高考物理总复习解题方法专题精细讲解专题五求解变力做功的方法学案42.docx
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高考物理总复习解题方法专题精细讲解专题五求解变力做功的方法学案42
专题五：
求解变力做功的方法
1．等值法
若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算该恒力做的功，求出该变力做的功．恒力做功又可以用W＝Fscosα计算．
例1如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进s至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β.求滑块由A点运动到B点的过程中，绳的拉力对滑块所做的功．（不考虑绳、滑轮的摩擦和滑轮的质量）．
解析 设绳对滑块的拉力为T，显然T与F大小相等，细绳的拉力在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．拉力F的大小和方向都不变，可以用公式W＝Fscosα直接计算．由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的位移大小为
Δs＝s1－s2＝－
故WF＝F·Δs＝Fh.
答案 Fh
2．功率法
若功率恒定，可根据W＝Pt求变力做的功．
例2一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t，其速度由0增大到v.已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力．求这段时间内列车通过的路程．
解析
错解：
以列车为研究对象，水平方向受牵引力F和阻力f.
根据P＝Fv可知牵引力F＝P/v，
设列车通过的路程为s，根据动能定理有（F－f）s＝Mv2，
联立解得s＝.
正解：
以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力．设列车通过的路程为s，根据动能定理有WF－Wf＝Mv2－0.因为列车功率一定，由P＝，可知牵引力做的功WF＝Pt，联立解得s＝.
答案
3．动能定理法
由做功的结果——动能的变化来求变力做的功，即W＝ΔEk.
例3一环状物体套在光滑水平直杆上，能沿杆自由滑动，绳子一端系在物体上，另一端绕过定滑轮，用大小恒定的力F拉着，使物体沿杆自左向右滑动，如图所示，物体在杆上通过a，b，c三点时的动能分别为Ea，Eb，Ec，且ab＝bc，滑轮质量和摩擦均不计，则下列关系中正确的是（ ）
A．Eb－Ea＝Ec－Eb
B．－Eb－EaC．Eb－Ea>Ec－Eb
D．Ea解析 设绳对物体的拉力为T，拉力F等于T.T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，由Flcosα及ab＝bc知Wab>Wbc，根据动能定理判断．C正确．A，B错误；又由a经b到c，拉力一直做正功，故物体的动能一直在增加，选项D正确．
答案 CD
4．功能关系法
某种力做功与某种能对应，如重力、电场力做功分别与重力势能、电势能相对应，可根据相应能的变化求对应的力做的功．
例4面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水密度的，质量为m，开始时，木块静止，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，求：
从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功．
解析 解法一：
因水池面积很大，可忽略因木块压入而引起的水深的变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来画线区域的水被推开，相当于这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量为：
ΔE水＝mgH－mg＝mga
木块势能的改变量为：
ΔEm＝mg－mgH＝－mga
根据动能定理，力F做的功为：
W＝ΔE水＋ΔEm＝mga.
解法二：
从开始到木块完全没入水中的过程，力F所做的功为变力功．也可画出F－s图象，做功在数值上等于F－s图线与位移s轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F与位移s成正比，从开始到完全没入水中，力F的位移为a，作出F－s图象如图，据图象可求得做功W＝×amg＝mga.
答案 mga
5．平均力法
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式W＝Fscosθ来求功．
6．图象法
如果参与做功的力是变力，方向与位移方向始终一致而大小随时间变化，我们可作出该力随位移变化的图象．如图所示，那么曲线与坐标轴所围的面积，即为变力做的功．
例5用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.问击第二次时，能击入多少深度？
（设铁锤每次做功相等）
解析
解法一：
平均力法
铁锤每次做的功都用来克服铁钉阻力，但摩擦阻力不是恒力，其大小与铁钉的击入深度成正比，即f＝kx，而摩擦阻力可用平均阻力来代替．
如图甲所示，第一次击入深度为x1，平均阻力＝kx1，做功为W1＝1x1＝kx.
第二次击入深度为x1到x2，平均阻力2＝k（x2＋x1），
位移为x2－x1，
做功为W2＝2（x2－x1）＝k（x－x）．
两次做功相等W1＝W2，解得x2＝x1＝1.41cm，故Δx＝x2－x1＝0.41cm.
解法二：
图象法
因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象，如图乙所示．曲线与横坐标轴所围面积的值等于阻力F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有：
S1＝S2（面积），
即kx＝k（x2＋x1）（x2－x1），
故Δx＝x2－x1＝0.41cm.
答案 0.41cm
7．极限法（极端法）
极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论的思维方法．
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特的作用，恰当地应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简．
例6如图所示，用竖直向下的恒力F通过跨过光滑定滑轮的细线拉动静止在光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A、B、C三点，设AB＝BC，物体经过A、B、C三点时的动能分别为EkA，EkB，EkC，则它们之间满足的关系是（ ）
A．EkB－EkA＝EkC－EkBB．EkB－EkAC．EkB－EkA>EkC－EkBD．EkC<2EkB
解析 此题中物体受到的拉力大小恒定，但与水平方向的夹角逐渐增大，属于变力做功问题，求拉力做的功可转化为恒力做功问题．设物体在A、B、C三点时到滑轮的距离分别为L1、L2、L3，则W1＝F（L1－L2），W2＝F（L2－L3），要比较W1和W2的大小，只需要比较（L1－L2）和（L2－L3）的大小．由于从L1到L3的过程中，绳与水平方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L1与水平方向的夹角很小，推到接近于0°时，则L1－L2≈AB；L3与水平方向的夹角较大，推到接近90°时，则L2－L3≈0，由此可知，L1－L2>L2－L3，故W1>W2，再由动能定理可判断C、D正确．
答案 CD
8．微元法
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再对“元过程”运用必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到解决．
当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力的方向与位移的方向同步变化，则可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为是恒力做功，那么总功即为各个小元段做功的代数和．
例7如图所示，将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶，且拉力总是与物体所经过的坡面平行，已知物体与坡面的动摩擦因数为μ，山脚到山顶的水平距离为s，求将物体从山脚拉到山顶克服摩擦力做多少功？
解析 物体在拉力作用下从山脚拉到山顶，由于摩擦力在山坡的不同位置方向、大小都发生变化，要求出克服摩擦力所做的功，可通过取一微元段进行分析，最后求得摩擦力做的总功．如图，设想物体在山坡上通过一微元段ΔL时，摩擦力的大小为f，当ΔL很小时，可认为摩擦力为恒力．
所以物体克服摩擦力做功：
ΔW＝fΔL＝μmgcosθΔL＝μmgΔs，
故克服摩擦力做的总功：
W＝∑ΔW＝μmgs.
答案 μmgs
9．补偿法
有些问题从表面上看无从下手，或者由题设条件很难直接求解．但是，在与原题条件不相违背的前提下，如果适当地补偿一定的物理模型、物理装置，或者一定的物理过程、物理量等，补缺求整，往往可使问题由“繁”变“简”，从而解决问题．这种思维方法称为补偿法．
例8如图所示，质量为M的机车，牵引质量为m的车厢在水平轨道上匀速前进，某时刻车厢与机车脱钩，机车在行驶L路程后，司机发现车厢脱钩，便立即关闭发动机让机车自然滑行，该机车与车厢运动中所受阻力都是其车重的k倍，且恒定不变．试求当机车和车厢都停止运动时，机车和车厢的距离．
解析 所求机车与车厢的距离等于车厢与机车脱钩后二者位移之差，题中只涉及位移、力、速度，故可利用牛顿运动定律、动能定理等多种知识求解．
解法一：
运用动能定理求解
所设各量如题图所示，对机车脱钩后的全过程应用动能定理
对机车：
F·L－kMg·s1＝0－Mv2
对车厢：
－kmg·s2＝0－mv2
列车原来做匀速运动，故有F＝k（M＋m）g
联立可得s1－s2＝L.
解法二：
补偿法
某时刻车厢与机车脱钩，若司机同时发现车厢脱钩，立即关闭发动机让机车自然滑行，那么该机车与车厢最终会停于同一点．司机晚发现，则牵引力对机车多做的功应等于机车多克服摩擦力做的功，即k（M＋m）gL＝kMg·s，
解出s＝（M＋m）L/M.
答案 （M＋m）L/M
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