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线性规划单形法

第五章線性規劃:

單形法

本章內容：

5.1單形法之代數原理

5.2表格型

5.3建立初始單形表

5.4解的改進

5.5計算下一個表

5.6表格型:

一般情形

5.7解極小化問題

5.8特殊情形

⏹5.1單形法之代數原理

例：

海德公司要為Ｄ型電腦及Ｐ型電腦發展一種週生產排程。

Ｄ型電腦每件利潤50元，Ｐ型電腦每件40元。

下一週的生產最多有150小時可用在裝配，每件Ｄ型需３小時裝配，Ｐ型需５小時裝配。

另外，海德公司目前只有20台Ｐ型電腦的顯示器存貨，所以Ｐ型電腦最多只能裝配20件，每件Ｄ型需８平方尺，每件Ｐ型需５平方尺儲存空間，該公司只有300平方尺倉庫可用來存儲新產品。

試以單形法求出其最適解及總利潤。

令：

X1＝D型裝配件數X2＝P型裝配件數

則Max50X1＋40X2＋0S1＋0S2＋0S3（5.1）

s.t.3X1＋5X2＋1S1＝150（5.2）

1X2＋1S2＝20（5.3）

8X1＋5X2＋1S3＝300（5.4）

X1，X2，S1，S2，S3≧0（5.5）

●單形法之代數性質：

1.n個變數＞m個限制式方程式→無限多解（上例中，變數為X1，X2，S1，S2，S3共5個，限制方程式共3個，由於

5（變數）＞3（限制式）→無限多解）。

2.任何不滿足非負值限制的解都不要（上例中任何X1，X2，S1，S2，S3均需“≧”0）。

●找一個基本解

●基本解：

要找基本解，令n－m個變數等於零，再解剩下m個變數的m個限制式。

上例中有5個變數，3個方程式。

令2個（＝5－3）變數等於零，解其他三個變數的三個聯立限制方程式。

上例中，若令X2＝0，S1＝0，則限制式為：

3X1＝150，S2＝20，8X1＋S3＝300

解聯立限制方程式得X1＝50，S2＝20，S3＝－100及X2＝0，S1＝0，此解為一“、50，＝20，＝－100300________________________________________________________________________________________________________________基本解”。

●被令為零的變數稱為非基本變數（nonbasicvariable），剩餘的變數稱為基本變數（basicvariable）。

上例中X2，S1為非基本變數，X1，S2，S3為基本變數。

●基本可行解為一基本解，且滿足非負值條件。

●上例中S3＝－100，所以例子存有非合理解。

●若令X1，X2為非基本變數（X1＝0，X2＝0），則限制式為S1＝150，S2＝20，S3＝300，因此得解為X1＝0，X2＝0，S1＝150，S2＝20，S3＝300，由於每一變數都≧0，所以此解為基本合理解。

海德公司基本合理解共有五個，如下所示：

極點X1X2S1S2S3

0015020300

75/2072/2200

3012080

50/32000200/3

020500200

結論：

（1）線性規劃合理區的每一個極端點都是基本合理解，其中有一極端點必為最適基本合理解。

（2）單形法是一個反覆的步驟，從一個基本合理解（極端點）起到另一個基本合理解（極端點），直至尋到最適基本解（極端點）為止。

⏹5.2表格型

●表格型目的：

在單形法中需要一個基本合理解作為起始點，表格型的目的即在尋找起始點，其原因為表格型具備找到「起始基本合理解」之二特性：

1.若能滿足以下二條件才能找到基本解：

（1）對每一個限制式，m個基本變數（在上例中S1，S2，

S3為基本變數）中只能有一個變數在該式的係數必

須是1，而在此式的其他基本變數的係數均為零。

如

上例第一個限制式中為1S1，0S2，0S3；第二個限制

式為0S1，1S2，0S3；第三個限制式為0S1，0S2，1S3。

（2）每個基本變數的係數，只有在一個限制式是1。

如上

例限制式中之1S1，1S2，1S3。

2.需要RHS值為非負值。

滿足以上二特性，稱之為表格型。

結論：

只要數學模式之限制式為“≦”及“非負值”者，即已為表格型了。

上例中，所有條件都是小於等於型的線性規劃問題，因此很容易找到起始基本合理解。

只要簡單的令決策變數等於零而解惰變數即可。

注意，惰變數就等於右手邊數值。

X1＝0，X2＝0，S1＝150，S2＝20及S3＝300為起始基本合理解，這個解相當於用原點，極端點為起始合理解。

●單形法求解線性規劃問題的準備步驟：

（1）建立模型；

（2）加入惰變數或減去剩餘變數以建立標準型；（3）建立表格型。

⏹5.3建立初始單形表

在線性規劃轉變為表格型之後，即有一個起始基本合理解用以啟動單形法。

因此需先建立初始單形表。

●初始單形表之表示法：

Max：

Z=C1X1+C2X2+……

s.t.：

a11X1+a12X2+……≦b1

a21X1+a22X2+……≦b0

c列=目標函數係數的列數。

b行=限制式右邊值的行數。

A矩陣=限制式中變數係數的m列n行矩陣。

（c列）

C1C2…Cn

（A矩陣）

a11a12…a1n

a21a13…a2n

ﾐﾐ…ﾐ

a1a2…amn

b1︵

b2Ｂ

ﾐ行

bm︶

上例初始單形表如下：

X1X2S1S2S3

基底CB

5040000

S10

S20

S30

35100

01010

85001

150

300

因初始單形表已表格化了，所以很容易找到起始基本合理解。

（1）每個基本變數所對應的行，只有1在非零的位置。

這種行稱為單位行或單位向量。

（2）配合每個基本變數只有一列，這列有1在相當於基

本變數的單位行的地方。

上例中，基本變數：

S1＝b1＝150，S2＝b2＝20，S3＝b3＝300，因此起始基本合理解為：

X1＝0，X2＝0，S1＝150，S2＝20及S3＝300。

計算列（當增加1單位，目標函數值減少的量）

Z1＝0（3）＋0（0）＋0（8）＝0Z2＝0（5）＋0

（1）＋0（5）＝0

Z3＝1（0）＋0（0）＋0（0）＝0Z4＝0（0）＋0

（1）＋0（0）＝0

Z5＝0（0）＋0（0）＋0

（1）＝0

計算Cj－Zj列（當Xj增加1單位，對目標函數的淨改變量）

Cj－Zj＝50－0＝50Cj－Zj＝40－0＝40

Cj－Zj＝0－0＝0Cj－Zj＝0－0＝0

Cj－Zj＝0－0＝0

目前基本合理解的利潤：

Z＝150（0）＋20（0）＋300（0）＝0

基底

150

300

Cj－Zj

CB：

基本變數在目標函數的係數目標函數值

Zj：

第j行的變數帶入基本變數，造成目標函數值減少的量（MC）

Cj－Zj：

目標函數的淨改變量（淨評估列MR-MC）

X1：

設X2仍為非基本變數，若X1改為基本變數，將使S1減少3，S2減少0，S3減少8

X2：

設X1仍為非基本變數，X2改為基本變數，將使S1減少5，S2減少1，S3減少5

⏹5.4解的改進

單形法的工作即在變換變數，亦即由目前非基本變數中選一個變數，便之成為基本變數（進入變數），而目前的基本變數成為非基本變數（退出變數），如此反覆的交換，直至尋得一改善目標函數值的新基本合理解。

選擇新變數進入基底的判定準則：

由淨評估列（Cj－Zj）中，選擇每增加一個單位，能使目標函數改善程度最大者為新進入的基底變數，當數值相同時，選擇最左邊的一個。

上例中，選X1為進入變數，使之成為基本變數。

自目前基底移出一個變數的判定準則（最小比率測試）：

假設進入基本變數來自單行表A矩陣的第j行，對每一列i，計算每個aij＞0者的bi∕aij比值，最小的比值所對應的基本變數就離開基底。

在數值相同的情形；選擇最上面的一個。

B1∕a1＝150∕3＝50B2∕a2＝20∕0＝－

B3∕a3＝300∕8＝37.5

上例中，選S3為退出變數，使之成為非基本變數。

bi∕aij

基底

150

300

150∕3＝50

－

300∕8＝37.5

Cj－Zj

樞紐元素樞紐行（進入行）利潤樞紐列

（退出列）

註：

步驟（從生產面來看）

1.生產何種產品？

MR-MC最大值（最適化條件）

2.生產多少數量？

選擇bi/aij最小值（可行性條件）

⏹5.5計算下一個表

更新單形表（亦即使新的基本變係數變成一單位行）。

上例中即為使X1行變成與S3行相似。

X1S3

︵︵

3→0＝a11

0變為0＝a21

81＝a31

︶︶

基本列運算法：

1.將任何列（方程式）乘以一個非零值。

2.將任何一列乘以若干倍加到另一列。

基本列運算法不會改變限制式的解，但會改變限制式中各變數的係數及RHS值。

注意：

區別aij、aij、bij、bij。

（1）要使a31＝1，則將樞紐列乘以（1/8）

1/8（8X1＋5X2＋0S1＋0S2＋1S3）＝1/8（300）

X1＋5/8X2＋0S1＋0S2＋1/8S3＝75/2（新樞紐列）

（2）要使a11＝0，則將新樞紐列乘以（3）

3（1X1＋5/8X2＋0S1＋0S2＋1/8S3）＝3（75/2）

3X1＋15/8X2＋0S1＋0S2＋3/8S3＝225/2

將上例中之第一列減上式：

（3X1＋5X2＋1S1）－（3X1＋15/8X2＋3/8S3）＝150－225/2

∴0X1＋25/8X2＋1S1－3/8S3＝75/2

（3）a21＝0∴不再做任何基本列運算

新的單形表如下：

基底

25/8

5/8

-3/8

1/8

75/2

Cj－Zj

1875

得限制式如下：

25/8X2＋1S1－3/8S3＝75/2

1X2＋1S2＝20得改變原限制式各變數係數

1X1＋5/8X2＋1/8S3＝75/2及RHS值

令X2＝0，S3＝0（非基本變數）

得S1＝75/2，S2＝20，X1＝75/2

Z＝0（75/2）＋0（20）＋50（75/2）＝1875

●解釋每一循環的結果

起始基本合理解（極端點）→新基本合理解（極端點）：

X1＝0X1＝75/2

X2＝0X2＝0

S1＝150S1＝75/2

S2＝20S2＝20

S3＝300S3＝0

Z＝0Z＝1875

倉儲空間

Ｐ型

顯示器

裝配時間

可行區域

D型

圖5.2海德公司問題的可行區及極點

●移向更好的解

以上方法反覆進行：

Z1＝0（0）＋0（0）＋50

（1）＝50

Z2＝0（25/8）＋0

（1）＋50（5/8）＝250/8

Z3＝0

（1）＋0（0）＋50（0）＝0

Z4＝0（0）＋0

（1）＋50（0）＝0

Z5＝0（-3/8）＋0（0）＋50（1/8）＝50/8

bi∕aij

基底

25/8

5/8

-3/8

1/8

75/2

75/2／25/8＝12

20/1＝20

75/2／5/8＝60

Cj－Zj

250/8

70/8

50/8

-50/8

1875

X2S1

︵︵

25/8→1＝a12

1變為0＝a22

5/80＝a32

︶︶

（1）要使a12＝1，則將樞紐列乘以（8/25）

8/25（0X1＋25/8X2＋1S1＋0S2－3/8S3）＝8/25（75/2）

0X1＋1X2＋8/25S1＋0S2－3/25S3＝12（新樞紐列）

（2）要使a22＝0，則將上表中之第二列減去新樞紐列

（0X1＋1X2＋0S1＋1S2＋0S3）－（0X1＋1X2＋8/25S1＋0S2－3/25S3）＝20－12

0X1＋0X2－8/25S1＋1S2＋3/25S3＝8

（3）要使a21＝0，則將新樞紐列乘以（5/8）

5/8（0X1＋1X2＋8/25S1＋0S2－3/25S3）＝5/8（12）

0X1＋5/8X2＋1/5S1＋0S2－3/40S3＝15/2

將上表中之第三列減上式

（1X1＋5/8X2＋0S1＋0S2＋1/8S3）－（0X1＋5/8X2＋5/25S1＋0S2－3/40S3）＝75/12－15/2

1X1＋0X2－5/25S1＋0S2＋5/25S3）＝30

經過運算之後的單形表如下：

基底

8/25

-8/25

-5/25

-3/25

3/25

5/25

Cj－Zj

14/5

-14/5

26/5

-26/5

1980

得限制式如下：

X2＋8/25S1－3/25S3＝12

-8/25S1＋S2＋3/25S3＝8改變單形法第二表限制式

X1－5/25S1＋5/15S3＝30各變數係數及RHS值

基本解X2＝12，S2＝8，X1＝30，S1＝0，S3＝0

Z＝40（12）＋0（8）＋50（30）＝1980

極端點→

極端點

X1＝25/2S2＝20X1＝30S2＝8

X2＝0S3＝0X2＝12S3＝0

S1＝75/2Z＝1875S1＝75/2Z＝1980

●最適解判斷準則：

當所有淨評估列（Cj－Zj）的元素均為零或負值時，線性規劃問題的最適解就已達成。

此時，最適解就是目前的基本可行解。

●說明最適解

●單形法摘要

●單形法步驟摘要：

1.建立問題的線性規劃模式。

2.在每個限制條件添加惰變數使成為標準型。

對所有條件式都是小於等於型的問題，這也是用來找出初始基本可行解所需的表格型。

3.建立初始單形表。

4.選擇在淨評估列擁有最大值的非基本變數進入基底變數，找出樞紐行，也就是對應進入變數的行。

5.在樞紐行j中選擇aij＞0，bi/aij比例最小的列為樞紐列，此列的基本變數為將要離開基底的變數。

6.進行必要的基本列運算，使進入變數的行變成單位行，其樞紐列的元素為1。

（1）將樞紐列的每一個元素除以樞紐項（位於樞紐列及樞紐行的元素）。

（2）將樞紐列乘以適當的值後加到其他的列，以使樞紐行的其他元素為0。

完成之後，可以由bi行的值得到新的基本可行解。

7.檢查是否最適解。

如果各行的Cj－Zj≦0，則我們已找到最適解，否則回到第4步。

⏹5.6表格型：

一般情形

●若所有限制程式均為小於等於零，及RHS值為“非負”，只要加“惰變數”即可。

●大於等於限制式

例：

Max50X1＋40X2

s.t.3X1＋5X2≦150裝配時間

1X2≦20P型顯示器

8X1＋5X2≦300倉儲空間

1X1＋1X2≧25最低總產量X1，X2≧0

↓標準型：

在標準型中令X1＝X2＝0（基本解）

得S1＝150，S2＝20，S3＝300，S4＝－25

∵S4＝－25∴有非合理解

Max50X1＋40X2＋0S1＋0S2＋0S3＋0S4

s.t.3X1＋5X2＋1S1＝150

1X2＋1S2＝20

8X1＋5X2＋1S3＝300

1X1＋1X2－1S4＝25X1，X2，S1，S2，S3，S4≧0

↓表格型（人為變數artificialvariable）

Max50X1＋40X2＋0S1＋0S2＋0S3＋0S4－Ma4

s.t.3X1＋5X2＋1S1＝150

1X2＋1S2＝20

8X1＋5X2＋1S3＝300

1X1＋1X2－1S4＋1a4＝25

X1，X2，S1，S2，S3，S4≧0

在表格型中令X1＝X2＝S4＝0，得S1＝150，S2＝20，S3＝300，a4＝25，滿足單形表之基本合理解，但不能滿足所有限制條件，如：

X1＋X2≧25（X1＝X2＝0），因此不合理，為達實際合理解只須以人為變數求出起始合理解，而後再於問題達最適解時，將人為變數消除。

人為變數消除的方法：

（重點：

人為變數目的在於求一起始基本合理解）。

在目標函數中，給每個人為變數一個很大的成本即可將人為變數消除。

上例中，給人為變數a4一個非常大的負值當做利潤，a4在基底內會大量減少利潤，如此a4會從基底中消除，即目標函數為：

Max50X1＋40X2＋0S1＋0S2＋0S3＋0S4－Ma4

反之，在最小化問題中，目標函數改為

Min50X1＋40X2＋0S1＋0S2＋0S3＋0S4＋Ma4

人為變數，只是用來找起始基本合理解，只要人為變數離開基本合理解，就可以立刻將人為變數自單形表中去掉。

當所有人為變數都自基底中消除，即表該問題已得到一基本合理解了。

基底

-M

-1

150

300

Cj－Zj

-M

50＋M

-M

40＋M

-M

-25M

-3

-1

-3

-8

100

因X1+X2≧25（X1=X2=0）明顯不合理，因此為達實際合理解，需將人為變數消除

Cj－Zj

-10

-50

-M-50

1250

繼續完成之單形法如下：

基底

25/8

-3/8

5/8

-3/8

1/8

75/2

25/2

75/2

X2＝0，

S3＝0

Cj－Zj

250/8

70/8

50/8

-50/8

1875

5/25

-8/25

3/25

-5/25

-3/25

3/25

2/25

5/25

S1＝0，

S3＝0

Cj－Zj

14/5

-14/5

26/5

-26/5

1980

●若問題已達最適解（所有Cj－Zj均“≦”0），但仍有一個或多個人為變數仍在基底中，則此問題“無合理解”。

●等式限制式

例：

6X1＋4X2－5X3＝30

↓加人為變數

6X1＋4X2－5X3＋1a1＝30（表格型）

●清除負的右手邊值

例：

X2≦X1－5

↓移項

－X1＋X2≦－5

↓各項乘（－1），使RHS成“非負值”

X1－X2≧5（表格型）

例：

6X1＋3X2－4X3≧－20

↓各項乘（－1），使RHS成“非負值”

－6X1－3X2＋4X3≦20

●表格型建立步驟摘要

⏹5.7解極小化問題

若為極小化問題，只需將目標函數乘以（－1），使其成為極大化問題，即可求得最適解，但所求得之目標函數值需乘以（－1），使其還原為原來極小化問題之目標函數值。

例：

Min2X1＋3X2

s.t.1X1≧125產量A需求量

1X1＋1X2≧350總產量

2X1＋1X2≦600生產時間X1，X2≧0

↓目標函數乘（－1）

Max－2X1－3X2

s.t.1X1≧125產量A需求量

1X1＋1X2≧350總產量

2X1＋1X2≦600生產時間X1，X2≧0

↓表格化

Max－2X1－3X2＋0S1＋0S2＋0S3－Ma1－Ma2

s.t.1X1－1S1＋a1＝125

1X1＋1X2－1S2＋1a2＝350

2X1＋1X2＋1S3＝600

X1，X2，S1，S2，S3，a1，a2≧0

起始單形表如下：

基底

-2

-3

-M

-1

125

350

600

Cj－Zj

-2M

-2+2M

-M

-3+M

-M

-475M

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