函数的单调性与导数二.docx

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函数的单调性与导数二

1.3.1　函数的单调性与导数

（二）

学习目标

　1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．

1．函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：

f′（x）的正负

f（x）的单调性

f′（x）>0

单调递增

f′（x）<0

单调递减

特别提醒：

①若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，其余的点恒有f′（x）>0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．

②f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为0.

2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f（x），在区间（a，b）上

导数的绝对值

函数值变化

函数的图象

越大

快

比较“陡峭”（向上或向下）

越小

慢

比较“平缓”（向上或向下）

3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

（1）定义域优先的原则：

解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

（2）注意“临界点”和“间断点”：

在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．

（3）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．

1．如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（　√　）

2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．（　√　）

类型一　利用导数求参数的取值范围

例1　若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　[1，＋∞）

解析　由于f′（x）＝k－

，f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增，等价于f′（x）＝k－

≥0在（1，＋∞）上恒成立．

由于k≥

，而0<

<1，所以k≥1.

即k的取值范围为[1，＋∞）．

引申探究

1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．

解　∵f′（x）＝k－

，

又f（x）在（1，＋∞）上单调递减，

∴f′（x）＝k－

≤0在（1，＋∞）上恒成立，

即k≤

，∵0<

<1，∴k≤0.

即k的取值范围为（－∞，0]．

2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．

解　f（x）＝kx－lnx的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝k－

.

当k≤0时，f′（x）<0.

∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故不合题意．

当k>0时，令f′（x）＝0，得x＝

，

只需

∈（1，＋∞），即

>1，则0

∴k的取值范围是（0,1）．

反思与感悟　

（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；

②先令f′（x）>0（或f′（x）<0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意．

（2）恒成立问题的重要思路

①m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max；

②m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min.

跟踪训练1　若函数f（x）＝

x3－

ax2＋（a－1）x＋1在区间（1,4）上单调递减，在（6，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

解　方法一　（直接法）

f′（x）＝x2－ax＋a－1，

令f′（x）＝0，得x＝1或x＝a－1.

当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，不合题意．

当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）和（a－1，＋∞）上单调递增，在（1，a－1）上单调递减，

由题意知（1,4）⊂（1，a－1）且（6，＋∞）⊂（a－1，＋∞），

所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.

故实数a的取值范围为[5,7]．

方法二　（数形结合法）

如图所示，

f′（x）＝（x－1）[x－（a－1）]．

因为在（1,4）内，f′（x）≤0，

在（6，＋∞）内f′（x）≥0，

且f′（x）＝0有一根为1，

所以另一根在[4,6]上．

所以

即

所以5≤a≤7.

故实数a的取值范围为[5,7]．

方法三　（转化为不等式的恒成立问题）

f′（x）＝x2－ax＋a－1.

因为f（x）在（1,4）上单调递减，

所以f′（x）≤0在（1,4）上恒成立．

即a（x－1）≥x2－1在（1,4）上恒成立，所以a≥x＋1，

因为2

所以当a≥5时，f′（x）≤0在（1,4）上恒成立，

又因为f（x）在（6，＋∞）上单调递增，

所以f′（x）≥0在（6，＋∞）上恒成立，

所以a≤x＋1，

因为x＋1>7，

所以当a≤7时，f′（x）≥0在（6，＋∞）上恒成立．

综上知5≤a≤7.

故实数a的取值范围为[5,7]．

类型二　证明不等式

例2　证明ex≥x＋1≥sinx＋1（x≥0）．

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　利用导数证明不等式

证明　令f（x）＝ex－x－1（x≥0），则f′（x）＝ex－1≥0，

∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

∴对任意x∈[0，＋∞），有f（x）≥f（0），而f（0）＝0，

∴f（x）≥0，即ex≥x＋1，

令g（x）＝x－sinx（x≥0），g′（x）＝1－cosx≥0，

∴g（x）≥g（0），即x－sinx≥0，

∴x＋1≥sinx＋1（x≥0），

综上，ex≥x＋1≥sinx＋1.

反思与感悟　用导数证明不等式f（x）>g（x）的一般步骤

（1）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），x∈[a，b]．

（2）证明F′（x）＝f′（x）－g′（x）≥0，且F（a）>0.

（3）依

（2）知函数F（x）＝f（x）－g（x）在[a，b]上是单调递增函数，故f（x）－g（x）>0，即f（x）>g（x）．

这是因为F（x）为单调递增函数，

所以F（x）≥F（a）>0，

即f（x）－g（x）≥f（a）－g（a）>0.

跟踪训练2　已知x>0，证明不等式ln（1＋x）>x－

x2成立．

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　利用导数证明不等式

证明　设f（x）＝ln（1＋x）－x＋

x2，

则f′（x）＝

－1＋x＝

.

当x>－1时，f′（x）>0，

则f（x）在（－1，＋∞）内是增函数．

∴当x>0时，f（x）>f（0）＝0.

∴当x>0时，不等式ln（1＋x）>x－

x2成立.

1．已知命题p：

对任意x∈（a，b），有f′（x）>0，q：

f（x）在（a，b）内是单调递增的，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案　A

2．已知对任意实数x，都有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x>0时，f′（x）>0，g′（x）>0，则当x<0时（　　）

A．f′（x）>0，g′（x）>0B．f′（x）>0，g′（x）<0

C．f′（x）<0，g′（x）>0D．f′（x）<0，g′（x）<0

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案　B

解析　由题意知，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．

当x>0时，f（x），g（x）都单调递增，

则当x<0时，f（x）单调递增，g（x）单调递减，

即f′（x）>0，g′（x）<0.

3．已知函数f（x）＝x3－12x，若f（x）在区间（2m，m＋1）上单调递减，则实数m的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　[－1,1）

解析　f′（x）≤0，即3x2－12≤0，得－2≤x≤2.

∴f（x）的减区间为[－2,2]，

由题意得（2m，m＋1）⊆[－2,2]，

∴

得－1≤m<1.

4．函数y＝ax－lnx在

上单调递增，则a的取值范围为________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　[2，＋∞）

解析　y′＝a－

，由题意知，

当x∈

时，y′≥0，

即a≥

在

上恒成立，

由x∈

得，

<2，∴a≥2.

5．证明方程x－

sinx＝0只有一个实根，并试求出这个实根．

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　利用导数证明不等式

解　令f（x）＝x－

sinx，x∈（－∞，＋∞），

则f′（x）＝1－

cosx>0，

所以f（x）在（－∞，＋∞）上为单调递增函数，其图象若穿越x轴，则只有一次穿越的机会，

显然x＝0时，f（x）＝0.

所以方程x－

sinx＝0有唯一的实根x＝0.

利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

（1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；

（2）先令f′（x）>0（或f′（x）<0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f（x）是否满足题意.

一、选择题

1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，－1）和（0,1）

B．[－1,0]和[1，＋∞）

C．[－1,1]

D．（－∞，－1]和[1，＋∞）

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数函数的单调区间

答案　A

解析　y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，

解得x<－1或0

所以函数的单调递减区间为（－∞，－1）和（0,1），故选A.

2．若f（x）＝

，e

A．f（a）>f（b）B．f（a）＝f（b）

C．f（a）1

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　比较函数值的大小

答案　A

解析　由f′（x）＝

<0，解得x>e，

∴f（x）在（e，＋∞）上为减函数，

∵ef（b）．

3．若函数f（x）＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A.

B.

C．（1,2]D．[1,2）

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　A

解析　显然函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝4x－

＝

.由f′（x）＞0，得函数f（x）的单调递增区间为

；由f′（x）＜0，得函数f（x）单调递减区间为

.因为函数在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，所以k－1＜

＜k＋1，解得－

＜k＜

，又因为（k－1，k＋1）为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜

.

4．若a>0，且f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,3]

C．（3，＋∞）D．[3，＋∞）

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　B

解析　由题意得，f′（x）＝3x2－a≥0在x∈[1，＋∞）上恒成立，

即a≤（3x2）min＝3，

又a>0，∴0

5．若函数y＝a（x3－x）在

上单调递减，则a的取值范围是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－1,0）

C．（1，＋∞）D．（0,1）

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　A

解析　y′＝a（3x2－1）＝3a

·

，

当－

时，

<0，

要使y＝a（x3－x）在

上单调递减，

只需y′<0，即a>0.

6．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）>g′（x），则当a

A．f（x）>g（x）

B．f（x）

C．f（x）＋g（a）>g（x）＋f（a）

D．f（x）＋g（b）>g（x）＋f（b）

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　构造法的应用

答案　C

解析　设h（x）＝f（x）－g（x），

∵f′（x）－g′（x）>0，∴h′（x）>0，∴h（x）在[a，b]上是增函数，

∴当ah（a），

∴f（x）－g（x）>f（a）－g（a），

即f（x）＋g（a）>g（x）＋f（a）．

二、填空题

7．若y＝sinx＋ax在R上是增函数，则a的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　[1，＋∞）

解析　因为y′＝cosx＋a≥0，

所以a≥－cosx对x∈R恒成立．

所以a≥1.

8．若函数y＝

ax3－

ax2－2ax（a≠0）在[－1,2]上为增函数，则a的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　（－∞，0）

解析　y′＝ax2－ax－2a＝a（x＋1）（x－2）>0，

∵当x∈（－1,2）时，（x＋1）（x－2）<0，

∴a<0.

9．若函数y＝－

x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　（0，＋∞）

解析　∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，

∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×（－4）×a>0，∴a>0.

10．若函数f（x）＝－

x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　（－∞，－1]

解析　f′（x）＝－x＋

，

由题意知f′（x）＝－x＋

≤0在（－1，＋∞）上恒成立，

即

≤x在（－1，＋∞）上恒成立，

∵x>－1，∴x＋2>1>0，

∴b≤x（x＋2），

设y＝x（x＋2），则y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，

∵x>－1，∴y>－1，

∴要使b≤x（x＋2）成立，则有b≤－1.

11．若f（x）＝

（x∈R）在区间[－1,1]上是增函数，则a的取值范围是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

答案　[－1,1]

解析　f′（x）＝2·

，

∵f（x）在[－1,1]上是增函数，

∴f′（x）＝2·

≥0.

∵（x2＋2）2>0，

∴x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．

令g（x）＝x2－ax－2，

则

即

∴－1≤a≤1.

即a的取值范围是[－1,1]．

三、解答题

12．已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）．

（1）当a＝－

时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上为减函数，求实数a的取值范围．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

解　

（1）当a＝－

时，

f（x）＝－

x2＋ln（x＋1）（x>－1），

f′（x）＝－

x＋

＝－

（x>－1）．

当f′（x）>0时，解得－1

当f′（x）<0时，解得x>1.

故函数f（x）的单调递增区间是（－1,1），单调递减区间是（1，＋∞）．

（2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上为减函数，

所以f′（x）＝2ax＋

≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，

即a≤－

对任意x∈[1，＋∞）恒成立．

令g（x）＝－

，

易求得在区间[1，＋∞）上g′（x）>0，

故g（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，

故

min＝g

（1）＝－

，

故a≤－

.

即实数a的取值范围为

.

13．已知函数f（x）＝lnx－

.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）证明：

当x>1时，f（x）

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　利用导数证明不等式

（1）解　f′（x）＝

－x＋1＝

，x∈（0，＋∞）．

由f′（x）>0，得

解得0

.

故f（x）的单调递增区间是

.

（2）证明　令F（x）＝f（x）－（x－1），x∈（1，＋∞）．

则F′（x）＝

.

当x∈（1，＋∞）时，F′（x）<0，

所以F（x）在（1，＋∞）上单调递减，

故当x>1时，F（x）

（1）＝0，

即当x>1时，f（x）

四、探究与拓展

14．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是__________．

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　构造法的应用

答案　（－∞，－1）∪（0,1）

解析　因为f（x）（x∈R）为奇函数，f（－1）＝0，所以f

（1）＝－f（－1）＝0.当x≠0时，令g（x）＝

，则g（x）为偶函数，且g

（1）＝g（－1）＝0.则当x>0时，g′（x）＝

′＝

<0，故g（x）在（0，＋∞）上为减函数，在（－∞，0）上为增函数．所以在（0，＋∞）上，当0g

（1）＝0⇔

>0⇔f（x）>0；在（－∞，0）上，当x<－1时，g（x）

<0⇔f（x）>0.

综上，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0,1）．

15．设函数f（x）＝xekx（k≠0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（－1,1）上单调递增，求k的取值范围．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知函数的单调性求参数（或其范围）

解　

（1）由f′（x）＝（1＋kx）ekx＝0，得x＝－

（k≠0）．

若k>0，则当x∈

时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；

当x∈

时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．

若k<0，则当x∈

时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；

当x∈

时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减．

综上，k>0时，f（x）的增区间为

，减区间为

，

k<0时，f（x）的增区间为

，减区间为

.

（2）由

（1）知，若k>0，则当且仅当－

≤－1，

即0

若k<0，则当且仅当－

≥1，即－1≤k<0时，函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

综上可知，函数f（x）在区间（－1,1）上单调递增时，k的取值范围是[－1,0）∪（0,1]．