草鱼捕捞问题.docx
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草鱼捕捞问题
●会。
2012年数学建模联赛
承诺书
我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
日期：
年月日
2012年数学建模联赛
评阅记录
评阅记录（可供评阅时使用）：
评
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人
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分
备
注
摘要：
本题主要以提高经济效益为目标,也就是说要怎样捞鱼才能使收入最高,要使收入最高就得找到成本与损失最少为目标函数.
如果在不考虑时间的情况下,我们采用方案一,即开始放水每天都捕捞500公斤，在放完水的后30天同样每天500公斤捕捞草鱼，这是最佳方案。
所获毛利还可能超过上面公式所得到的结果。
因为草鱼的损失量与草鱼密度有关，密度越小，损失越小。
得出总收入为:
W=688800元。
下面是我们对模型进行改进后的方案:
我们把放水速度加快到每天下降１米，其它条件不变的情况下，这样１０天就可以把水从１５米下降到５米，由上面分析可知在５米的时候收入比在没放水的时候要多。
所以可以求出总的收入为:
W=691040元。
所以捕捞将受到放水速度的影响。
一． 问题重述：
一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清水库。
水库现有水位为15米，自然放水每天水位降低0。
5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在该地市场上，若供应量在500公斤以下，其价格为36元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至34元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至30元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤10元；当水位降至5米时，为4元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼自然死亡及捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为15%。
承包人提出了这样一个问题：
如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？
二．数学假设：
1．随着水位的下降，草鱼的捕捞成本成递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
设放水前一天为n=1，则水位降至5米时的哪一天为n=21。
故每公斤草鱼捕捞成本为bn=10-0.3（n-1）=10.3-0.3n
草鱼的损失Cn=0.75%（n-1）（1≤n≤21,n∈N）
2.在该地市场上没有其它商家出售鲜活草鱼。
三.符号说明：
M:
水库中草鱼量250000Kg
n:
表示天数[121]
a:
捞鱼量（500<=a<=1500）
bn:
公斤成本bn=10-0.3（n-1）=10.3-0.3n
Cn:
损失量Cn=0.75%（n-1）（1≤n≤21,n∈N）
T:
价格363430
H:
水位高度[515]
W1:
毛利
W:
为总收入
四.建立数学模型和模型分析：
设第n天捕捞草鱼a公斤，其价为t元/公斤。
则该天的实际捕捞量为a-0.75%（n-1）a=a[1.0075-0.0075n]
每公斤草鱼的毛利为t-（10.3-0.3n）。
第n天可得毛利为
w=a[1.0075-0.0075n][t-（10.3-0.3n）]
=a[-0.00225n+（0.38-0.0075t）n+1.0075t-10.38]。
*取t=36元/公斤，由上式可得抛物线对称轴为n=24，
当1≤n≤21n∈N时，w值递增。
即当价格不变时，所获毛利逐渐增大，在第21天时可达最大值。
由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越大。
但市场的容量是有限的，投放量不能超过1500公斤，且随着投放量的增加，价格随着下降。
为了说明问题，选取第一天与第21天，在不同价格档次捕捞量均为500公斤时，获毛利（按（*）式计算，分别取n=1,n=21及t=36,34,30）情况则成下表：
价格
捕捞量
第一天可获毛利
第21天可获毛利（损失未除）
t=36
500Kg
W1=13000元
w1’=13600元
t=34
500Kg
W2=12000元
w2’=12750元
t=30
500Kg
W3=10000元
w3’=11050元
上表说明：
1．在相同价格档次时，越往后，获毛利越大；
2．500公斤草鱼在第一天以36元/公斤价售出比在第21天以34元/公斤价售出时所获毛利大；500公斤草鱼在第一天以34元/公斤价售出比在第21天以30元/公斤价售出时获毛利大。
一般地500公斤草鱼在前一天以36元/公斤（34元/公斤）价售出比在后一天以34元/公斤（30元/公斤）售出所获毛利大。
根据以上分析，有下列几个方案可供选择：
方案1：
开始放水每天都捕捞500公斤，在放完水的后30天同样每天500公斤捕捞草鱼，这是最佳方案。
所获毛利还可能超过上面公式所得到的结果。
因为草鱼的损失量与草鱼密度有关，密度越小，损失越小。
放水时21天的收入（元）
放水后30天的收入（元）
总收入（元）
280800
408000
688800
方案2：
如若时间受到限制，开始放水后，每天捕捞1000公斤,则可在放水后10天开始捕捞，每天500公斤。
放水时２１入
放水后１０天收入
总收入
522740
127500
650240
方案3：
在实在没有办法时，开始放水后，前10天每天捕捞1000公斤，后10天每天捕捞1500公斤，或者将部分草鱼转放其它水库暂养。
前10收入（元）
后10天收入（元）
总收入（元）
269730
379510
649240
五.模型求解：
由上面分析,采用最佳方案一进行求解:
采用MATLAB可以求得:
W=688800
六.模型的结果分析：
由上面可知,毛利与天数大小、捞鱼量、价格、水位的高度都有关，与天数成正比、与价格也成正比，所以在解决问题的时候要注意价格变化、天数的增加、水位的下降造成的影响。
A.下面以每天捕捞500kg为例：
天数n
损失量Cn（%）
成本bn（元／公斤）
水位高度H
价格t
捞鱼量a
1
0
10
15
36
500kg
2
0.75
9．7
14.5
36
3
1.5
9．4
14
36
┄┄
┄┄
┄┄
┄┄
21
15
4
5
36
七．模型的改进：
由以上分析可知，在价格不变条件下,水位越低捞鱼的收入就越多，所以在允许的情况下可以加快放水的速度，就可以减少成本的费用。
例如：
我们把放水速度加快到每天下降１米，其它条件不变的情况下，这样１０天就可以把水从１５米下降到５米，由上面分析可知在价格不变的情况下,水放到５米的时候收入比在没放水的时候要多。
所以可以求出总的收入为
所以在放水费用少于2240元的情况下可以采用。
也就是说放水速度越快收入就会越多。
八．模型讨论:
题中给出了水下降时鱼的损失率，但在日常生活中是没有一个固定的比例的面是随着环境的变化面改变的，而且也会随着鱼的密度变化而变化的。
比如天气干燥，水的温度也会改变，也将影响鱼的损失率。
草鱼捕捞问题
摘要：
本题主要以提高经济效益为目标,也就是说要怎样捞鱼才能使收入最高,要使收入最高就得找到成本与损失最少为目标函数.
如果在不考虑时间的情况下,我们采用方案一,即开始放水每天都捕捞500公斤，在放完水的后30天同样每天500公斤捕捞草鱼，这是最佳方案。
所获毛利还可能超过上面公式所得到的结果。
因为草鱼的损失量与草鱼密度有关，密度越小，损失越小。
得出总收入为:
W=688800元。
下面是我们对模型进行改进后的方案:
我们把放水速度加快到每天下降１米，其它条件不变的情况下，这样１０天就可以把水从１５米下降到５米，由上面分析可知在５米的时候收入比在没放水的时候要多。
所以可以求出总的收入为:
W=691040元。
所以捕捞将受到放水速度的影响。
一． 问题重述：
一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清水库。
水库现有水位为15米，自然放水每天水位降低0。
5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在该地市场上，若供应量在500公斤以下，其价格为36元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至34元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至30元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤10元；当水位降至5米时，为4元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼自然死亡及捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为15%。
承包人提出了这样一个问题：
如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？
二．数学假设：
1．随着水位的下降，草鱼的捕捞成本成递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
设放水前一天为n=1，则水位降至5米时的哪一天为n=21。
故每公斤草鱼捕捞成本为bn=10-0.3（n-1）=10.3-0.3n
草鱼的损失Cn=0.75%（n-1）（1≤n≤21,n∈N）
2.在该地市场上没有其它商家出售鲜活草鱼。
三.符号说明：
M:
水库中草鱼量250000Kg
n:
表示天数[121]
a:
捞鱼量（500<=a<=1500）
bn:
公斤成本bn=10-0.3（n-1）=10.3-0.3n
Cn:
损失量Cn=0.75%（n-1）（1≤n≤21,n∈N）
T:
价格363430
H:
水位高度[515]
W1:
毛利
W:
为总收入
四.建立数学模型和模型分析：
设第n天捕捞草鱼a公斤，其价为t元/公斤。
则该天的实际捕捞量为a-0.75%（n-1）a=a[1.0075-0.0075n]
每公斤草鱼的毛利为t-（10.3-0.3n）。
第n天可得毛利为
w=a[1.0075-0.0075n][t-（10.3-0.3n）]
=a[-0.00225n+（0.38-0.0075t）n+1.0075t-10.38]。
*取t=36元/公斤，由上式可得抛物线对称轴为n=24，
当1≤n≤21n∈N时，w值递增。
即当价格不变时，所获毛利逐渐增大，在第21天时可达最大值。
由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越大。
但市场的容量是有限的，投放量不能超过1500公斤，且随着投放量的增加，价格随着下降。
为了说明问题，选取第一天与第21天，在不同价格档次捕捞量均为500公斤时，获毛利（按（*）式计算，分别取n=1,n=21及t=36,34,30）情况则成下表：
价格
捕捞量
第一天可获毛利
第21天可获毛利（损失未除）
t=36
500Kg
W1=13000元
w1’=13600元
t=34
500Kg
W2=12000元
w2’=12750元
t=30
500Kg
W3=10000元
w3’=11050元
上表说明：
1．在相同价格档次时，越往后，获毛利越大；
2．500公斤草鱼在第一天以36元/公斤价售出比在第21天以34元/公斤价售出时所获毛利大；500公斤草鱼在第一天以34元/公斤价售出比在第21天以30元/公斤价售出时获毛利大。
一般地500公斤草鱼在前一天以36元/公斤（34元/公斤）价售出比在后一天以34元/公斤（30元/公斤）售出所获毛利大。
根据以上分析，有下列几个方案可供选择：
方案1：
开始放水每天都捕捞500公斤，在放完水的后30天同样每天500公斤捕捞草鱼，这是最佳方案。
所获毛利还可能超过上面公式所得到的结果。
因为草鱼的损失量与草鱼密度有关，密度越小，损失越小。
放水时21天的收入（元）
放水后30天的收入（元）
总收入（元）
280800
408000
688800
方案2：
如若时间受到限制，开始放水后，每天捕捞1000公斤,则可在放水后10天开始捕捞，每天500公斤。
放水时２１入
放水后１０天收入
总收入
522740
127500
650240
方案3：
在实在没有办法时，开始放水后，前10天每天捕捞1000公斤，后10天每天捕捞1500公斤，或者将部分草鱼转放其它水库暂养。
前10收入（元）
后10天收入（元）
总收入（元）
269730
379510
649240
五.模型求解：
由上面分析,采用最佳方案一进行求解:
采用MATLAB可以求得:
W=688800
六.模型的结果分析：
由上面可知,毛利与天数大小、捞鱼量、价格、水位的高度都有关，与天数成正比、与价格也成正比，所以在解决问题的时候要注意价格变化、天数的增加、水位的下降造成的影响。
A.下面以每天捕捞500kg为例：
天数n
损失量Cn（%）
成本bn（元／公斤）
水位高度H
价格t
捞鱼量a
1
0
10
15
36
500kg
2
0.75
9．7
14.5
36
3
1.5
9．4
14
36
┄┄
┄┄
┄┄
┄┄
21
15
4
5
36
七．模型的改进：
由以上分析可知，在价格不变条件下,水位越低捞鱼的收入就越多，所以在允许的情况下可以加快放水的速度，就可以减少成本的费用。
例如：
我们把放水速度加快到每天下降１米，其它条件不变的情况下，这样１０天就可以把水从１５米下降到５米，由上面分析可知在价格不变的情况下,水放到５米的时候收入比在没放水的时候要多。
所以可以求出总的收入为
所以在放水费用少于2240元的情况下可以采用。
也就是说放水速度越快收入就会越多。
八．模型讨论:
题中给出了水下降时鱼的损失率，但在日常生活中是没有一个固定的比例的面是随着环境的变化面改变的，而且也会随着鱼的密度变化而变化的。
比如天气干燥，水的温度也会改变，也将影响鱼的损失率。
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