥.
证明：
∵≤
＝≤＝1－|xy|，
∴＋≥≥，
∴原不等式成立．
6．（xx·长沙模拟）设α，β，γ均为实数．
（1）证明：
|cos（α＋β）|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin（α＋β）|≤|cosα|＋|cosβ|；
（2）若α＋β＋γ＝0，证明：
|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.
证明：
（1）|cos（α＋β）|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；
|sin（α＋β）|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.
（2）由
（1）知，|cos[α＋（β＋γ）]|≤|cosα|＋|sin（β＋γ）|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥cos0＝1.
7．（xx·重庆模拟）设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.
求证：
（1）2ab＋bc＋ca＋≤；
（2）＋＋≥2.
证明：
（1）因为1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，
当且仅当a＝b时等号成立，
所以2ab＋bc＋ca＋＝（4ab＋2bc＋2ca＋c2）≤.
（2）因为≥，≥，≥，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
8．（xx·贵阳模拟）已知函数f（x）＝2|x＋1|＋|x－2|.
（1）求f（x）的最小值m；
（2）若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：
＋＋≥3.
解：
（1）当x<－1时，f（x）＝－2（x＋1）－（x－2）＝－3x∈（3，＋∞）；
当－1≤x<2时，f（x）＝2（x＋1）－（x－2）＝x＋4∈[3,6）；
当x≥2时，f（x）＝2（x＋1）＋（x－2）＝3x∈[6，＋∞）．
综上，f（x）的最小值m＝3.
（2）证明：
a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，
因为＋＋＋（a＋b＋c）
＝＋＋
≥2＝2（a＋b＋c）．
（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.
2019-2020年高考数学大一轮复习升级增分训练三角函数与平面向量文
1．（xx·宜春中学与新余一中联考）已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|＋|≥||，那么·的取值范围是（ ）
A．[－2,4） B．（－2,4）
C．（－4,2）D．（－4,2]
解析：
选A 依题意，（＋）2≥（－）2，
化简得·≥－2，
又根据三角形中，两边之差小于第三边，
可得||－||＜||＝|－|，
两边平方可得（||－||）2＜（－）2，
化简可得·＜4，∴－2≤·＜4．
2．（xx·江西赣南五校二模）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．
C．－D．－
解析：
选A 由2＝＋可知O是BC的中点，
即BC为△ABC外接圆的直径，
所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，
故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
所以向量在方向上的投影为||·cos∠ABC＝1×cos60°＝．故选A．
3．（xx·石家庄质检）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为（ ）
A．[－，1]B．[－1，]
C．[－1,1]D．[1，]
解析：
选C ∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，
即sin（α－β）＝1，α，β∈[0，π]，
∴α－β＝，又
则≤α≤π，
∴sin（2α－β）＋sin（α－2β）
＝sin＋sin（α－2α＋π）
＝cosα＋sinα＝sin，
∵≤α≤π，∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即所求取值范围为[－1,1]．故选C．
4．（xx·湖南岳阳一中4月月考）设a，b为单位向量，若向量c满足|c－（a＋b）|＝|a－b|，则|c|的最大值是（ ）
A．1B．
C．2D．2
解析：
选D ∵向量c满足|c－（a＋b）|＝|a－b|，
∴|c－（a＋b）|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|，
∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤＝＝2．
当且仅当|a＋b|＝|a－b|，
即a⊥b时，（|a＋b|＋|a－b|）max＝2．
∴|c|≤2．∴|c|的最大值为2．
5．（xx·天津高考）已知函数f（x）＝sin2＋sinωx－（ω＞0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．∪
C．D．∪
解析：
选D f（x）＝＋sinωx－
＝（sinωx－cosωx）＝sin．
因为函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
所以＞2π－π，
即＞π，所以0＜ω＜1．
当x∈（π，2π）时，
ωx－∈，
若函数f（x）在区间（π，2π）内有零点，
则ωπ－＜kπ＜2ωπ－（k∈Z），
即＋＜ω＜k＋（k∈Z）．
当k＝0时，＜ω＜；
当k＝1时，＜ω＜．
所以函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点时，
0＜ω≤或≤ω≤．
6．（xx·全国乙卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11B．9
C．7D．5
解析：
选B 由题意得
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－．
若ω＝11，则φ＝－，
此时f（x）＝sin，f（x）在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
不满足f（x）在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，
此时f（x）＝sin，满足f（x）在区间上单调递减，故选B．
7．（xx·贵州适应性考试）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝，且a≥c，则2a－c的最小值是________．
解析：
由a2＋c2－b2＝2accosB＝ac，
所以cosB＝，则B＝60°，又a≥c，
则A≥C＝120°－A，
所以60°≤A＜120°，
＝＝＝＝2，
则2a－c＝4sinA－2sinC
＝4sinA－2sin（120°－A）
＝2sin（A－30°），
当A＝60°时，2a－c取得最小值．
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c，当tan（A－B）取最大值时，角B的值为______．
解析：
由acosB－bcosA＝c及正弦定理，
得sinAcosB－sinBcosA＝sinC
＝sin（A＋B）＝（sinAcosB＋cosAsinB），
整理得sinAcosB＝3cosAsinB，
即tanA＝3tanB，
易得tanA＞0，tanB＞0，
∴tan（A－B）＝＝
＝≤＝，
当且仅当＝3tanB，
即tanB＝时，tan（A－B）取得最大值，
此时B＝．
答案：
9．（xx·浙江高考）已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．
解析：
由于e是任意单位向量，可设e＝，
则|a·e|＋|b·e|＝＋
≥
＝＝|a＋b|．
∵|a·e|＋|b·e|≤，∴|a＋b|≤，
∴（a＋b）2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6．
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，
∴a·b≤，∴a·b的最大值为．
答案：
10．（xx·湖北省七市（州）协作体联考）已知函数f（x）＝sinx＋cosx（x∈R）．
（1）若α∈[0，π]且f（α）＝2，求α；
（2）先将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小值．
解：
（1）f（x）＝sinx＋cosx
＝2
＝2sin．
由f（α）＝2，得sin＝，
即α＋＝2kπ＋
或α＋＝2kπ＋，k∈Z．
于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z．
又α∈[0，π]，
故α＝．
（2）将y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得到y＝2sin的图象，
再将y＝2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，
得到y＝2sin的
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