八年级数学期末试题.docx
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八年级数学期末试题
第十八章勾股定理
§18.1勾股定理
（1）
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的
数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
3.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点、难点
1.重点：
探索和验证勾股定理。
2.难点：
勾股定理的证明。
【预习案】
1.复习旧知
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=（填度数）。
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，则AC=，
理由是：
。
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AC=，
理由是：
。
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC面积S=。
（5）
用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成如图所示的正方形，则正方形的面积为，正方形的边长为。
2.课前预习阅读课本P64-P66探究之前的内容。
根据你对课文的理解，完成下列问题：
（1）
在如图所示边长为1的正方形网格中有如图所示的三个正方形
A，B，C则
，
（2）由上可知，正方形A和正方形B的面积之和等于
（3）我们发现在等腰直角三角形中，斜边的平方等于
（4）若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，那么正方形A、B、C的面积分别为
（5）
（填=或>或<）
（6）如果设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则由上面可知：
。
用文字叙述为：
勾股定理：
【训练案】
1.
（1）求出下列直角三角形中未知边的长度。
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，BC=26。
求
（1）△ABC周长。
（2）△ABC的面积。
（3）在Rt△ABC中，∠A=45°，∠C=90°，BC=4，求AB的长。
2.在△ABC中，∠C=90°。
（1）若a=5，b=12，则c=。
（2）若a=15，c=25，则b=。
（3）若a=b=5，则c=。
（4）若c=17，b=8，则a=。
（5）若a：
b=1：
2，c=5，则a=。
（6）若b=15，∠A=30°，则a=，c=。
3.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
（1）c=。
（已知a、b，求c）
（2）
a=。
（已知b、c，求a）
（3）b=。
（已知a、c，求b）
4.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2，求
（1）AB的长。
（2）△ABC的面积。
（3）△ABC的周长。
5.若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，求底边上的高。
§18.1勾股定理
（2）
学习目标
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理。
学习重点、难点
1.重点：
勾股定理的应用。
2.难点：
实际问题向数学问题的转化。
【预习案】
阅读教材第66至67页，并完成预习内容。
1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长。
问题：
（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？
为什么？
3.读懂例题：
如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米。
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C。
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
【训练案】
1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是10米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。
2题图3题图4题图
3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
4.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
5.
如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。
6.
有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。
7.如图一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。
8.如图1，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间的关系式为．
变式：
书上P71-11题如图2，则S1、S2、S3之间的关系式为．
§18.1勾股定理（3）
学习目标
1.能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2.体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3.培养学生数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
学习重、难点
1.重点：
利用勾股定理在数轴上表示无理数。
2.难点：
确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
【预习案】
1.复习
在数轴上是怎么表示的？
2.我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
的点吗？
a）分析：
如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示
的点。
容易知道，长为
的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。
长为
的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为
的线段是直角边为正整数_____，_____的直角三角形的斜边。
b）作法：
在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示
的点。
c）利用勾股定理，可以作出长为
，
，
，…的线段。
按照同样的方法，可以在数轴上画出表示
，
，
，
，
…的点。
d）在数轴上画出表示
的点？
（尺规作图）
【训练案】
1.填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：
b=3：
4，则a=，b=。
（4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
（5）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
（6）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。
2.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形面积为。
3.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是1cm，则另一条直角边的长是（）
A.4cmB.
cmC.6cmD.
cm
4.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42B．32C．42或32D．37或33
5.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
6.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
7.在△ABC中，∠C＝90°，
（1）已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝。
（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于。
（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝。
8.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm，在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是。
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ 。
10.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。
11.一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？
。
12.
如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
13.
有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
§18.2勾股定理的逆定理
（1）
学习目标
1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重、难点
1.重点：
掌握勾股定理的逆定理及证明。
2.难点：
勾股定理的逆定理的证明。
【预习案】
1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？
你是怎样得到的？
2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？
3.如图，若△ABC的三边长
、
、
满足
，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
a）什么叫互为逆命题
b）什么叫互为逆定理
5.任何一个命题都有_____，但任何一个定理未必都有__
6.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两条直线平行。
（2）如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
7.
（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？
和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
【训练案】
1.填空题。
（1）任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。
（2）“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是。
（3）在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；
（4）若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。
2.若三角形的三边是⑴1、
、2；⑵
；⑶32，42，52⑷9，40，41；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
3.已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=
，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：
∠B：
∠C=5：
2：
3，则△ABC是直角三角形。
5.下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15
C．a=
，b=
，c=
D．a：
b：
c=2：
3：
4
6.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
（1）如果a3＞0，那么a2＞0；
（2）如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
（3）如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
（4）关于某条直线对称的两条线段一定相等。
§18.2勾股定理的逆定理
（2）
学习目标
1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重、难点
1.重点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.难点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
【预习案】
1.预习新知
已知：
如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：
四边形ABCD的面积。
2.读懂例题
（1）
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
（2）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°
【训练案】
1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
2.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。
小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。
3.
已知：
如图，四边形ABCD，AB=1，BC=
，CD=
，AD=3，且AB⊥BC。
求：
四边形ABCD的面积。
4.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
5.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=
，试判定△ABC的形状。
6.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝
ＢＣ，
求证：
∠ＥＦＡ＝
勾股定理复习
学习目标
1.掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决实际问题。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
4.在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣。
学习重、难点
1.重点：
勾股定理及其逆定理的应用。
2.难点：
勾股定理及其逆定理的灵活应用。
【预习案】
（1）
已知，如下图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．
（2）
如下图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
（3）
已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积
（4）
如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm
【训练案】
1.已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边的长是________________．
2.
（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如右图所示，其中
米，
，
，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．
3.三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线AD=8，求BC
4.
如右图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
5.
若三角形的三边分别是a2+b2，2ab，a2-b2（a>b>0），则这个三角形是三角形。
6.如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且
．你能说明∠AFE是直角吗？
7.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
8.下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C。
两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
9.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
A．
cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
10.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为．
11.
（2009年宜宾）已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为．
12.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）
A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm
13.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
14.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
15.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
16.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1，且n为整数），这个三角形是直角三角形吗？
若是，哪个角是直角？
与同伴一起研究．长吗？
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