初中不等式与不等式组超经典复习.docx

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初中不等式与不等式组超经典复习

第九章不等式与不等式组

第一节、知识梳理

一、学习目标

1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义.

2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.

3.会用数轴表示出不等式的解集.

二、知识概要

1.不等式：

一般地，用不等号“>”、“<”表示不等关系的式子叫做不等式.

2.不等式的解：

一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

3.不等式的解集：

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集

4.一元一次不等式：

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式

5.不等式的性质：

性质一：

不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：

不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

性质三：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.

6.三角形中任意两边之差小于第三边.

三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解.

四、知识链接本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.

五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答

题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等

第二节、教材解读

1.常用的不等号有哪些？

常用的不等号有五种，其读法和意义是：

（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小.

（2）“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.

（3）“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.

（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量.

（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量.

2.如何恰当地列不等式表示不等关系？

（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.

（2）正确理解题目中的关键词语，如：

多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.

（3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.

根据下列关系列不等式：

a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+b.“不大于就是“小于或等于”.

列不等式为：

2a+b≤3.

3.用数轴表示不等式注意什么？

用数轴表示不等式要注意两点：

一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边

界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.

在同一个数轴上表示下列两个不等式：

x>-3；x≤2.

第三节、错题剖析

一、去括号时，错用乘法分配律

【例1】解不等式3x+2（2-4x）<19.

错解:

去括号，得3x+4-4x<19，解得x>-15.

诊断:

错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项正解:

去括号，得3x+4-8x<19，

-5x<15，所以x>-3.

二、去括号时，忽视括号前的负号

【例2】解不等式

5x-3（2x-1）>-6.

错解:

去括号，得

5x-6x-3>-6，解得x<3.

诊断：

去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.

正解:

去括号，得

5x-6x+3>-6，

所以-x>-9，所以x<9.

三、移项时，不改变符号

【例3】解不等式

4x-5<2x-9.

错解:

移项，得

4x+2x<-9-5，

即6x<-14，所以

诊断:

一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了

这一点.

正解:

移项，得

4x-2x<-9+5，

解得2x<-4，所以x<-2.

四、去分母时，忽视分数线的括号作用

【例4】解不等式

错解:

去分母，得

6x-2x-5>14，解得

诊断:

去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.

正解:

去分母，得

6x-（2x-5）>14，

去括号，得

6x-2x+5>14，解得

五、不等式两边同除以负数，不改变方向

【例5】解不等式

3x－6<1+7x.

错解：

移项，得

3x－7x<1+6，

即－4x<7，所以

诊断：

将不等式－4x<7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：

不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.

正解：

移项，得

3x－7x<1+6，

即－4x<7，

所以x>

【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.

错解及分析：

x2+a<0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.

正解：

x2+a≤0.

【例7】求不等式的非负整数解.

错解及分析：

整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是1，2，3，4，5.

本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解.

正解：

整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.

【例8】解不等式3-5（x-2）-4（-1+5x）<0.

错解及分析：

去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，所以本题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.

正解：

去括号得3-x+10+4-20x<0，

即-21x<-17，所以

【例9】解不等式7x-6<4x-9.

错解及分析：

移项，得

7x+4x<-9-6，

即11x<-15，所以一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号.

正解：

移项，得7x-4x<-9+6，

即3x<-3，所以x<-1.

【例10】解不等式

错解及分析：

去分母，得

3+2（2-3x）≤5（1+x）.

即11x≥2，所以

错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.

正解：

去分母，得

30+2（2-3x）≤5（1+x）.

即11x≥29，所以

例11】解不等式6x-6≤1+7x.错解及分析：

移项，得6x-7x≤1+6.

即-x≤7，所以x<-7.

将不等式-x≤7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解正解：

移项，得6x-7x<1+6.

即-x≤7，所以x≥-7.

【例12】解关于x的不等式m（x-2）>x-2.

错解:

化简，得（m-1）x>2（m-1），所以x>2.

诊断:

错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.

正解:

化简，得（m-1）x>2（m-1），

1当m-1>0时，x>2；

2当m-1<0时，x<2；

3当m-1=0时，无解.

【例13】解不等式（a－1）x>3.

错解：

系数化为1，得x>.

诊断：

此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论

正解：

①当a－1>0时，x>；

②当a＝1时，0×x>3，不等式无解；

③当a－1<0时，x<.

【例14】不等式组的解集为.

错解：

两个不等式相加，得x-1<0，所以x<1.

诊断：

这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解

正解：

解不等式组，得.

在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，

所以不等式组的解集为：

0

【例15】解不等式组

错解：

因为5x-3>4x+2，且4x+2>3x-2，

所以5x-3>3x-2.

移项，得5x-3x>-2+3.

解得x>.

诊断：

上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x>的条件下，任取一个x

的值，看是否满足不等式组.如取x＝1，将它代入5x-3>4x+2，得2>6（不成立）.可知x>不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.

正解：

由5x-3>4x+2，得x>5.

由4x+2>3x-2，得x>－4.

综合x>5和x>－4，得原不等式组的解集为x>5.

例16】解不等式组错解：

由不等式2x＋3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组的解集为2>x>3.诊断：

由不等式性质可得，2>3，这是不可能的.正解：

由不等式2x＋3<7可得x<2.

由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组无解.

【例17】解不等式

错解：

去分母，得3－4x－1>9x.移项，得－4x－9x>1－3合并，得－13x>－2系数化为1，得诊断：

本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.

正解：

去分母，得3－（4x－1）>9x去括号，得3－4x+1>9x.移项，得－4x－9x>-1－3合并，

得－13x>－4系数化为1，得

【例18】

若不等式组

的解集为x>2，则a

A.a<2

B.

a≤2

C.a>2

D.

a≥2

错解及分析：

原不等式组可分为

得a<2，故选A

的取值范围是（

当a=2时，原不等式组变为解集也为x>2.

正解：

应为a≤2，故选B.

【例19】解不等式组错解：

②－①，得不等式组的解集为x<-13.

诊断：

错解中把方程组的解法套用到不等式组中正解：

由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x

第四节、思维点拨

一、巧用乘法

【例1】解不等式0.125x<3．

【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以0.125，就可

以化系数为“1”，但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷．

解：

两边同乘以8，得x<24．

二、巧去分母

【例2】解不等式

，可先进行移项

思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现

合并同类项，得x≥-1.

【例3】解不等式

【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25

×4＝1，0.5×2＝1”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2，这样就可以化去分母并且系数为整数

解：

利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2），

得8x+4-2（