第六章习题解答.docx

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第六章习题解答

习题六

6-1、某潜艇声纳发出超声波，其振幅为，频率为，波长，波源振动的初相.求：

（1）该超声波的表达式；

（2）距波源处质元的振动方程.

解：

设波函数的表达式为

代入已知条件化简得该超声波的表达式为

把x=2m代入上表达式得相应的振动方程

6-2一横波在沿绳子传播时的表达式为

（1）求波的振幅、波速、频率及波长；

（2）求绳上的质点振动时的最大速度；

（3）分别画出和的波形，并指出波峰和波谷.画出处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.

解：

（1）用比较法，由

得振幅、波速、频率及波长

；

；

（2）绳上的质点振动时的最大速度为

（3）时的波形方程为

时的波形方程为

处质点的振动方程为

6-3一简谐波沿x轴正方向传播，时的波形图如题图6-3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为，求各点的初相.

解：

由时的波形图（图中虚线）和波的传播方向,作出时的波形图（图中实线）,依旋转矢量法可知

质点1的初相为;

质点2的初相为;

质点3的初相为0;

质点4的初相为.

6-4有一平面谐波在空间传播，如题图6-4所示，已知a点的振动规律为，a、b两点间距为L，就图中给出的三种坐标，分别写出它们的波动表达式。

并说明这三个表达式中描写b点处的质点的振动规律是否一样?

解:

设其波长为λ,选O点处为坐标原点,由方程；可得取图中所示的坐标,则x处质点的振动比a点滞后，故

题图6-4（a）波动表达式为

同理可得题图6-4（b）波动表达式为

题图6-4（c）波动表达式为

要求距a为b的点的振动规律，只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得。

从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点，波的表达式在形式上有所不同，但b点的振动方程却不变。

即

6-5波源的振动方程为它所激起的波以的速度在一直线上传播.求

（1）距波源处一点的振动方程；

（2）该点与波源的相位差.

解：

（1）设波源在坐标原点，依已知条件，可知波函数为

把代入波函数可得相应的振动方程为

（2）两点间的相位差为

（即该点比波源的相位滞后）.

6-6一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅，波的角频率，当时，处的质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而处的质点正通过点向y轴正方向运动.设该波波长，求该平面波的波方程.

解：

设平面简谐波的波长为，坐标原点处质点振动初相为，则该列平面简谐波的表达式可写成

时，处

此时质点向y轴负方向运动，故

而此时,质点正通过处，有

且质点向y轴正方向运动，故

由

（1）、

（2）两式联立得

，

所以，该平面简谐波的表达式为

6-7已知一平面简谐波的波方程为

（1）分别求两点处质点的振动方程；

（2）求、两点间的振动相位差；

（3）求点在时的振动位移.

解：

（1）、的振动方程分别为

（2）与两点间相位差

（3）点在时的振动位移

B

A

题图6-8

6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为.

（1）以A点为坐标原点写出波方程；

（2）以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程.

解：

（1）以A点为坐标原点波的表达式为

（2）以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为

则波的表达式为

6-9有一平面简谐波在介质中传播，波速，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75m处的一点P的振动方程为,求：

（1）波向x轴正向传播的波方程；

（2）波向x轴负向传播的波方程.

解：

（1）设以处为波源，沿轴正向传播的波方程为

在上式中，代入，并与该处实际的振动方程比较可得

因此向x轴正向传播的波方程为

（2）设沿轴负向传播的波方程为

在上式中，代入，并与该处实际的振动方程比较可得

因此向x轴负向传播的波方程为

6-10一平面谐波沿Ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6-10所示.求:

（1）P点处质点的振动方程;

（2）此波的波动方程；

（3）若题图6-10中,求O点处质点的振动方程.

解:

（1）从题图6-10中可见,且，所以，则P点处质点的振动方为

（2）向负方向传播的波动方程为

（3）把代入波动方程即得

6-11一平面简谐波的频率为500Hz，在空气（）中以的速度传播，达到人耳时的振幅为.试求波在人耳中的平均能量密度和声强.

解：

波在耳中的平均能量密度

声强就是声波的能流密度，即

6-12一余弦空气波,沿直径为的圆柱形管传播,波的平均强度为,频率为300Hz,波速为.问：

（1）波中的平均能量密度和最大的能量密度各是多少?

（2）每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量?

解:

（1）因为

所以平均能量密度

最大的能量密度

（2）两个相邻同相面间的波段所对应的体积为

两个相邻同相面间的波段中含有多少能量

6-13在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波动表达式分别为

与，试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。

解：

（1）设合振幅最大处的合振幅为，有

式中

因为当时，合振幅最大，即有

所以，合振幅最大的位置为

（k=0,1,2,…）

（2）设合振幅最小处的合振幅为，有

式中

因为当时，合振幅最小，即有

所以，合振幅最小的位置为

（k=0,1,2,…）

6-14相干波源,相距11m,的相位比超前.这两个相干波在与连线和延长线上传播时可看成两等幅的平面余弦波，它们的频率都等于100Hz，波速都等于.试求在、的连线之间，因干涉而静止不动的各点位置.

解：

取、连线为x轴，向右为正，以为坐标原点.令.

取P点如图.由于，从、分别传播来的两波在P点的相位差

由干涉静止的条件可得

得（）即

x=1,3,5,7,9,11m为干涉静止点.

6-15一微波探测器位于湖岸水面以上0.5m处，另一发射波长21cm的单色微波的射电星从地平线上缓慢升起，探测器能测出信号强度的极大值和极小值.当接收到第一个极大值时，射电星位于湖面以上什么角度？

解：

如解图6-15所示，P为探测器，射电星直接发射到P点波

（1）与经过湖面反射有相位突变的波

（2）在P点相干叠加，波程差为

（取k=1）

整理得

解得

6-16如题图6-16所示，,为两平面简谐波相干波源.的相位比的相位超前，波长，，在P点引起的振动振幅为0.30m，在P点引起的振动振幅为0.20m，求P点的合振幅.

解：

分振动在该点的相位差为

合振幅由分振动的振幅为

6-17题图6-17中A、B是两个相干的点波源，它们的振动相位差为（反相）。

A、B相距30cm,观察点P和B点相距40cm，且.若发自A、B的两波在P点处最大限度地互相削弱，求波长最长能是多少？

解：

在P最大限度地削弱，即两振动反相.现两波源是反相的相干波源，故要求因传播路径不同而引起的相位差等于。

由图得.

所以

解得

，

6-18如题图6-18所示，两列相干波在P点相遇.图中，，若一列波在B点引起的振动是；另一列波在C点引起的振动是；两波的传播速度，不考虑传播途中振幅的减小，求P点的合振动的振动方程.

解：

第一列波在P点引起的振动的振动方程为

第二列波在P点引起的振动的振动方程为

P点的合振动的振动方程为

6-19一驻波中相邻两波节的距离为，质元的振动频率为，求形成该驻波的两个相干行波的传播速度和波长.

解：

波长

波速

6-20两波在一很长的弦线上传播，其波动表达式分别为

求：

（1）两波的频率、波长、波速；

（2）两波叠加后的节点位置；

（3）叠加后振幅最大的那些点的位置.

解：

（1）与波动的标准表达式对比可得

，

波速

（2）节点位置即

（3）波腹位置即

6-21在弹性介质中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为．若在处有一介质分界面，且在分界面处反射波相位突变，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．

解：

反射波在x点引起的振动相位为

反射波表达式为

或

6-22两列纵波传播方向成90o，在两波相遇区域内的某质点处，由甲波引起的振动方程是乙波引起的振动方程是求时该点振动位移的大小.

解:

时，两振动在相遇点同相，引起的位移大小分别是，.因两振动方向相互垂直，所以，相遇点振动位移的大小为

6-23若在同一介质中传播的频率为1200Hz和400Hz的两声波有相同的振幅，求

（1）它们的强度之比；

（2）两声波的声强级差.

分析由强度公式求解。

解：

（1）由可得

（2）由声强级公式,则两声波声强级差为

6-24一辆救护车鸣笛的频率为1600Hz，当救护车超过一骑自行车的人后，骑车人测得频率是1590Hz，自行车的速率是.求救护车的速率大小（设超车后，自行车与救护车在同一直线上行驶）.

解：

依题意可知，波源和观察者都是运动的，因此有

因波源远离观察者，故上式中Vs取负，则有

把，代入上式计算得