奇妙的圆周率.docx

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奇妙的圆周率

奇妙的圓周率

作者：

陳易承、張怡文、蔡珮臻

陳靜儀、張良杰、劉仲軒

指導老師：

劉宜真、柯慶輝

壹、研究動機

我們這次之所以會選擇用圓周率來當作這次科展的主題，是因為我們在上數學課的時候，剛好教到了圓周率，起初我們還不以為意，可是當我們聽到了圓周率有這麼奧妙，就決定要來好好的研究圓周率。

我找了兩位同學，一下課，我就趕忙的跑到老師的座位，問老師說：

我們可以參加這一年一度的科展嗎？

老師高興的說：

當然可以囉！

之後我和其他兩位同學就開始努力的找尋資料，剛開始找的時候我們吃了很多苦頭，可是只要想到老師一直支持我們、鼓勵我們心裡就又開始燃燒起來。

雖然，在做的過程中我們發生了許多問題，組員們也有失落的時候，可是為了贏得冠軍，我們一定奮鬥到底。

貳、研究目的

根據前言所描述，我們擬定了以下三項研究目的：

一、從文獻資料中探討圓周率的求法。

二、蒐集周遭環境中各類圓形器物，求出它的圓周長和直徑的比值。

三、嘗試以圓內接正多邊形探究圓周率的近似值。

四、從圓周率驗證操場跑道起跑線的劃設。

貳、文獻探討

一、圓周率的意義

我們所蒐集到的有關圓周率的意義，如下面所列出：

所謂的圓周率就是指圓周長和直徑長的比。

不管圓的大小，圓周長大約都是直徑得3.1415926………倍，這個倍數叫做圓周率（國立編譯館，民87）

圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比。

【.tw/New/Multimedia/china/A-2-2_display.htm（上網查詢時間：

3月22日上午8：

00）】

圓周率就是圓周長與直徑的比率，通常以希臘字母π來表示此符號，由數學家歐拉（Euler）首倡。

【.hk/math/history/5/5_5/5_5_12.htm（上網查詢時間：

3月20日上午10：

20）】

二、圓周率的發展

（一）根據地理區域來劃分

從文獻的整理發現，圓周率的發展可以從它的地理區域來劃分：

1.古希臘時期的圓周率

阿基米德《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是古希臘的阿基米德，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3

<π<3

，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。

2.中國古代的圓周率

中國古算書《周髀算經》（約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。

中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。

南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7。

3.古埃及時期的圓周率

歷史上曾採用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（

）4≒3.1604。

4.西方時期的圓周率

密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。

此外，德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，之後他投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值使用他的名字稱為魯道夫數。

1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式，此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。

1706年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。

1873年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。

到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。

1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。

1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1億位數，創下新的紀錄。

【網址：

/page3.html（上網查詢時間：

91年3月18日11：

15）。

】

（二）根據方法演進來劃分

如果根據解圓周率的方法來劃分，圓周率的發展通常可分為四個時期：

1.實驗時期；2.幾何法時期；3.分析法時期；4.計算機時期。

1.實驗時期：

圓周率之測定常憑直觀推測或實物度量而得。

例如賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書（約產生於公元前1650年），其中記載圓面積的算法為直徑減去它的1/9，然後加以平方，按照這個方式計算，則圓周率大約是3.16049。

舊約聖經中也有圓周率為3的記述。

在中國也使用3粗率之值，中國古書「九章算術」第一章方田引題：

「今有圓田，周三十步，徑十步，為田幾何？

」就認定π為3。

2.幾何法時期：

阿基米德用幾何的方法，證明了圓周率是介於3又1/7與3又10/71之間，現在人們常利用22/7來計算π的近似值。

公元150年左右，希臘天文學家托勒密（Ptolemy），製作一個弦表（正弦函數表的雛形）來計算圓周率，其值為377/120=3.1416，比阿基米德更為進步。

九章算術第一章方田的第32題有提到計算圓面積的法則：

「術曰：

半周半徑相乘得積步。

」，若圓面積為A、圓周長為C、半徑為r，則A=（C×r）/2；如果我們用現在已經知道的圓周公式C=2πr代入，則A=πr2就是圓面積的公式，可見這個敘述是正確的，劉徽在九章註解上便給了詳盡的證明，並且順便也算出比較精確的圓周率為157/50（此亦稱為徽率），劉徽所用的方法是「割圓術」，劉徽曾說：

「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。

」也就是利用圓內接正n邊形，然後讓n越來越大以求圓周長的近似值，不過當年還未能引進極限的觀念，所以不管圓內接正n邊形的n有多大，始終只是近似值。

劉徽之後二百年，約在南北朝時期，祖沖之（西元429～500年），在圓周率上的計算有更大的突破，他已經算出：

3.1415926＜π＜3.1415927；也就是算出π的近似值到小數點後第七位，這是相當精密的圓周率。

3.分析法時期：

這一時期人們開始擺脫利用多邊形周長的繁雜計算，而利用無窮級數或無窮連乘積來計算π。

4.計算機時期：

1946年，世界第一台電子計算機EMAC製造成功，人類歷史正式邁進了資訊時代，1949年EMAC根據梅欽公式計算π值到小數點後第2035位，時間花了70小時，當計算機的發展不斷更新，計算π值的記錄也紛紛被打破，1960年尚克斯和倫奇（Wrench,英人），算到小數點後第100,265位，1967年吉尤（Guilloud,法人）算到小數點後第500,000位，1987年已有人算到第2936萬位以上，進入90年代後紀錄已經超過10億位了。

【.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/piTOP.htm（上網查詢時間：

3月19日5：

12）】

四、研究的方法

由文獻的探討可知，求圓周率的方法大約可分為四種：

有實驗法、幾何方法、分析法和電子計算機。

由於我們只是小學的學生，受知識和能力的限制，在這一次的研究中，我們將採取前兩種方法，藉首先，我們將蒐集各類文獻中有關圓周率的各項資料，以了解圓周率的發展。

第二，由實作的方式蒐集周遭環境中各類圓形器物，以實際測量的方法，求出它的圓周長和直徑的比值，以推估圓周率的可能大小。

第三，是利用幾何的方法，由研究小組的同學實際畫出圓的內接多邊形與外切正多邊形，藉由多邊形的周長和直徑的比值，驗證前一項實驗法的精確程度。

最後，我們實際測量操場跑道的畫設，以了解跑道起跑線位置與圓周率的關係。

伍、結果與討論

1、從文獻資料中探討圓周率的求法

根據我們所蒐集到的資料，圓周率大約可分為實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期，但因為我和小組組員的能力和智力有限，所以在此我們只簡單介紹實驗時期和幾何法時期的內容，

（一）實驗期的內容：

很久以前（阿基米德之前），π值之測定常憑直觀推測或實物度量而得。

賴因德紙草書記載圓面積的算法為直徑減去它的1/9，然後加以平方，按照這個方式計算，則圓周率大約是3.16049。

劉鰴發現：

當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後，多邊形的周長會越來越逼近圓周長，而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積。

於是，劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係，從正六邊形開始，逐步把邊數加倍：

正十二邊形、正二十四邊形，正四十八邊形……，一直到正三○七二邊形，算出圓周率等於三點一四一六。

 祖沖之在劉徽研究的基礎上，進一步地發展，經過既漫長又煩瑣的計算，一直算到圓內接正二四五七六邊形，而得到一個結論：

圓周率的值介於三點一四一五九二六和三點一四一五九二七之間；同時，他還找到了圓周率的約率：

22∕7、密率：

355∕113。

祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值，把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位。

（二）幾何法時期的內容：

在魏晉時（西元263年），數學家劉徽以割圓數求得π=3.141024，劉徽的割圓術是:

1.圓內接一個正六邊形，求得六邊形的一邊邊長等於此圓的半徑2.圓內接正六邊形推算得圓內接正十二邊形，再推算得圓內接正二十四邊形，以此類推…3.然而圓內接正多邊形時，此多邊形則接近圓形。

由以上的資料可知，在實驗期求圓周率是依靠直觀推測和實物量測得來，我們推測在這個時期由於受到人體感官敏銳度、量測技術的限制、人為誤差的影響等因素的影響，因此，所能求出的小數位數較少，準確值也有限。

到了幾何時期，由於數學的進步，因此能跨越直觀推測和實物量測的限制，而能運用數學的原理，以計算的方式來推論圓周率的小數值，在求小數位數以及準確值方面都獲得進步。

我們將各時期求算圓週率的方式與成果，列於表

（一）中：

表

（一）圓周率發展分期

期別

由圓周率的方式

圓周率的值

實驗時期

圓周率之測定長憑直觀推測或實物度量，例如：

賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書。

圓周率的值大約是3.16049。

幾何法時期

希臘天文學家扥勒密（Ptolmey），製作一個弦表（正弦函數表的雛形）來計算圓周率，其值為377/120＝3.1416，比阿基米德更為進步。

祖沖之已經算出：

3.1415926＜π＜3.1415927。

分析法時期

這一時期人們開始利用無窮級數或無窮連乘積來計算π。

到了1873年計算π值至小數點後第767位。

計算機時期

1949年EMAC根據梅欽公式計算圓周率值到小數點後第2035位。

到了90年代後圓周率的位值紀錄已經超過10億位了。

由上表我們發現，隨者方法與科學技術的進步，圓周率能求得的位數就越多，也越精確，特別是資訊科技的進步，使得計算機時期的圓周率位值已超過了十億位了，而且更加精確；相反地，早期的實驗法時期，所求得的圓周率值只有3.16049。

此外，我們從上表也發現，圓周率的準確值，在實驗時期只有小數以下一位，但是到了幾何法時期祖沖之所求出的圓周率精確值以到達小數以下第六位了。

從上面的分析，我們也知道一個國家的數學能力，可以從所能求出的圓周率位值來展現。

2、從周遭環境中蒐集各類圓形器物，求出它的圓周長和直徑的比值

為了尋找週遭環境中各類圓形的器物，求出它的圓周長和直徑的比值，於是我們這一組去搜尋班上同學所測量出來的圓形器物，這些資料是先以皮尺或繩子測量再以直尺量出長度。

在蒐集到的100多筆資料中，我們把一些誤差較大以及重覆的資料刪除，把其它比較完整的資料製作成表

（二）：

表

（二）：

周遭環境中各類圓形器物的圓周長和直徑的比值

物件名稱

圓周長

直徑

圓周長與直徑的比值

鏡子

405公分

12公分

3.375公分

時鐘

118.5公分

15公分

3.764公分

盒子

100公分

25公分

4公分

垃圾桶

94公分

29.5公分

3.18644公分

盆子

94公分

29.5公分

3.18644公分

垃圾桶

84公分

26公分

3.23076公分

盤子

70公分

25公分

2.8公分

盒蓋

59.4公分

18公分

3.3公分

垃圾桶

50公分

15公分

3.3公分

錏鈴的模片

47公分

13.5公分

3.48148公分

鏡子

40.5公分

12公分

3.375公分

瓶蓋

39.8公分

11.6公分

3.4310344公分

水桶蓋

36公分

10.8公分

3.3333333公分

桶子底部

35公分

10.7公分

3.245公分

瓶子

30公分

8.7公分

3.206公分

小鏡子

30公分

10公分

3公分

杯蓋

27.5公分

8公分

3.4375公分

雙面膠

20公分

10公分

2公分

瓶蓋

16公分

4.5公分

3.5555555公分

杯蓋

27.5公分

8公分

3.4375公分

雙面膠

20公分

10公分

2公分

瓶蓋

16公分

4.5公分

3.5555555公分

糖果蓋

15公分

5公分

3公分

水桶蓋

13.4公分

3.8公分

3.5263157公分

寶特瓶的蓋子

10公分

3公分

3.33333公分

我們總共整理出25筆資料，從上表來看，這些資料的圓周長度的範圍是從10公分到100公分，為了瞭解圓周長的長短對於以實際求圓周長與直徑比值的影響，我們把它分為三大類，分類的方法根據100÷3=33，分類的標準如下：

第一類大圓周：

周長範圍67到99公分。

第二類中圓周：

周長範圍34到66公分。

第三類小圓周：

周長範圍1到33公分。

表

（二）資料符合第一類大圓周分類標準的周長是70公分到100公分，表中另有二筆118.5和405公分的資料，因為只有兩筆，又超過100公分，因此歸類到第一類大圓周，統計符合第一類大圓周的資料共有7筆。

符合第二類中圓周分類標準的周長是從35公分到59.4公分，屬於第二類中圓周的資料也有7筆。

而符合第三類小圓周分類標準的周長是10公分到30公分，共有11筆資料。

由表

（二）我們得到，第一類圓周的長度是從70公分到118.5公分，圓周長與直徑的比值，最低的是2.8，最高的是4，平均是3.32。

第二類圓周的長度是從35公分到59.4公分，圓周長與直徑的比值，最低的是3.3，最高的是3.48148，平均是3.36。

第三類圓周的長度是從10公分到30公分，圓周長與直徑的比值，最低是2，最高是3.55556，平均是3.11。

從上敘述，我們發現：

圓周的長度越小，圓周長與直徑的比值所求出來的平均就越接近圓周率。

可是應該是圓周的長度越長，圓周長與直徑的比值所求出來的平均才是接近圓周率（國立編譯館，民87；康軒五上數學教學指引）。

我們根據討論的結果，應該是測量時有一些誤差，或者是物體本身不是圓形的，只是接近橢圓的圓罷了。

三、嘗試以圓內接正多邊形探究圓周率的近似值

接下來，我們三個人用圓規畫半徑10公分的圓，再園內畫出正三邊形、正六邊形、正十二邊形和正二十四邊形的周長，我們把各個邊形的邊加起來，求出平均數，再和前一個正多邊形比較差距。

我們首先量出正多邊形的周長，將結果記錄在表（三）中。

表（三）：

內接正多邊形的周長

名字

正三角形

正六邊形

正十二邊形

正二十四邊形

珮臻

51.9公分

60公分

62.09公分

61.69公分

怡文

51.6公分

60公分

61.6公分

61.5公分

易承

51.5公分

60公分

61公分

62.7公分

平均

51.7公分

60公分

61.56公分

61.96公分

差距

（8.3）（1.56）（0.4）

發現：

1.當圓內接正多邊形邊數越多時，它的周長就越接近62.8公分。

2.當圓內接正多邊形邊數越多時，它的平均就越接近62.8公

分。

3.當圓內接正多邊形邊數越多時，它的周長和前一個正多邊形的差距會越小。

4.當圓內接正多邊形邊數越少時，它的周長就會離62.8公分很遙遠。

5.當圓內接正多邊數越少時，我們三個人所測量出來的周長求出平均，會越小。

6.當圓內接正多邊形邊數越少時，它就會和後一個正多邊形的差

距越大。

從上表求出圓內接正多邊形的周長之後，我們現在要求圓內接正多邊形周長和直徑的比值，因為是以20公分為直徑，所以我們直接以周長除以20，結果紀錄在表（四）。

表（四）：

內接正多邊形的周長和直徑的比值

名字

正三角形

正六邊形

正十二邊形

正二四邊形

珮臻

3.46

3

3.105

3.085

怡文

3.46

3

3.08

3.075

易承

3.46

3

3.05

3.135

平均

3.46

3

3.078

3.098

差距

（0.46）（0.078）（0.02）

發現：

從上表我們發現，當圓內接正多邊形邊數越多時，它的周長與直徑的比值就越大，例如圓內接正三邊形的周長與直徑的比值平均剛好是3，正十二邊形的周長與直徑的比值平均是3.078，而正二十四邊形的周長與直徑的比值平均是3.098。

但是圓內接正多邊形的周長最多也只是和圓的周長相等，因此，我們推測圓內接正多邊形的周長與直徑的比值，並不會一直增加，而會固定在某一個數字。

四.嘗試以圓外切正多邊形探究圓周率的近似值。

我們畫完圓內接正多邊形之後，我們求得正二十四邊形的周長與直徑的比值平均是3.098。

我們現在要畫外接正多邊形，我們這次不畫正三邊形的原因是因為紙張不夠大，還有因為畫正三邊形對我們的實驗沒有提供任何的幫助，所以我們從正六邊形開始著手，首先，我們還是一樣以20公分作為直徑，然後先在紙上畫出10公分的半徑，再來用圓規畫出一個圓，然後用360度÷6就等於60度，再來在圓面上畫出兩條60度的線，然後加上直徑就等於有3條線了，之後畫線在圓的邊邊記得要切割的剛剛好，然後再把切割的線依依連起來，就形成了一個正六邊形。

之後十二邊形和二十四邊形都依此類推……。

表（五）：

外切正多邊形的周長

姓名

正六邊形

正十二邊形

正二十四邊形

珮臻

69.2公分

63.45公分

61.76公分

怡文

69.3公分

64.28公分

64.3公分

良杰

67.45公分

66.2公分

62.04公分

平均

68.65公分

64.64公分

62.7公分

差距

（4.01）（0.69）

根據上表，我們得到下列發現：

1.當圓外切正多邊形邊數越多時，它的周長會越小。

2.當圓外切正多邊形邊數越多時，我們三個人所測量出來的周長求出平均，會越小。

3.當圓外切正多邊形邊數越多時，外切正多邊形周長的差距會越小。

我們知道了，雖然外切正多邊形的周常會隨著邊數的增加而減少，但是因為是外切的正多邊形，因此周長一定會和圓的周長一樣。

把圓外切正多邊形的周長以後，現在要求出周長和直徑的比值。

因為我們是以20公分為直徑。

我們求出各外切正多邊形的周長與直徑的比值，並將結果記錄在表（六）中。

表（六）圓外切正多邊形周長和直徑的比值

名字

正六邊形

正十二邊形

正二十四邊形

珮臻

3.46公分

3.1725公分

3.088公分

怡文

3.465公分

3.21公分

3.215公分

良杰

3.3725公分

3.31公分

3.102公分

平均

3.4325公分

3.23公分

3.135公分

差距

（0.2025）（0.095）

從表（六）我們發現：

當圓外切正多邊形的邊數越多時，圓外切正多邊形的周長和直徑的比值越小，而且隨著邊數的增加，這項比值得差會越小，因此我們可依推測，隨著圓外切正多邊形的邊數增加，這項比值最後會是一個固定的值。

綜合表（四）和表（六）的發現，圓的周長介於圓內接正多形周長與圓外切正多邊形周長之間，這個關係可以用下面的數學式子表示：

圓內接正多形周長＜圓的周長＜圓外切正多邊形周長

因此，由於圓的直徑是固定的，求圓周長與直徑的比值，可以得到下面的關係式：

圓內接正多形周長與直徑的比＜圓的周長與直徑的比＜圓外切正多邊形周長與直徑的比

又因為，圓的周長與直徑的比就是圓周率，上面的式子又可轉換成下式：

圓內接正多形周長與直徑的比＜圓周率＜圓外切正多邊形周長與直徑的比

因此，圓周率的大小就介於圓內接正多形周長與直徑的比與圓外切正多邊形周長與直徑的比之間。

根據本研究的結果表（四）和表（六），我們所求得的圓周率是介於3.098與3.135之間。

不過，根據文獻資料的紀錄，圓周率的大小是3.14159……，大於3.135，可見我們的成果與實際是有誤差的。

經過小組的討論，我們認為這些誤差可能來自於畫圓、決定內接與外切圓、以及測量周長的誤差，特別是後面兩項，一直是我們在做本研究時困擾，特別是多邊形的邊數增加後。

四、從圓周率驗證操場跑道起跑線的劃設

（一）話說從頭

本學期學校新舖設的PU跑道落成啟用，美輪美奐的跑道將校園點綴得更加漂亮，跑道上畫上的白色跑道線是用來劃分跑道的，讓每一位跑步的同學都能安全不受干擾地在屬於自己的跑道上跑步。

不過，我們卻對起跑線的畫設感到好奇，因為起跑線的畫設並未在同一條線上（如圖

（一）所示），這樣怎麼會公平呢？

我們決定請教老師。

老師告訴我們，如果比賽的跑道是直線的，為了公平起見，起跑線是在同一條直線上；但是如果跑道是彎曲的，那麼就要考慮彎曲的部分對於每一道距離的影響，老師建議我們可以去驗證起跑線和彎道的關係。

（二）構思

操場的跑道是橢圓的，兩邊彎道的部分是半圓所構成的。

為了求出彎道部分的長度，我們要先量出最內圈的圓的直徑，並量出每一道跑道的寬度。

在運用求圓周長的公式，來找出彎道與起跑線的關係。

北

司令台

圖

（一）學校操場跑道圖

（三）實際測量與計算

1.測量彎道直徑

為了量出圓的直徑，並避免因為操場施工所產生的誤差，我們在操場的三個不同位置（如圖

（一）所示）量出它的寬度分別為32.5、32.57及32.62公尺。

然後計算它的平均值：

（32.5+32.57+32.62）÷3＝32.56（近似值）

我們求出操場半圓跑道（彎道）的直徑為32.56公尺。

2.計算每一條彎道周長及差距

接著我們測量每一條跑道的寬度，發現每一條跑道的寬度均為1.027公尺。

由於跑道在直線的部分，從第一道到第五道，每一道的距離都相同，唯一的差別就在彎道的部分，扣掉中間直線的部分，操場兩邊的彎道可以看成是一個圓，我們可以發現在彎道部分的每一道，均為直徑大小不同的圓。

若我們將跑道寬度取近似值為1公尺，那麼我們可以求得每一道的圓周長：

第一道：

32.56×3.14＝102.2384公尺

第二道：

（32.56+2）×3.14＝32.56×3.14+2×3.14=108.5184

第三道：

（32.56+2+2）×3.14＝32.56×3.14+2×3.14+2×3.14

＝114.7984

第四道：

（32.56+2+2+2）×3.14＝32.56×3.14+2×3.14+2×3.14+2×3.14＝121.0784

第五道：

（32.56+2+2+2+2）×3.14＝32.56×3.14+2×3.14+2×3.14+2×3.14+2×3.1