北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定二基础.docx

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北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定二基础

全等三角形判定二（SAS）（基础）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边角边”；

2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

3.探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定4——“边角边”

1.全等三角形判定4——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：

如图，如果AB＝

，∠A＝∠

，AC＝

，则△ABC≌△

.注意：

这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

要点二、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

　　　已知条件

　　可选择的判定方法

　　一边一角对应相等

　　SASAASASA

　　两角对应相等

　　ASAAAS

　　两边对应相等

　　SASSSS

要点三、如何选择三角形证全等

1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

1．证明线段相等的方法：

（1）证明两条线段所在的两个三角形全等.

（2）利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

（3）等式性质.

2．证明角相等的方法：

（1）利用平行线的性质进行证明.

（2）证明两个角所在的两个三角形全等.

（3）利用角平分线的判定进行证明.

（4）同角（等角）的余角（补角）相等.

（5）对顶角相等.

3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4．辅助线的添加:

（1）作公共边可构造全等三角形；

（2）倍长中线法；

（3）作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

（4）利用截长（或补短）法作旋转变换的全等三角形.

5.证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定4——“边角边”

1、（2016•云南模拟）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：

△EBC≌△FCB．

【思路点拨】首先根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，再根据等式的性质可得BE=CF，然后再利用SAS判定△EBC≌△FCB．

【答案与解析】

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AE=AF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF

即BE=CF，

在△EBC和△FCB中，

，

∴△EBC≌△FCB（SAS）．

【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD

证明：

延长AE交CD于F，

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BD＝BE

在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）

∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°

∴AE⊥CD

【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.

举一反三：

【变式】（2014•雁塔区校级模拟）如图，由∠1=∠2，BC=DC、AC=EC，最后推出△ABC≌△EDC的根据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

【答案】A．

解：

∵∠1=∠2

∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD

又∵BC=DC，AC=EC

∴△ABC≌△EDC（SAS）

类型二、全等三角形的性质和判定综合

3、（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（　　）

　A.甲乙B．丙C．乙丙D．乙

【思路点拨】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．

【答案】C．

【解析】

解：

已知图1的△ABC中，∠B=50°，BC=a，AB=c，AC=b，∠C=58°，∠A=72°，

图2中，甲：

只有一个角和∠B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；

乙：

符合SAS定理，能推出两三角形全等；

丙：

符合AAS定理，能推出两三角形全等；

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

举一反三：

【变式】如图，已知：

AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：

BD＝CE.

【答案】

证明：

∵AE⊥AB，AD⊥AC，

∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.

在△DAB与△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（ASA）

∴BD＝CE.

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：

在△DEH和△DFH中，

∴△DEH≌△DFH（SSS）

∴∠DEH＝∠DFH．

【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.

举一反三：

【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？

【答案】

证明：

在△OPE与△OPD中

∵

∴△OPE≌△OPD（SSS）

∴∠EOP＝∠DOP

∴OP平分∠AOB.

【巩固练习】

一、选择题

1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　）

A.∠A　　　　B.∠B　　　C.∠C　　　D.∠B或∠C

2.（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

　A．AB=CDB．EC=BFC．∠A=∠DD．AB=BC

3．（2016•东城区一模）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（　　）

A．29米B．58米C．60米D．116米

4．如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

5．如图，将两根钢条

，

的中点O连在一起，使

，

可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则

的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△

的理由是（）

A.边角边　　　　B.角边角　　C.边边边　　　　D.角角边

6．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）

A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB

二、填空题

7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.

8．（2016春•灵石县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第　　块去配，其依据是根据定理　（可以用字母简写）

9.（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是　　．（只填一个即可）

10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.

11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝_______．

12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.

三、解答题

13.（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：

△ABF≌△CDE．

14.（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．

（1）求证：

AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：

AE＝DE.

【答案与解析】

一.选择题

1．【答案】A；

【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°.

2.【答案】A

3．【答案】B；

【解析】解：

在△ABC和△DEC中，

，

△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE=58米，

故选：

B．

4．【答案】C；

【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.

5．【答案】A；

【解析】将两根钢条

，

的中点O连在一起，说明OA＝

，OB＝

，再由对顶角相等可证.

6．【答案】D；

【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED＋AB＝BC＋CD＝DB.

二.填空题

7．【答案】66°；

【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝

，所以∠DCB＝

∠ABC＝25°＋41°＝66°

8．【答案】③，ASA；

【解析】解：

因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．

故答案为：

③；ASA．

9.【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF

10.【答案】56°；

【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.

11.【答案】20°；

【解析】△ABE≌△ACD（SAS）

12.【答案】△DCB，△DAB；

【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.

三.解答题

13.【解析】

证明：

∵AB∥DC，

∴∠C=∠A，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（SAS）．

14.【解析】

（1）证明：

在△ABC和△DFE中,

，

∴△ABC≌△DFE（SAS），

∴∠ACE=∠DEF，

∴AC∥DE；

（2）解：

∵△ABC≌△DFE，

∴BC=EF，

∴CB﹣EC=EF﹣EC，

∴EB=CF，

∵BF=13，EC=5，

∴EB=

=4，

∴CB=4+5=9．

15.【解析】

证明：

在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠ABC＝∠DCB，

在△ABE和△DCE中

∴△ABE≌△DCE（SAS）

∴AE＝DE.