大学高数空间解析几何2.docx
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大学高数空间解析几何2
11
1
曲面方程的概念
如果曲面s与三元方程F（x,j,z）=O满足:
（1）曲面s上任一点的坐标都满足方程
F（xj^z）=O
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程.
二平面及其方程
例1设有点A（1,2,3）与B（2,-1,4）,求与线段AB垂直平分的
平面方程・
所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹
设平面上任一点为A/（x,j,z）
AM\=\Mn
I（X・1）2+（y・2）2+（z-3）2=V（x-2y+6+iy+（z-4）2
化简得2x-6j+2z-7=0—所求平面方程
平面的一般方程
适合下列条件的平面方程Ax+B\+Cz^D=0仃什么特征？
I.过原点0=0
2•平行于他标轴
3•包含坐标轴
平行于X4=0
包含
X4=0
Q=0
v/?
=o
>^B=0
D=0
2C=0
zC=0
Q=（）
4•平行于坐标平面
平行于XOY面
4=0B=Q
zox®
4=0C=0
YOZifii
B=0C=0
例2作Z-2的图形.
三、球面及其方程
例3建立球心在点Mo（myo,z„）半径为R的球而
的方程.
设是球面上的任一点
\MAM=R
J（X-Xo）2+Cv-几）'+（z・zj承
+ZH
OXZ——HA
THPG
WOZZ
XHXZ
（on）吕舍
sHJ+X•I\7卜乙——K\—/
丟逗迂膜低丫OHd+XzIJ+w
Z=JQ■宀b
上半部
例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:
2
点的全体所组成的曲面方程•
解设M（兀jsz）是曲面上任一点
根据题意有-=1
恨俯惣恵月IMMJ2
J（X・2）,+（y-3）2+（Z-4）,2
所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」
四旋转曲面
定义以一条平曲线纟翹
平面上的一条直线旋黔
一周所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转曲面
的轴.
旋转面的方程
曲线卩（”Z）=0
lx=0
曲线C〔八”乙）二。
lx=o
亠
lz
1
I
J
曲线Ct/Ozi；=0lx=o
-rw
茨转一周猖祓转曲面S
VM（x,y,z）
€S
z,-z
IV,l=A/PI=>/P^h
X
J
旋他的方程
曲线卩g）=。
绕轴
[x=0
我转一周得祓转曲面s
VM{x,y,z）eS
S
z,=z,
Iy,1=\mA=J宀h
s：
/（土J宀凡z）=0
〃yoz坐标面上的已知曲线/（jQ=O旋转一周的
旋转曲面方程为
/（±V+b5z）=o
特点：
⑴绕z轴旋转，/（J<）=0中Z不变
（2）用土替换/（J,z）=0中的y
"yoz坐标面上的已知曲线/（j，z）二0绕y轴
旋转一周的旋转曲面方程为
/C'十g+z2）=o
特点：
（1）绕J轴旋转，/（J忆）二0中y不变
（2）用土時替换/®z）=0中的Z
双曲线
双叶旋转双曲面
得双叶旋转双曲面F
丄2y2+乙2
7”21
上題双曲线Jr
z=o
绕y轴一周
21
单叶旋转双曲面
”2屮盯
上题双曲线“贾
z=o
绕y轴一周
Aw—i
单叶旋转双曲面
上題双曲线
绕y轴一周
得单叶旋转双曲面
”2+2,
两条相交直线1
—0”2b*
绕*轴一周
旋转锥面
两条相交直线
绕X轴一周
X
旋转锥耐条相交直线I
二丄=0
绕X轴一周
得粽转锥面■
丄2,n
V；-=°a
b~
X
旋转拋物曜
旋转抛物面
y
旋转抛物面
2得旋转抛物面2二宀『2
环面BI（X一/o’+=r^（R>r>0）绕v轴旋转所成曲面
♦y•
hl
圆（乂一尺T+y2=rA（R>r>0）绕y轴旋转所成曲面
定义平行于定直线并沿定曲线c移动的直线丄所形成的曲面称为柱面.
准线：
C母线：
L
0
示母銭平行于乙轴的柱*
曲面S上每一点都满足方程;
曲面S外的每•点都不满足方%
般柱面尺
''in<‘
示母钱平行于*轴的柱面
〉*
柱郦例:
抛物柱面
母线平行于薜由
准线
$2-2px
IZ=O
指出下列方程在空间直角坐标系所表示的曲
圆柱面
母线平行于Z轴，准线+
六二次曲面
定义三元二次方程所表示的曲面称之.
HI
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截5考察其交线（即截痕）的形状5然后
加以综合，从而了解曲面的全貌.
截痕法
用Z二〃截曲面用y二加截曲面
椭球面的几种特殊情况：
*2.2
（1）a=b'飞+杯+笃二1旋转肅球面aaC
由椭圆2+2=1绕Z轴旋转而成•迓C
+食二1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面Z=Zi（lz,\…耳Z）
截面上圆的方程
⑵a=b=s":
+1+2；=1球而
方程可写为”2十护十/二亍•
一MJv<二
Rffi魏o=A旺
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口双曲抛物面（马鞍面）
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