奇妙的圆周率.docx

1、奇妙的圆周率奇妙的圓周率作者：陳易承、張怡文、蔡珮臻陳靜儀、張良杰、劉仲軒 指導老師：劉宜真、柯慶輝壹、研究動機我們這次之所以會選擇用圓周率來當作這次科展的主題，是因為我們在上數學課的時候，剛好教到了圓周率，起初我們還不以為意，可是當我們聽到了圓周率有這麼奧妙，就決定要來好好的研究圓周率。我找了兩位同學，一下課，我就趕忙的跑到老師的座位，問老師說：我們可以參加這一年一度的科展嗎？老師高興的說：當然可以囉！之後我和其他兩位同學就開始努力的找尋資料，剛開始找的時候我們吃了很多苦頭，可是只要想到老師一直支持我們、鼓勵我們心裡就又開始燃燒起來。雖然，在做的過程中我們發生了許多問題，組員們也有失落的時候

2、，可是為了贏得冠軍，我們一定奮鬥到底。貳、研究目的根據前言所描述，我們擬定了以下三項研究目的：一、從文獻資料中探討圓周率的求法。二、蒐集周遭環境中各類圓形器物，求出它的圓周長和直徑的比值。三、嘗試以圓內接正多邊形探究圓周率的近似值。四、從圓周率驗證操場跑道起跑線的劃設。貳、文獻探討一、圓周率的意義我們所蒐集到的有關圓周率的意義，如下面所列出：所謂的圓周率就是指圓周長和直徑長的比。不管圓的大小，圓周長大約都是直徑得3.1415926倍，這個倍數叫做圓周率（國立編譯館，民87）圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比。【.tw/New/Multimedia/china/A-2-2_display.htm

3、（上網查詢時間：3月22日上午8：00）】 圓周率就是圓周長與直徑的比率，通常以希臘字母來表示此符號，由數學家歐拉（Euler）首倡。 【.hk/math/history/5/5_5/5_5_12.htm（上網查詢時間：3月20日上午10：20）】 二、圓周率的發展（一）根據地理區域來劃分 從文獻的整理發現，圓周率的發展可以從它的地理區域來劃分：1.古希臘時期的圓周率阿基米德幾何原本（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是古希臘的阿基米德，他在圓的度量（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，

4、得到33，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的值。2.中國古代的圓周率中國古算書周髀算經（ 約公元前2世紀）中有徑一而周三的記載，也認為圓周率是常數。中國數學家劉徽在注釋九章算術時（263年）只用圓內接正多邊形就求得的近似值，也得出精確到兩位小數的值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。3.古埃及時期的圓周率歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過

5、實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取=（）43.1604 。4.西方時期的圓周率密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。此外，德國數學家柯倫於1596年將值算到20位小數值，之後他投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值使用他的名字稱為魯道夫數。1579年法國數學家韋達給出的第一個解析表達式 ，此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種 值表達式紛紛出現，值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將值計算到小數點後707位，可

6、惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。電子計算機的出現使值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首次用計算機（ENIAC）計算值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷2型和IBMVF型巨型電子計算機計算出 值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。【網址：/page3.html（上網查詢時間：91年3月18日11：15）。】 （二）根據方法演進來劃分如果根據解圓周率的方法來劃分，圓周率的發展

7、通常可分為四個時期：1.實驗時期；2.幾何法時期；3.分析法時期；4.計算機時期。1.實驗時期：圓周率之測定常憑直觀推測或實物度量而得。例如賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書（約產生於公元前1650年），其中記載圓面積的算法為直徑減去它的 1/9，然後加以平方，按照這個方式計算，則圓周率大約是3.16049。舊約聖經中也有圓周率為 3的記述。在中國也使用 3粗率之值，中國古書九章算術第一章方田引題：今有圓田，周三十步，徑十步，為田幾何？就認定為3。2.幾何法時期：阿基米德用幾何的方法，證明了圓周率是介於 3又1/ 7與 3又10/ 71之間，現在人們常利用 22/ 7來計算的近似值。公元1

8、50年左右，希臘天文學家托勒密（Ptolemy），製作一個弦表（正弦函數表的雛形）來計算圓周率，其值為 377/ 120= 3.1416，比阿基米德更為進步。九章算術第一章方田的第32題有提到計算圓面積的法則：術曰：半周半徑相乘得積步。，若圓面積為 A、圓周長為 C、半徑為 r，則 A= (C r) / 2；如果我們用現在已經知道的圓周公式 C=2r代入，則 A=r2就是圓面積的公式，可見這個敘述是正確的，劉徽在九章註解上便給了詳盡的證明，並且順便也算出比較精確的圓周率為 157/50（此亦稱為徽率），劉徽所用的方法是割圓術，劉徽曾說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而

9、無所失矣。也就是利用圓內接正 n邊形，然後讓 n越來越大以求圓周長的近似值，不過當年還未能引進極限的觀念，所以不管圓內接正 n邊形的 n有多大，始終只是近似值。劉徽之後二百年，約在南北朝時期，祖沖之（西元429500年），在圓周率上的計算有更大的突破，他已經算出：3.14159263.1415927；也就是算出的近似值到小數點後第七位，這是相當精密的圓周率。3.分析法時期：這一時期人們開始擺脫利用多邊形周長的繁雜計算，而利用無窮級數或無窮連乘積來計算。4.計算機時期：1946年，世界第一台電子計算機EMAC製造成功，人類歷史正式邁進了資訊時代，1949年EMAC根據梅欽公式計算值到小數點後第

10、2035位，時間花了 70小時，當計算機的發展不斷更新，計算值的記錄也紛紛被打破，1960年尚克斯和倫奇（Wrench,英人），算到小數點後第 100,265位，1967年吉尤（Guilloud,法人）算到小數點後第500,000位，1987年已有人算到第 2936萬位以上，進入90年代後紀錄已經超過10億位了。【.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/piTOP.htm（上網查詢時間：3月19日5：12）】四、研究的方法由文獻的探討可知，求圓周率的方法大約可分為四種：有實驗法、幾何方法、分析法和電子計算機。由於我們只是小學的學生，受知識和能力的限制，在這一次的研究

11、中，我們將採取前兩種方法，藉首先，我們將蒐集各類文獻中有關圓周率的各項資料，以了解圓周率的發展。第二，由實作的方式蒐集周遭環境中各類圓形器物，以實際測量的方法，求出它的圓周長和直徑的比值，以推估圓周率的可能大小。第三，是利用幾何的方法，由研究小組的同學實際畫出圓的內接多邊形與外切正多邊形，藉由多邊形的周長和直徑的比值，驗證前一項實驗法的精確程度。最後，我們實際測量操場跑道的畫設，以了解跑道起跑線位置與圓周率的關係。 伍、結果與討論1、 從文獻資料中探討圓周率的求法根據我們所蒐集到的資料，圓周率大約可分為實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期，但因為我和小組組員的能力和智力有限，

12、所以在此我們只簡單介紹實驗時期和幾何法時期的內容，（一）實驗期的內容：很久以前（阿基米德之前），值之測定常憑直觀推測或實物度量而得。賴因德紙草書記載圓面積的算法為直徑減去它的 1/9，然後加以平方，按照這個方式計算，則圓周率大約是3.16049。劉鰴發現：當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後，多邊形的周長會越來越逼近圓周長，而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積。於是，劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係，從正六邊形開始，逐步把邊數加倍：正十二邊形、正二十四邊形，正四十八邊形，一直到正三七二邊形，算出圓周率等於三點一四一六。 祖沖之在劉徽研究的基礎上，進一步地發展，經過既漫長又煩瑣的計算，一直算到圓

13、內接正二四五七六邊形，而得到一個結論：圓周率的值介於三點一四一五九二六和三點一四一五九二七之間；同時，他還找到了圓周率的約率：227、密率：355113。祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值，把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位。 （二）幾何法時期的內容：在魏晉時（西元263年），數學家劉徽以割圓數求得=3.141024，劉徽的割圓術是: 1.圓內接一個正六邊形，求得六邊形的一邊邊長等於此圓的半徑2.圓內接正六邊形推算得圓內接正十二邊形，再推算得圓內接正二十四邊形，以此類推3.然而圓內接正多邊形時，此多邊形則接近圓形。 由以上的資料可知，在實驗期求圓周率是依靠直觀推測和實物量測得

14、來，我們推測在這個時期由於受到人體感官敏銳度、量測技術的限制、人為誤差的影響等因素的影響，因此，所能求出的小數位數較少，準確值也有限。到了幾何時期，由於數學的進步，因此能跨越直觀推測和實物量測的限制，而能運用數學的原理，以計算的方式來推論圓周率的小數值，在求小數位數以及準確值方面都獲得進步。 我們將各時期求算圓週率的方式與成果，列於表（一）中：表（一）圓周率發展分期期別由圓周率的方式圓周率的值實驗時期圓周率之測定長憑直觀推測或實物度量，例如：賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書。圓周率的值大約是3.16049。幾何法時期希臘天文學家扥勒密（Ptolmey），製作一個弦表（正弦函數表的雛形）來

15、計算圓周率，其值為377/1203.1416，比阿基米德更為進步。祖沖之已經算出：3.14159263.1415927。分析法時期這一時期人們開始利用無窮級數或無窮連乘積來計算。到了1873年計算值至小數點後第767位。計算機時期1949年EMAC根據梅欽公式計算圓周率值到小數點後第2035位。到了90年代後圓周率的位值紀錄已經超過10億位了。 由上表我們發現，隨者方法與科學技術的進步，圓周率能求得的位數就越多，也越精確，特別是資訊科技的進步，使得計算機時期的圓周率位值已超過了十億位了，而且更加精確；相反地，早期的實驗法時期，所求得的圓周率值只有3.16049。此外，我們從上表也發現，圓周率的

16、準確值，在實驗時期只有小數以下一位，但是到了幾何法時期祖沖之所求出的圓周率精確值以到達小數以下第六位了。從上面的分析，我們也知道一個國家的數學能力，可以從所能求出的圓周率位值來展現。2、 從周遭環境中蒐集各類圓形器物，求出它的圓周長和直徑的比值為了尋找週遭環境中各類圓形的器物，求出它的圓周長和直徑的比值，於是我們這一組去搜尋班上同學所測量出來的圓形器物，這些資料是先以皮尺或繩子測量再以直尺量出長度。在蒐集到的100多筆資料中，我們把一些誤差較大以及重覆的資料刪除，把其它比較完整的資料製作成表（二）：表（二）：周遭環境中各類圓形器物的圓周長和直徑的比值物件名稱圓周長直徑圓周長與直徑的比值鏡子40

17、5公分12公分3.375公分時鐘118.5公分15公分3.764公分盒子100公分25公分4公分垃圾桶94公分29.5公分3.18644公分盆子94公分29.5公分3.18644公分垃圾桶84公分26公分3.23076公分盤子70公分25公分2.8公分盒蓋59.4公分18公分3.3公分垃圾桶50公分15公分3.3公分錏鈴的模片47公分13.5公分3.48148公分鏡子40.5公分12公分3.375公分瓶蓋39.8公分11.6公分3.4310344公分水桶蓋36公分10.8公分3.3333333公分桶子底部35公分10.7公分3.245公分瓶子30公分8.7公分3.206公分小鏡子30公分10公

18、分3公分杯蓋27.5公分8公分3.4375公分雙面膠20公分10公分2公分瓶蓋16公分4.5公分3.5555555公分杯蓋27.5公分8公分3.4375公分雙面膠20公分10公分2公分瓶蓋16公分4.5公分3.5555555公分糖果蓋15公分5公分3公分水桶蓋13.4公分3.8公分3.5263157公分寶特瓶的蓋子10公分3公分3.33333公分我們總共整理出25筆資料，從上表來看，這些資料的圓周長度的範圍是從10公分到100公分，為了瞭解圓周長的長短對於以實際求圓周長與直徑比值的影響，我們把它分為三大類，分類的方法根據1003=33，分類的標準如下：第一類大圓周：周長範圍67到99公分。第二

19、類中圓周：周長範圍34到66公分。第三類小圓周：周長範圍1到33公分。表（二）資料符合第一類大圓周分類標準的周長是70公分到100公分，表中另有二筆118.5和405公分的資料，因為只有兩筆，又超過100公分，因此歸類到第一類大圓周，統計符合第一類大圓周的資料共有7筆。符合第二類中圓周分類標準的周長是從35公分到59.4公分，屬於第二類中圓周的資料也有7筆。而符合第三類小圓周分類標準的周長是10公分到30公分，共有11筆資料。由表（二）我們得到，第一類圓周的長度是從70公分到118.5公分，圓周長與直徑的比值，最低的是2.8，最高的是4，平均是3.32。第二類圓周的長度是從35公分到59.4公

20、分，圓周長與直徑的比值，最低的是3.3，最高的是3.48148，平均是3.36。第三類圓周的長度是從10公分到30公分，圓周長與直徑的比值，最低是2，最高是3.55556，平均是3.11。從上敘述，我們發現：圓周的長度越小，圓周長與直徑的比值所求出來的平均就越接近圓周率。可是應該是圓周的長度越長，圓周長與直徑的比值所求出來的平均才是接近圓周率（國立編譯館，民87；康軒五上數學教學指引）。我們根據討論的結果，應該是測量時有一些誤差，或者是物體本身不是圓形的，只是接近橢圓的圓罷了。三、嘗試以圓內接正多邊形探究圓周率的近似值接下來，我們三個人用圓規畫半徑10公分的圓，再園內畫出正三邊形、正六邊形、正

21、十二邊形和正二十四邊形的周長，我們把各個邊形的邊加起來，求出平均數，再和前一個正多邊形比較差距。我們首先量出正多邊形的周長，將結果記錄在表（三）中。表（三）：內接正多邊形的周長名字正三角形正六邊形正十二邊形正二十四邊形珮臻51.9公分60公分62.09公分61.69公分怡文51.6公分60公分61.6公分61.5公分易承51.5公分60公分61公分62.7公分平均51.7公分60公分61.56公分61.96公分差距（8.3） （1.56） （0.4）發現： 1.當圓內接正多邊形邊數越多時，它的周長就越接近62.8公分。 2.當圓內接正多邊形邊數越多時，它的平均就越接近62.8公 分。3.當圓內

22、接正多邊形邊數越多時，它的周長和前一個正多邊形的差距會越小。4.當圓內接正多邊形邊數越少時，它的周長就會離62.8公分很遙遠。5.當圓內接正多邊數越少時，我們三個人所測量出來的周長求出平均，會越小。 6.當圓內接正多邊形邊數越少時，它就會和後一個正多邊形的差 距越大。從上表求出圓內接正多邊形的周長之後，我們現在要求圓內接正多邊形周長和直徑的比值，因為是以20公分為直徑，所以我們直接以周長除以20，結果紀錄在表（四）。表（四）：內接正多邊形的周長和直徑的比值名字正三角形正六邊形正十二邊形正二四邊形珮臻3.4633.1053.085怡文3.4633.083.075易承3.4633.053.135平

23、均3.4633.0783.098差距（0.46） （0.078） （0.02）發現：從上表我們發現，當圓內接正多邊形邊數越多時，它的周長與直徑的比值就越大，例如圓內接正三邊形的周長與直徑的比值平均剛好是3，正十二邊形的周長與直徑的比值平均是3.078，而正二十四邊形的周長與直徑的比值平均是3.098。但是圓內接正多邊形的周長最多也只是和圓的周長相等，因此，我們推測圓內接正多邊形的周長與直徑的比值，並不會一直增加，而會固定在某一個數字。 四.嘗試以圓外切正多邊形探究圓周率的近似值。我們畫完圓內接正多邊形之後，我們求得正二十四邊形的周長與直徑的比值平均是3.098。我們現在要畫外接正多邊形，我們這

24、次不畫正三邊形的原因是因為紙張不夠大，還有因為畫正三邊形對我們的實驗沒有提供任何的幫助，所以我們從正六邊形開始著手，首先，我們還是一樣以20公分作為直徑，然後先在紙上畫出10公分的半徑，再來用圓規畫出一個圓，然後用360度6就等於60度，再來在圓面上畫出兩條60度的線，然後加上直徑就等於有3條線了，之後畫線在圓的邊邊記得要切割的剛剛好，然後再把切割的線依依連起來，就形成了一個正六邊形。之後十二邊形和二十四邊形都依此類推。表（五）：外切正多邊形的周長姓名正六邊形正十二邊形正二十四邊形珮臻69.2公分63.45公分61.76公分怡文69.3公分64.28公分64.3公分良杰67.45公分66.2公

25、分62.04公分平均68.65公分64.64公分62.7公分差距（4.01） （0.69）根據上表，我們得到下列發現： 1.當圓外切正多邊形邊數越多時，它的周長會越小。 2.當圓外切正多邊形邊數越多時，我們三個人所測量出來的周長求出平均，會越小。 3.當圓外切正多邊形邊數越多時，外切正多邊形周長的差距會越小。 我們知道了，雖然外切正多邊形的周常會隨著邊數的增加而減少，但是因為是外切的正多邊形，因此周長一定會和圓的周長一樣。把圓外切正多邊形的周長以後，現在要求出周長和直徑的比值。因為我們是以20公分為直徑。我們求出各外切正多邊形的周長與直徑的比值，並將結果記錄在表（六）中。表（六）圓外切正多邊形

26、周長和直徑的比值名字正六邊形正十二邊形正二十四邊形珮臻3.46公分3.1725公分3.088公分怡文3.465公分3.21公分3.215公分良杰3.3725公分3.31公分3.102公分平均3.4325公分3.23公分3.135公分差距（0.2025） （0.095）從表（六）我們發現：當圓外切正多邊形的邊數越多時，圓外切正多邊形的周長和直徑的比值越小，而且隨著邊數的增加，這項比值得差會越小，因此我們可依推測，隨著圓外切正多邊形的邊數增加，這項比值最後會是一個固定的值。 綜合表（四）和表（六）的發現，圓的周長介於圓內接正多形周長與圓外切正多邊形周長之間，這個關係可以用下面的數學式子表示： 圓內

27、接正多形周長圓的周長圓外切正多邊形周長 因此，由於圓的直徑是固定的，求圓周長與直徑的比值，可以得到下面的關係式：圓內接正多形周長與直徑的比圓的周長與直徑的比圓外切正多邊形周長與直徑的比 又因為，圓的周長與直徑的比就是圓周率，上面的式子又可轉換成下式：圓內接正多形周長與直徑的比圓周率圓外切正多邊形周長與直徑的比 因此，圓周率的大小就介於圓內接正多形周長與直徑的比與圓外切正多邊形周長與直徑的比之間。根據本研究的結果表（四）和表（六），我們所求得的圓周率是介於3.098與3.135之間。 不過，根據文獻資料的紀錄，圓周率的大小是3.14159，大於3.135，可見我們的成果與實際是有誤差的。經過小組

28、的討論，我們認為這些誤差可能來自於畫圓、決定內接與外切圓、以及測量周長的誤差，特別是後面兩項，一直是我們在做本研究時困擾，特別是多邊形的邊數增加後。四、從圓周率驗證操場跑道起跑線的劃設（一）話說從頭本學期學校新舖設的PU跑道落成啟用，美輪美奐的跑道將校園點綴得更加漂亮，跑道上畫上的白色跑道線是用來劃分跑道的，讓每一位跑步的同學都能安全不受干擾地在屬於自己的跑道上跑步。不過，我們卻對起跑線的畫設感到好奇，因為起跑線的畫設並未在同一條線上（如圖（一）所示），這樣怎麼會公平呢？我們決定請教老師。 老師告訴我們，如果比賽的跑道是直線的，為了公平起見，起跑線是在同一條直線上；但是如果跑道是彎曲的，那麼就

29、要考慮彎曲的部分對於每一道距離的影響，老師建議我們可以去驗證起跑線和彎道的關係。（二）構思 操場的跑道是橢圓的，兩邊彎道的部分是半圓所構成的。為了求出彎道部分的長度，我們要先量出最內圈的圓的直徑，並量出每一道跑道的寬度。在運用求圓周長的公式，來找出彎道與起跑線的關係。北司令台圖（一）學校操場跑道圖 （三）實際測量與計算 1.測量彎道直徑為了量出圓的直徑，並避免因為操場施工所產生的誤差，我們在操場的三個不同位置（如圖（一）所示）量出它的寬度分別為32.5、32.57及32.62公尺。然後計算它的平均值： （32.5+32.57+32.62）332.56（近似值） 我們求出操場半圓跑道（彎道）的直

30、徑為32.56公尺。 2.計算每一條彎道周長及差距接著我們測量每一條跑道的寬度，發現每一條跑道的寬度均為1.027公尺。由於跑道在直線的部分，從第一道到第五道，每一道的距離都相同，唯一的差別就在彎道的部分，扣掉中間直線的部分，操場兩邊的彎道可以看成是一個圓，我們可以發現在彎道部分的每一道，均為直徑大小不同的圓。若我們將跑道寬度取近似值為1公尺，那麼我們可以求得每一道的圓周長： 第一道：32.563.14102.2384公尺 第二道：（32.56+2）3.1432.563.14+23.14=108.5184 第三道：（32.56+2+2）3.1432.563.14+23.14+23.14 114.7984 第四道：（32.56+2+2+2）3.1432.563.14+23.14+23.14+23.14121.0784 第五道：（32.56+2+2+2+2）3.1432.563.14+23.14+23.14+23.14+23.1